三角形的证明测试题

三角形的证明测试题一、基础巩固(共4题)1.已知：如图（自行绘制），在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。求证：△ABE≌△ACD。（图形提示：一个等腰三角形ABC，AB=AC，底边BC在下，A为顶点。D在AB上，E在AC上，AD和AE长度相等。）2.已知：如图（自行绘制），点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：∠A=∠D。（图形提示：两个三角形ABC和DEF，顶点A和D在直线BF的同一侧，B、E、C、F依次在直线BF上，BE等于CF。）3.已知：如图（自行绘制），在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E。求证：CD=ED。（图形提示：直角三角形ABC，直角顶点为C，AC和BC为直角边，AB为斜边。AD是∠BAC的角平分线，从A出发交BC于D，过D作DE垂直AB，垂足为E。）4.已知：如图（自行绘制），在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D。求证：AD=BC。（图形提示：等腰三角形ABC，AB=AC，顶角A为36度，底角B和C相等。BD平分∠ABC，交AC于D点。）二、能力提升(共3题)5.已知：如图（自行绘制），在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F。求证：AE=FE。（图形提示：梯形ABCD，AD和BC是上下底，AD平行于BC。E是梯形右边腰CD的中点，连接AE并向右上方延长，与BC的延长线交于点F。）6.已知：如图（自行绘制），在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC上，且AE=CF。求证：DE=DF。（图形提示：等腰直角三角形ABC，∠C为直角，AC=BC。D是斜边AB的中点。E在AC上，F在BC上，且AE的长度等于CF的长度。连接DE、DF。）7.已知：如图（自行绘制），在△ABC中，∠B=2∠C，AD是BC边上的高，求证：CD=AB+BD。（图形提示：三角形ABC，其中∠B的度数是∠C的两倍。AD是BC边上的高，即AD垂直于BC，垂足为D，D点在BC上。）三、综合应用(共1题)8.已知：如图（自行绘制），在△ABC中，AB=AC，点P是BC下方一点，且∠BPC=∠BAC。求证：PB+PC=AB。（图形提示：等腰三角形ABC，AB=AC，A为顶点。点P在BC边的下方，形成∠BPC，其度数等于∠BAC的度数。）---答案与解析1.证明：∵AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角），AE=AD（已知，由AD=AE易知）。∴△ABE≌△ACD（SAS，边角边判定定理）。2.证明：∵BE=CF（已知），∴BE+EC=CF+EC（等式的性质），即BC=EF。在△ABC和△DEF中，AB=DE（已知），AC=DF（已知），BC=EF（已证）。∴△ABC≌△DEF（SSS，边边边判定定理）。∴∠A=∠D（全等三角形的对应角相等）。3.证明：∵AD平分∠BAC（已知），∠C=90°（已知），DE⊥AB（已知）。∴CD=ED（角平分线上的点到角的两边的距离相等）。4.证明：∵AB=AC，∠A=36°（已知），∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)/2=(180°-36°)/2=72°（等腰三角形两底角相等，三角形内角和定理）。∵BD平分∠ABC（已知），∴∠ABD=∠DBC=∠ABC/2=72°/2=36°（角平分线的定义）。在△ABD中，∠A=36°，∠ABD=36°，∴∠ADB=180°-∠A-∠ABD=180°-36°-36°=108°（三角形内角和定理）。∠BDC=180°-∠ADB=180°-108°=72°（平角的定义）。在△BDC中，∠DBC=36°，∠BDC=72°，∴∠C=180°-∠DBC-∠BDC=180°-36°-72°=72°，∴∠C=∠BDC（等量代换）。∴BD=BC（等角对等边）。在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD（等角对等边）。∴AD=BC（等量代换）。5.证明：∵AD∥BC（已知），∴∠ADE=∠FCE（两直线平行，内错角相等）。∵E是CD的中点（已知），∴DE=CE（中点的定义）。在△ADE和△FCE中，∠ADE=∠FCE（已证），DE=CE（已证），∠AED=∠FEC（对顶角相等）。∴△ADE≌△FCE（ASA，角边角判定定理）。∴AE=FE（全等三角形的对应边相等）。6.证明：连接CD。∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB的中点（已知），∴CD=AD=BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），CD平分∠ACB（等腰直角三角形底边上的中线也是顶角的平分线），∠A=∠B=45°，∠ACD=∠BCD=45°。∴∠A=∠FCD=45°（等量代换）。∵AE=CF（已知），AC=BC，∴AC-AE=BC-CF（等式的性质），即EC=FB。（此步可省略，直接用AE=CF和∠A=∠FCD，AD=CD）在△ADE和△CDF中，AD=CD（已证），∠A=∠DCF（已证），AE=CF（已知）。∴△ADE≌△CDF（SAS，边角边判定定理）。∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）。7.证明：在CD上截取DE=BD，连接AE。∵AD是BC边上的高（已知），∴∠ADB=∠ADE=90°（垂直的定义）。在△ABD和△AED中，AD=AD（公共边），∠ADB=∠ADE（已证），BD=ED（所作辅助线）。∴△ABD≌△AED（SAS，边角边判定定理）。∴AB=AE（全等三角形的对应边相等），∠B=∠AED（全等三角形的对应角相等）。∵∠B=2∠C（已知），∴∠AED=2∠C（等量代换）。∵∠AED是△AEC的一个外角，∴∠AED=∠C+∠EAC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。∴2∠C=∠C+∠EAC（等量代换）。∴∠EAC=∠C（等式的性质）。∴AE=CE（等角对等边）。∵AB=AE（已证），∴AB=CE（等量代换）。∵CD=CE+ED（如图所示），ED=BD（所作辅助线），∴CD=AB+BD（等量代换）。8.证明：（提示：可采用“截长法”或“补短法”，或旋转法构造全等三角形。以下提供一种思路）延长BP至点D，使PD=PC，连接CD。∵∠BPC=∠BAC（已知），AB=AC（已知），∴可证∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB（三角形内角和定理），但此路稍显曲折。或考虑：∵∠BPC=∠BAC，AB=AC，∴点A、B、P、C四点共圆（同弧所对的圆周角相等的逆定理，若未学四点共圆，可采用旋转）。若用旋转：将△APC绕点A顺时针旋转∠BAC的度数，使AC与AB重合，点P的对应点为D。则AD=AP，BD=PC，∠ABD=∠ACP。∵∠BAC=∠BPC，∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB。∴∠ABP+∠PBC+∠PCB=∠ABP+∠ABC+∠ACB。即∠ABC+∠ABP+∠ACP=∠ABP+∠ABC+∠ACB。∴∠ACP=∠ACB。∴∠ABD=∠ACB（等量代换）。∵∠ABC=∠ACB（AB=AC），∴∠ABD=∠ABC。即点D在∠ABC的角平分线上，又∵AD=AP，可进一步推导∠BAD=∠BAP，从而△ABD≌△ABP（SAS），则BD=BP，故PB+PC=PB+BD=PD=AB。（此旋转法细节需仔细斟酌角度和对应关系，此处为简述思路）更简洁的辅助线作法（补短法）