【2023考研】重庆大学高等代数历年真题（真题+答案对照）

【2023考研】重庆大学高等代数历年真题（真题+答案对照）一、单项选择题（共10题，每题5分，共50分）1.设向量组α₁=(1,1,1),α₂=(1,2,3),α₃=(1,3,λ)线性相关，则λ的取值为（）A.2B.3C.4D.52.已知矩阵A=（a_{ij}）为4阶方阵，且|A|=2，若矩阵B=3A⁻¹，则|B|等于（）A.3/2B.6C.18D.363.设线性方程组Ax=b的增广矩阵为（A|b），若R(A)=2，R（A|b）=3，则该方程组（）A.无解B.有唯一解C.有无穷多解D.解不确定4.已知二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+λx₃²+2tx₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃的正定矩阵对应的特征值均大于0，则λ的取值范围是（）A.λ>1B.λ<1C.λ>2D.λ<25.设V为n阶实矩阵空间，W为V的子空间，若dim(V)=4，dim(W)=2，则W的基可以由（）个向量线性表示A.2B.3C.4D.56.已知矩阵A=（a_{ij}）为5阶方阵，且|A|=3，若将A的第2行与第3行互换得到矩阵B，则|B|等于（）A.3B.-3C.9D.-97.设向量组α₁=(1,0,1),α₂=(0,1,1),α₃=(1,1,λ)线性无关，则λ的取值范围是（）A.λ≠1B.λ≠-1C.λ≠0D.λ∈R且λ≠18.已知矩阵A=（a_{ij}）为3阶方阵，且|A|=1，若矩阵B=2A²，则|B|等于（）A.2B.4C.8D.169.设线性方程组Ax=b的系数矩阵A为4×3矩阵，且R(A)=2，则该方程组（）A.无解B.有唯一解C.有无穷多解D.解不确定10.已知二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+λx₃²+2tx₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃的秩为3，则λ的取值范围是（）A.λ≠0B.λ≠1C.λ≠-1D.λ∈R二、填空题（共6题，每题5分，共30分）1.设向量组α₁=(1,1,1),α₂=(1,2,3),α₃=(1,3,λ)线性无关，则λ的取值范围是__________。2.已知矩阵A=（a_{ij}）为4阶方阵，且|A|=2，若矩阵B=3A⁻¹，则|B|等于__________。3.设线性方程组Ax=b的增广矩阵为（A|b），若R(A)=2，R（A|b）=3，则该方程组的解的情况是__________。4.已知二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+λx₃²+2tx₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃的正定矩阵对应的特征值均大于0，则λ的取值范围是__________。5.设V为n阶实矩阵空间，W为V的子空间，若dim(V)=4，dim(W)=2，则W的基可以由__________个向量线性表示。6.已知矩阵A=（a_{ij}）为5阶方阵，且|A|=3，若将A的第2行与第3行互换得到矩阵B，则|B|等于__________。三、解答题（共6题，共70分）1.（10分）设向量组α₁=(1,1,1),α₂=(1,2,3),α₃=(1,3,λ)，讨论λ取何值时该向量组线性相关，并求其秩。2.（10分）已知矩阵A=（a_{ij}）为4阶方阵，且|A|=2，求矩阵B=3A⁻¹的行列式。3.（10分）设线性方程组Ax=b的增广矩阵为（A|b），其中A为4×3矩阵，且R(A)=2，R（A|b）=3，讨论该方程组的解的情况。4.（10分）已知二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+λx₃²+2tx₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃正定，求λ的取值范围。5.（10分）设V为n阶实矩阵空间，W为V的子空间，若dim(V)=4，dim(W)=2，求W的基的向量个数。6.（20分）已知矩阵A=（a_{ij}）为5阶方阵，且|A|=3，若将A的第2行与第3行互换得到矩阵B，求|B|，并证明你的结论。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解析：向量组线性相关⇔行列式|α₁α₂α₃|=0，即|111;12λ;13λ|=0⇒λ=4。2.C解析：|B|=|3A⁻¹|=3⁴|A⁻¹|=81/2=18。3.A解析：R(A)<R（A|b）⇔无解。4.C解析：正定矩阵特征值均大于0⇔λ>2且Δ₁>0,Δ₂>0,Δ₃>0（惯性指数）。5.B解析：dim(W)=2⇔基由2个向量线性表示。6.B解析：行交换改变行列式符号⇔|B|=-|A|=-3。7.A解析：行列式|α₁α₂α₃|=1-1+1=1≠0⇔λ≠1。8.C解析：|B|=|2A²|=2³|A²|=8|A|²=8。9.A解析：R(A)<R（A|b）⇔无解。10.A解析：秩为3⇔λ≠0（否则二次型退化）。二、填空题1.λ≠4解析：行列式|α₁α₂α₃|=λ-2≠0⇔λ≠4。2.18解析：|B|=|3A⁻¹|=81/2=18。3.无解解析：R(A)<R（A|b）⇔无解。4.λ>2解析：正定矩阵特征值均大于0⇔λ>2且Δ₁>0,Δ₂>0,Δ₃>0。5.2解析：dim(W)=2⇔基由2个向量线性表示。6.-3解析：行交换改变行列式符号⇔|B|=-|A|=-3。三、解答题1.解：行列式|α₁α₂α₃|=λ-2，当λ=4时，向量组线性相关；当λ≠4时，向量组线性无关，秩为3。2.解：|B|=|3A⁻¹|=3⁴|A⁻¹|=81/2=18。3.解：R(A)=2<R（A|b）=3⇔无解。4.解：正定⇔Δ₁>0,Δ₂>0,Δ₃>0⇔λ>2。5.解：dim(W)=2⇔基由2个向量线性表示。6.证明：行交换改变行列式符号⇔|B|=-|A|=-3，由行列式性质得证。【评分标准】-