2025-2026年辽宁省北师大版高三数学选修二第十一章测试卷

2025-2026年辽宁省北师大版高三数学选修二第十一章测试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修二第十一章中，若函数f(x)＝ax^3＋bx^2＋cx＋d在x＝1处取得极值，且其导函数f′(x)的图像经过点(0,2)，则下列关于a的表述正确的是（）A.a必须为正数且大于1B.a可以为任意实数只要b≠0C.a的符号由b、c的值决定，但一定不为0D.a必须为负数且小于－12.根据第十一章§3内容，若曲线y＝x^3－3x与直线y＝kx相切于点P(x₀,y₀)，则k的取值范围是（）A.k∈（－∞,－2）∪（2,+∞）B.k＝±√6C.k∈（－∞,－√6）∪（√6,+∞）D.k＝0或k∈（－∞,－2）∪（2,+∞）3.在§4中研究参数方程x＝t^2－1，y＝t(t－1)所表示的曲线，若点A(3,2)在该曲线上，则对应的参数t的值为（）A.t＝1或t＝2B.t＝－1或t＝0C.t＝－2或t＝1D.t＝0或t＝34.根据§5极坐标内容，若极坐标方程ρ＝4sin(θ－π/3)表示的曲线与直线ρcosθ＝1相交，则交点处的极角θ的值为（）A.θ＝π/3或θ＝2π/3B.θ＝π/6或θ＝5π/6C.θ＝π/2或θ＝3π/2D.θ＝0或θ＝π5.在§6曲率计算中，若椭圆x^2/9＋y^2/4＝1在点M(√6,2/3)处的曲率半径为R，则R的值为（）A.R＝3√2B.R＝6√5C.R＝9/2D.R＝12√36.根据§7空间曲线内容，若空间曲线的参数方程为x＝t，y＝2t－1，z＝t^2＋1，则该曲线在xOy平面的投影曲线的方程为（）A.y＝2x－1B.y＝2x＋1C.y＝x^2＋1D.y＝x^2－17.在§8空间曲面内容中，曲面x^2＋2y^2＋3z^2＝6与平面x＋y＋z＝3相交形成的椭圆的半长轴长为（）A.√6B.√3C.2√2D.√158.根据§9物理应用，一质点在xy平面内做曲线运动，其速度向量v(t)＝(3cos2t,3sin2t)，则该质点在t＝π/4时刻的加速度大小为（）A.3√2B.6C.3D.09.在§10向量场内容中，向量场F(x,y)＝(x^2－y^2,2xy)的旋度∇×F在点(1,1)处的值为（）A.0B.2C.4D.610.根据第十一章§11综合应用，若函数f(x)＝x^3－3x＋2在[－2,2]上的最大值与最小值之差为（）A.8B.10C.12D.14二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝x^3＋ax^2＋bx在x＝1处取得极小值，且f′(2)＝10，则a＋b的值为________。2.根据§3内容，曲线y＝x^3－3x与直线y＝kx相切于点(2,4)，则k＝________。3.参数方程x＝cos^2t，y＝sin2t所表示的曲线在[0,π/2]区间上的弧长为________。4.极坐标方程ρ＝2cosθ与ρ＝4sinθ相交的交点处的极径ρ的值为________。5.椭圆x^2/9＋y^2/4＝1在点(2√2,√2)处的曲率为________。6.空间曲线x＝t^2，y＝t，z＝1/t在点(1,1,1)处的切线方程为________。7.曲面z＝x^2＋y^2与z＝4－x^2－y^2相交形成的圆的面积为________。8.向量场F(x,y)＝(e^x,ylnx)在点(1,1)处的旋度值为________。9.函数f(x)＝x^3－3x＋2在[－2,2]上的最大值为________，最小值为________。10.若曲线的极坐标方程为ρ＝θ，则从θ＝0到θ＝π/2的弧长为________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在x₀处取得极值，则f′(x₀)必等于0。（）2.参数方程x＝t^2－1，y＝t(t－1)所表示的曲线是抛物线。（）3.极坐标方程ρ＝4sin(θ－π/3)表示的曲线是圆。（）4.椭圆x^2/9＋y^2/4＝1在点(3,0)处的曲率半径为9。（）5.空间曲线x＝t，y＝2t－1，z＝t^2＋1在xOy平面的投影是抛物线。（）6.曲面x^2＋2y^2＋3z^2＝6与平面x＋y＋z＝3相交形成的交线是椭圆。（）7.向量场F(x,y)＝(x^2－y^2,2xy)是保守场。（）8.函数f(x)＝x^3－3x＋2在[－2,2]上的最大值与最小值之差为12。（）9.极坐标方程ρ＝θ表示的曲线是阿基米德螺线。（）10.若曲线的参数方程为x＝f(t)，y＝g(t)，则曲线在点(t₀,f(t₀))处的切线斜率为f′(t₀)。（）四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.根据§3内容，已知曲线y＝x^3－3x＋2，求其凹凸区间及拐点坐标。2.根据§4内容，求参数方程x＝t^2－1，y＝t(t－1)所表示的曲线在点(3,2)处的切线方程。3.根据§5内容，将极坐标方程ρ＝2cosθ转换为直角坐标方程。4.根据§6内容，求椭圆x^2/9＋y^2/4＝1在点(2√2,√2)处的曲率。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.在§3中，已知曲线y＝x^3－3x＋2与直线y＝kx相切，求k的值及切点坐标。2.在§4中，求参数方程x＝cos^2t，y＝sin2t所表示的曲线在[0,π/2]区间上的弧长。3.在§5中，求极坐标方程ρ＝4sin(θ－π/3)表示的曲线与直线ρcosθ＝1的交点坐标。4.在§6中，求椭圆x^2/9＋y^2/4＝1在点(2√2,√2)处的曲率半径。【标准答案及解析】一、单选题1.C（f′(x)＝3ax^2＋2bx＋c，f′(1)＝0⇒3a＋2b＋c＝0；f′(0)＝2⇒c＝2⇒a符号由b决定）2.B（联立方程得x^3－3x＝kx⇒x(x^2－(3＋k)x)＝0⇒x＝0或x＝3＋k⇒(3＋k)^3＝(3＋k)⇒k＝±√6）3.C（代入方程得t^2－1＝3⇒t^2＝4⇒t＝±2，t(t－1)＝2⇒t＝2或t＝－1，取t＝1或t＝－2）4.B（极坐标方程化为直角坐标得ρ^2＝4ρsin(θ－π/3)⇒x^2＋y^2＝2√3y⇒x^2＋(y－√3)^2＝3；联立ρcosθ＝1⇒x＝1⇒1＋(y－√3)^2＝3⇒y＝0或y＝2√3⇒θ＝π/6或5π/6）5.A（椭圆在点M处的导数y′＝(2/3)•(4/9)•(9/2)•(1－(8/9))＝4/9；曲率k＝|y′|/[(1＋(y′)^2)^3/2]＝4/9/[(1＋(16/81))^3/2]＝3√2）6.A（消去t得y＝2x－1，投影曲线为直线）7.C（联立方程得x^2＋2y^2＝6⇒x^2＋2(3－x^2)/2＝6⇒x^2＝2⇒y^2＝3⇒半长轴为√6，半短轴为√3）8.C（a＝3，b＝3⇒v′(t)＝(－6sin2t,6cos2t)⇒a(t)＝(－12cos2t,－12sin2t)⇒|a(t)|＝12）9.B（旋度∇×F＝(∂Q/∂x－∂P/∂y)＝(2y－2y)＝0）10.B（f′(x)＝3x^2－3⇒x＝±1⇒f(±1)＝1⇒最大值f(2)＝8，最小值f(－2)＝－8⇒8－(－8)＝16）二、填空题1.－4（f′(x)＝3x^2＋2ax＋b⇒3＋2a＋b＝0；f′(2)＝12＋4a＋b＝10⇒a＋b＝－4）2.－1（k＝y/x＝4/2＝2⇒2x＝y⇒x^3－3x＝2x⇒x^3－5x＝0⇒x＝5⇒k＝－1）3.√5（弧长s＝∫₀^π/2√(dx/dt)^2＋(dy/dt)^2)dt＝∫₀^π/2√(4cos^2t•sin^2t)dt＝2∫₀^π/2sin2t•cos2tdt＝∫₀^π/2sin4tdt＝(1/4)cos4t|₀^π/2＝1/2）4.2√3（联立方程得ρ^2cos^2θ＝4ρsinθ⇒ρ(cos^2θ－2sinθ)＝0⇒ρ＝0或ρ＝2sinθ/cos^2θ⇒ρ＝2√3）5.1/6（k＝|y′|/[(1＋(y′)^2)^3/2]＝|－(4/9)x/(1＋(16/81)x^2)|＝1/6）6.x－y＋1＝0（t＝1⇒x＝1,y＝1,z＝1⇒方向向量(1,－1,0)⇒方程为x－y＋1＝0）7.6π（圆的半径r＝√(4－1)＝√3⇒面积πr^2＝3π）8.0（旋度∇×F＝(∂(ylnx)/∂x－∂(e^x)/∂y)＝(y/x－e^x)＝0）9.8,－2（f′(x)＝3x^2－3⇒x＝±1⇒f(±1)＝1⇒最大值f(2)＝8，最小值f(－2)＝－2）10.π/4（s＝∫₀^π/2√(dρ/dθ)^2＋ρ^2)dθ＝∫₀^π/2√(1^2＋θ^2)dθ＝(1/2)[θ√(1＋θ^2)＋ln(θ＋√(1＋θ^2))]|₀^π/2＝π/4＋(1/2)ln(π/2＋√(1＋π^2)/2）三、判断题1.×（f′(x₀)＝0是必要非充分条件，如f(x)＝x^3在x＝0处有拐点但导数不为0）2.×（消去t得y＝x＋1⇒直线）3.√（ρ＝4sin(θ－π/3)⇒ρ^2＝2√3ρsinθ－2ρcosθ⇒x^2＋y^2＝2√3y－2x⇒(x＋1)^2＋(y－√3)^2＝4⇒圆）4.×（曲率半径R＝(1＋(y′)^2)^3/2/|y′′|＝(1＋(16/81)x^2)^3/2/(－(8/9))＝9/(2√5）5.√（消去t得y＝2x－2⇒直线）6.√（联立方程得x^2＋2y^2＝3(x＋y)⇒(x－y)^2＝3⇒椭圆）7.×（旋度∇×F＝(2y－2y)＝0⇒非保守场）8.×（最大值8，最小值－2⇒8－(－2)＝10）9.√（极坐标方程ρ＝θ⇒x^2＋y^2＝θx⇒y＝tanθ•x⇒阿基米德螺线）10.×（斜率＝dy/dx＝g′(t)/f′(t)⇒g′(t₀)/f′(t₀)）四、简答题1.解：y′＝3x^2－3⇒y′′＝6x⇒凹区间(－∞,0)∪(0,+∞)，凸区间(－∞,0)∪(0,+∞)，拐点(0,2)2.解：x＝3⇒t^2－1＝3⇒t＝2⇒y＝2×1＝2⇒y′＝6t－3⇒y′|t＝2＝9⇒切线方程2－9(x－3)＝0⇒9x－y－25＝03.解：ρ＝2cosθ⇒ρ^2＝2ρcosθ⇒x^2＋y^2＝2x⇒x^2＋y^2－2x＝04.解：y′＝(2/3)•(4/9)•(1－(8/9))＝4/9⇒y′′＝(8/27)•(9/2)•(1－(16/81)x^2)⇒y′′|x＝2√2＝(8/27)•(9/2)•(1－(32/81))＝16/27⇒k＝|4/9|/[(1＋(16/81)^3/2]＝1/6五、应用题1.解：联立方程y＝kx⇒x^3－3x＝kx⇒x(x^2－(3＋k)x)＝0⇒x＝0或x＝3＋k⇒(3＋k)^3＝(3＋k)⇒k＝±√6⇒k＝－1（舍去）⇒切点(3,－3)2.解：弧长s＝∫₀^π/2√(4cos^2t•sin^2t)dt＝2∫₀^π/2sin2t•cos2tdt＝∫₀