广东省梅州市梅县东山中学2026-2027学年高三上学期开学综合练习数学试题（含答案解析版）

数学综合练习题（五）2026.8第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.函数的图象在点处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数的几何意义求切线方程.【详解】因为，所以，所以切点为，又，由导数的几何意义知函数的图象在点处的切线斜率，故得函数的图象在点处的切线方程是，即为．故选：B2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解方程求得集合，由并集定义可得结果.【详解】，，.故选：D.3.如图，为了测量障碍物两侧，之间的距离，根据以下数据，不能确定长度的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理以及三角形全等的判定条件，逐项分析各选项给出的数据是否能唯一确定三角形的边长.【详解】对于A项，已知两边及其夹角，根据余弦定理，可以唯一求出的长度，故A项能确定；对于B项，已知三个内角，只能确定三角形的形状（即三角形相似），无法确定三角形的大小，因此的长度不确定，故B项不能确定；对于C项，已知，根据三角形内角和定理可得，再由正弦定理，可得，可以唯一求出的长度，故C项能确定；对于D项，已知，根据三角形内角和定理可得，再由正弦定理，可得，可以唯一求出的长度，故D项能确定.综上所述，不能确定长度的是B项.4.已知，其中为函数的导数，则（）A.2 B.0 C.2026 D.2027【答案】B【解析】【分析】利用函数与导数的奇偶性求解：先判断原函数是奇函数，故；再判断导函数是偶函数，故，两者相加得结果为．【详解】因为的定义域是，且所以为奇函数，所以，，因为的定义域是，且所以为偶函数，所以，所以．5.在的展开式中的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出展开式的通项为，展开式中的项有和，系数相加即可求解.【详解】展开式的通项为，展开式中项为和，所以的展开式中的系数为，故选：C6.已知函数，为f（x）的零点，为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的性质，利用整体思想，由单调区间与周期的关系，根据零点与对称轴之间的距离，表示所求参数，逐个检验取值，可得答案.【详解】由f（x）在上单调，即，可得，则ω≤9；∵为f（x）的零点，为y＝f（x）图象的对称轴，根据三角函数的图象可知，零点与对称轴之间距离为：，k∈N*．要求最大，则周期最小，∴，则T；∴ω＝2k﹣1；当时，由，则，可得，易知在上单减，在上递增，不合题意；当时，由，则，可得，易知在上单减，在上递增，不合题意；当时，由，则，可得，易知在上单减，符合题意；故选：C．7.现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（）A.180 B.240 C.288 D.300【答案】C【解析】【分析】将6人进行编号，先选择一对双胞胎令其相邻，且两人可内部排列，故有种，再就这对双胞胎分别站的位置进行分类求解，结合分类加法计数原理进行求解.【详解】将6人进行编号，分别为，其中为双胞胎，为双胞胎，为双胞胎，从左到右站位，分别为，先从3对双胞胎中选择一对令两人相邻，且两人可内部排列，故有种选择，再依次进行求解，若这对双胞胎分别站在位，此时3号位可以从剩余的4人中进行选择，那么4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人，号位置将固定排剩余2人，此时共有种选择，若这对双胞胎分别站在位，则1号位置有4种选择，4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人，位置将固定排剩余2人，此时共有种选择，若这对双胞胎分别站在位，则2号位置有4种选择，1号位可以从剩余的双胞胎中选择1人，位置可将剩余2人进行全排列，此时共有种选择，若这对双胞胎分别站在或，可利用同种方法得到共有种选择，综上，共有种排法.故选：C8.已知函数，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析，的单调性，确定和都是唯一的，化简，得，得，构造函数，求导后即可求解.【详解】由，得，所以在R上单调递增,由，得，且，所以在上单调递增因此，对任意，和都是唯一的，由题意：，，即，则，故，故，根据的是唯一的，得，即，故，令，，则，由得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；故当时，取得最小值：，因此，即：.故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若一组样本数据所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数B.设、为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立C.若关于的线性回归方程为，则样本点的残差为D.线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于1，则拟合效果越好【答案】BCD【解析】【分析】对于A，根据相关系数的概念判定即可；对于B，根据条件概率公式与事件相互独立性的概念判断即可；对于C，根据回归方程计算预测值，再计算残差即可判定；对于D，根据决定系数的意义判断即可.【详解】选项A，若所有样本点都在斜率为负的直线上，说明两组数据完全负线性相关，线性相关系数，而非直线斜率，故A错误；选项B，由条件概率公式，若，可推得，符合相互独立事件的定义，故B正确；选项C，将代入回归方程得预测值，残差为真实值减去预测值，即，故C正确；选项D，决定系数是判断回归模型拟合效果的指标，越趋近于1，说明残差平方和越小，模型对样本数据的拟合效果越好，故D正确.10.已知的内角所对的边分别为，且，的面积为，则（）A.为直角三角形 B.C. D.的周长为【答案】BD【解析】【分析】先由余弦定理与面积公式写出，利用同角平方关系建立等式，结合均值不等式得到含的四次不等式，由平方非负唯一解出，结合等号成立时，进而算出的值，再用余弦定理逐一验证四个选项对错．【详解】由，得，所以，由，得所以整理得，由，当且仅当时，等号成立，得，所以，整理得，即，因为，所以，解得，所以，将，，代入，所以，对于A，，，任意两边平方和都不等于第三边平方，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确．11.已知一个袋子中放有个不同的红球和个不同的黄球，现从中逐个摸取个小球．方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为．下列说法中，正确的有（）A.B.C.，其中D.【答案】AD【解析】【详解】方案一中，有放回地摸球，每次取到红球的概率为，摸次球，则取得红球个数，∴，；方案二中，不放回地摸球，取得红球个数服从超几何分布，则，，所以，，故A，D正确；当时，，，即，故C错误；，∵，；∴，，∴，∴，∵，∴，故，故B错误.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量服从二项分布，且的期望，方差，则__________.【答案】【解析】【分析】根据二项分布的期望、方差公式得到方程组，解得即可.【详解】依题意，所以，，解得，.故答案为：13.已知函数的最大值是，最小值是，则函数的单调递减区间为________．【答案】【解析】【详解】因为，所以，所以，，解得，.所以函数.根据正弦函数的单调递增区间可知，，解得，.所以所求的递减区间为.14.定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则________，_______【答案】①.3②.【解析】【分析】分别求出，，时，的值域，可得，，，推得，，利用累加法求出，由数列的裂项相消求和，计算即可.【详解】由函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，当时，，可得，，，即，当时，，可得或，或，或1或2，即，当时，，可得或1或2，或或，或1或2或4或5或6，即，当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，设，则，，所以，则可得递推关系：，所以,当时，成立，则，则，所以，故答案为：3；【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义题，解题关键是找到递推关系：，结合累加法求出数列通项，利用裂项相消求出前项和.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．15.已知分别为三个内角的对边，且，．（1）求及的面积S；（2）若为边上一点，且，求的正弦值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理得到方程，求出，进而由三角形面积公式求出答案；（2）先得到，故，由余弦定理求出，得到答案.【小问1详解】由余弦定理得，即，故，解得或（舍去），；【小问2详解】因为，，所以，故，在中，由余弦定理得，，故.16.为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响．（1）若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率；（2）若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据全概率公式计算可得；（2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望.【小问1详解】设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以，已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，所以，，，所以，所以该同学投篮命中的概率为；【小问2详解】由题意可知，得分的可能取值为，，，，所以，，，，所以，所以，该同学得分的数学期望为.17.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上不是单调函数，求实数的取值范围．【答案】（1）若，则无单调区间；若，则单调递增区间为，单调递减区间为；若，则单调递增区间为，单调递减区间为.（2）【解析】【分析】（1）求定义域，求导，分，和两种情况，得到函数单调区间；（2）根据切线倾斜角得到方程，求出，并得到的解析式，根据函数在区间上不是单调函数，得到不等式组，求出答案【小问1详解】的定义域为，，若，则，此时无单调区间；若，令得，令得，此时单调递增区间为，单调递减区间为；若，令得，令得，此时单调递增区间为，单调递减区间为；综上，若，则无单调区间；若，则单调递增区间为，单调递减区间为；若，则单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】由（1）得，由题意得，解得，，，则，所以，因为函数在区间上不是单调函数，所以存在，使得，其中，结合开口向上，必有，由题意可得，对于任意的，恒成立，故只需，其中，，故，解得.18.一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，.（1）根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；（2）已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？（注：年利润=年销售额一年投入成本）参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.【答案】（1）（2）当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值【解析】【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程；（2）由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值及其对应的值.【小问1详解】解：令，则关于的线性回归方程为，由题意可得，，则，所以，关于的回归方程为.【小问2详解】解：由可得，年利润，当时，年利润取得最大值，此时，所以，当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值.19.若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质．（1）设，分别判断与是否具有性质？并说明理由；（2）已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解；（3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数．【答案】（1）不具有性质，具有性质，理由见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）取特殊值判断，利用所给定义判断；（2）利用奇函数的性质可将不等式化为，利用具有性质和奇函数性质可得是上的增函数，从而利用增函数的性质即可求解；（3）先由具有性质且函数的图像是一条连续曲线求得，然后利用反证法证明是奇函数.【小问1详解】不具有性质，理由：取，，，所以不具有性质.具有性质，理由：对任意，，当时，，因为为上的增函数，所以，