2025-2026年山西省北师大版高二数学下册第5章同步练习题

2025-2026年山西省北师大版高二数学下册第5章同步练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高二数学下册第5章中，关于等差数列{a_n}的前n项和S_n的公式为S_n=n(a_1+a_n)/2，该公式适用于所有等差数列，以下说法正确的是（）A.当公差d=0时，该公式仍然适用，但此时数列退化为常数列B.该公式仅适用于公差d不为0的等差数列C.该公式推导过程中需要用到等差数列的中项性质D.当数列项数n为奇数时，该公式不适用，需要单独处理2.根据北师大版高二数学下册第5章内容，若等差数列{a_n}中，a_3+a_7=12，则4a_5的值为（）A.8B.10C.12D.163.在北师大版高二数学下册第5章中，等比数列{b_n}的通项公式b_n=b_1q^(n-1)，若b_2=6，b_4=54，则b_3的值为（）A.12B.18C.24D.364.根据北师大版高二数学下册第5章定理，若数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+c_(n-2)（n≥3），且c_1=1，c_2=1，则该数列的前10项和S_10的值为（）A.55B.89C.144D.2335.在北师大版高二数学下册第5章中，关于数列极限的定义，以下表述正确的是（）A.当数列项数n无限增大时，数列项c_n无限接近某个常数A，则称数列{c_n}收敛于AB.数列极限存在当且仅当数列有界C.若数列{c_n}发散，则其任意子数列必发散D.数列极限与数列项的排列顺序有关6.根据北师大版高二数学下册第5章内容，若数列{d_n}满足d_n=1/n，则该数列的极限为（）A.0B.1C.不存在D.无穷大7.在北师大版高二数学下册第5章中，关于数列求和的方法，以下说法正确的是（）A.所有数列都可以用公式法求和B.等差数列和等比数列是唯一可以用公式法求和的数列类型C.拆项相消法适用于任意数列D.数列求和时需要根据数列类型选择合适的方法8.根据北师大版高二数学下册第5章例题，若数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_5的值为（）A.25B.30C.35D.409.在北师大版高二数学下册第5章中，关于数列单调性的判断，以下说法正确的是（）A.若数列{f_n}是等差数列，则其必为单调数列B.若数列{f_n}是单调数列，则其必为等差数列C.单调递增数列的任意子数列仍为单调递增数列D.单调递减数列的极限必为负数10.根据北师大版高二数学下册第5章内容，若数列{g_n}满足g_n=g_(n-1)+2g_(n-2)（n≥3），且g_1=1，g_2=2，则g_6的值为（）A.11B.13C.23D.43二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.根据北师大版高二数学下册第5章内容，若等差数列{a_n}的首项为3，公差为2，则其前10项和S_10的值为________。2.在北师大版高二数学下册第5章中，若等比数列{b_n}的公比为q，首项为b_1，则其前n项和S_n的表达式为________（q≠1）。3.根据北师大版高二数学下册第5章定理，若数列{c_n}满足c_n=2c_(n-1)+1（n≥2），且c_1=1，则c_4的值为________。4.在北师大版高二数学下册第5章中，关于数列极限的定义，若数列{d_n}的极限为L，则当ε=0.1时，存在正整数N，使得当n>N时，|d_n-L|<________。5.根据北师大版高二数学下册第5章内容，若数列{e_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，则e_5的值为________。6.在北师大版高二数学下册第5章中，若数列{f_n}满足f_n=f_(n-1)-f_(n-2)（n≥3），且f_1=1，f_2=0，则f_7的值为________。7.根据北师大版高二数学下册第5章例题，若数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，则g_4的值为________。8.在北师大版高二数学下册第5章中，关于数列单调性的判断，若数列{h_n}满足h_n<h_(n+1)对任意n∈N成立，则称数列{h_n}为________数列。9.根据北师大版高二数学下册第5章内容，若数列{i_n}满足i_n=i_(n-1)+i_(n-2)（n≥3），且i_1=1，i_2=1，则i_10的值为________。10.在北师大版高二数学下册第5章中，关于数列求和的方法，若数列{j_n}的通项公式为j_n=2^(n-1)，则其前n项和S_n的表达式为________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.根据北师大版高二数学下册第5章内容，若等差数列{a_n}的前n项和S_n=an^2+bn，则该数列的公差为2a。2.在北师大版高二数学下册第5章中，若等比数列{b_n}的公比q=1，则其前n项和S_n=nb_1。3.根据北师大版高二数学下册第5章定理，若数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+c_(n-2)（n≥3），且c_1=1，c_2=1，则该数列是斐波那契数列。4.在北师大版高二数学下册第5章中，关于数列极限的定义，若数列{d_n}的极限为L，则当ε=0.01时，存在正整数N，使得当n>N时，|d_n-L|<0.01。5.根据北师大版高二数学下册第5章内容，若数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_n=2n-1。6.在北师大版高二数学下册第5章中，若数列{f_n}满足f_n=f_(n-1)-f_(n-2)（n≥3），且f_1=1，f_2=0，则该数列是周期数列。7.根据北师大版高二数学下册第5章例题，若数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，则g_n=2^(n-1)。8.在北师大版高二数学下册第5章中，关于数列单调性的判断，若数列{h_n}满足h_n<h_(n+1)对任意n∈N成立，则称数列{h_n}为递增数列。9.根据北师大版高二数学下册第5章内容，若数列{i_n}满足i_n=i_(n-1)+i_(n-2)（n≥3），且i_1=1，i_2=1，则i_n是斐波那契数列的第n项。10.在北师大版高二数学下册第5章中，关于数列求和的方法，若数列{j_n}的通项公式为j_n=2^(n-1)，则其前n项和S_n=2^n-1。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.根据北师大版高二数学下册第5章内容，请简述等差数列的前n项和S_n的公式推导过程。2.在北师大版高二数学下册第5章中，若数列{a_n}满足a_n=a_(n-1)+d（n≥2），且a_1=m，请推导该数列的通项公式。3.根据北师大版高二数学下册第5章定理，请解释数列极限ε-N定义中的ε和N分别代表什么意义。4.在北师大版高二数学下册第5章中，请简述数列求和的拆项相消法的适用条件和基本步骤。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.根据北师大版高二数学下册第5章例题，某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求该工厂第10年的产量和前10年的总产量。2.在北师大版高二数学下册第5章中，若数列{b_n}满足b_n=b_(n-1)+b_(n-2)（n≥3），且b_1=1，b_2=1，请计算b_10的值。3.根据北师大版高二数学下册第5章内容，若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，请计算c_5的值。4.在北师大版高二数学下册第5章中，若数列{d_n}的通项公式为d_n=3n-2，请计算该数列的前10项和S_10的值。【标准答案及解析】一、单选题1.A解析：当公差d=0时，等差数列退化为常数列，此时S_n=n×2a_1=n(a_1+a_n)，公式仍然适用。其他选项错误，B忽略了d=0的情况；C与公式推导无关；D错误，公式对任意项数n均适用。2.C解析：由等差数列性质，a_3+a_7=2a_5=12，故a_5=6，4a_5=24。3.B解析：由b_2=6，b_4=54，得b_3=b_2q=6q，b_4=b_2q^2=54，解得q=3，故b_3=6×3=18。4.B解析：该数列是斐波那契数列的变种，前10项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，S_10=89。5.A解析：数列极限的定义为：当n→∞时，数列项c_n无限接近常数A，则称{c_n}收敛于A。其他选项错误，B错误，有界数列不一定收敛；C错误，发散数列的子数列可能收敛；D错误，极限与排列顺序无关。6.A解析：当n→∞时，1/n→0，故极限为0。7.D解析：数列求和需要根据数列类型选择方法，A错误；B错误，还有裂项相消法等；C错误，拆项相消法适用于部分数列；D正确。8.C解析：e_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n-1，故e_5=2×5-1=9。9.C解析：单调递增数列的子数列仍为单调递增数列，其他选项错误，A错误，常数列是单调数列；B错误，单调数列不一定是等差数列；D错误，单调递减数列的极限可以是任何实数。10.C解析：该数列是二阶线性递推数列，特征方程为r^2-r-2=0，解得r=2,-1，通项公式为c_n=C_1×2^n+C_2×(-1)^n，由初始条件得C_1=1,C_2=1，故c_6=2^6-1=63。二、填空题1.210解析：S_10=10×(3+19)/2=210。2.b_1(1-q^n)/(1-q)解析：等比数列前n项和公式。3.13解析：c_2=2c_1+1=3，c_3=2c_2+1=7，c_4=2c_3+1=15。4.0.01解析：根据极限定义，当ε=0.1时，|d_n-L|<0.1，取ε=0.01，则需|d_n-L|<0.01。5.15解析：e_n=S_n-S_(n-1)=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n-1，故e_5=15。6.1解析：f_n=f_(n-1)-f_(n-2)，周期为6，f_7=f_1=1。7.15解析：g_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)。8.递增解析：数列单调性的定义。9.341解析：i_n是斐波那契数列，前10项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，i_10=341。10.2^n-1解析：j_n=2^(n-1)，S_n=1+2+4+...+2^(n-1)=2^n-1。三、判断题1.正确解析：S_n=an^2+bn，则a_n=S_n-S_(n-1)=2an+b，故公差为2a。2.正确解析：q=1时，b_n=b_1，S_n=n×b_1=nb_1。3.正确解析：该数列满足斐波那契数列递推关系。4.正确解析：根据极限定义，当ε=0.01时，存在N，使得当n>N时，|d_n-L|<0.01。5.错误解析：e_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n-1，故e_5=9。6.错误解析：该数列是周期为6的数列。7.错误解析：g_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)。8.正确解析：数列单调性的定义。9.正确解析：i_n满足斐波那契数列递推关系。10.错误解析：S_n=1+2+4+...+2^(n-1)=2^n-1。四、简答题1.解析：等差数列前n项和S_n=a_1+a_2+...+a_n，设公差为d，则a_2=a_1+d，a_3=a_1+2d，...，a_n=a_1+(n-1)d。将上述n项相加，得S_n=n(a_1+a_n)/2。2.解析：由a_n=a_(n-1)+d（n≥2），得a_n-a_(n-1)=d，故数列是等差数列，通项公式为a_n=a_1+(n-1)d=m+(n-1)d。3.解析：ε表示极限的精确度，N表示从第N项开始数列项与极限的误差小于ε。4.解析：拆项相消法适用于形如a_n=b_(n-1)+b_(n-2)的数列，步骤为将通项拆分为两项之差