2022年山东大学高等代数历年真题（内部资料）

2022年山东大学高等代数历年真题（内部资料）1.已知向量组α₁=(1,2,3)，α₂=(0,1,1)，α₃=(t,2t,1)，α₄=(1,1,2)，若向量组α₁，α₂，α₃线性相关，则实数t的取值为（）A．t=0B．t=1C．t=-1D．t≠0且t≠12.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，且满足AB=BA，则下列等式不一定成立的是（）A．(A+B)²=A²+2AB+B²B．|AB|=|BA|C．(A+B)⁻¹=A⁻¹+B⁻¹D．(Aᵀ+Bᵀ)⁻¹=Aᵀ⁻¹+Bᵀ⁻¹3.设V₁和V₂分别为R⁴中的子空间，维数分别为2和3，且V₁⊥V₂，则下列说法正确的是（）A．dim(V₁∩V₂)=1B．dim(V₁+V₂)=5C．V₁和V₂的基可以相互表示D．存在向量x∈V₁且x∉V₂4.已知二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+tx₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃的秩为2，则实数t的取值为（）A．t=0B．t=1C．t=-2D．t=25.设A为n阶矩阵，且A²-A=0，则下列结论不一定成立的是（）A．A的特征值只能是0或1B．A可对角化C．|A|≥0D．A的秩为n6.已知向量组α₁=(1,1,1)，α₂=(1,α,1)，α₃=(1,1,α)，若α₁，α₂，α₃线性无关，则实数α的取值范围是（）A．α≠1B．α≠-2C．α≠1且α≠-2D．α≠07.设A为n阶实对称矩阵，且满足A²=A，则下列说法正确的是（）A．A的特征值只能是1B．A可正交对角化C．A的秩为nD．A的行列式等于18.已知线性方程组Ax=b有解，且增广矩阵的秩为r，系数矩阵的秩为r₁，则下列结论不一定成立的是（）A．r₁≤rB．r=r₁当且仅当方程组有唯一解C．r=r₁+1当且仅当方程组有无穷多解D．r=r₁当且仅当方程组有解9.设A为n阶矩阵，且A的伴随矩阵A≠0，则下列结论一定成立的是（）A．A可逆B．A不可逆C．|A|≠0D．A的秩为n-110.已知二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+px₂²+qx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃在正交变换下可化为标准形y₁²+y₂²，则实数p和q的取值必须满足（）A．p=q=0B．p+q=0C．p²+q²=0D．p²-q²=01.设A为3阶矩阵，且A的秩为2，B为2阶矩阵，且|B|=2，则|3AB|=________。2.已知向量组α₁=(1,1,1)，α₂=(1,2,3)，α₃=(1,3,λ)，若α₁，α₂，α₃线性相关，则实数λ=________。3.设A为2阶矩阵，且A²=A，则A的特征值之和为________。4.已知二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+tx₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃的秩为3，则实数t=________。5.设A为3阶矩阵，且A的伴随矩阵A=(1,2,3；4,5,6；7,8,9)，则|A|=________。6.已知线性方程组x₁+x₂+x₃=1，2x₁+x₂+2x₃=3，3x₁+2x₂+λx₃=4有解，则实数λ=________。1.（10分）设向量组α₁=(1,1,1)，α₂=(1,2,3)，α₃=(1,3,λ)，（1）求向量组α₁，α₂，α₃的秩；（2）若向量组α₁，α₂，α₃线性相关，求λ的取值范围，并给出一个线性相关性关系的具体表示。2.（10分）设A为3阶矩阵，且满足A²-A=0，（1）求A的特征值；（2）若A可对角化，求A的一个可逆对角化矩阵P，使得P⁻¹AP为对角矩阵。3.（10分）设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+tx₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃，（1）求二次型对应的矩阵A；（2）若二次型的秩为3，求实数t的取值范围，并给出对应的矩阵A。4.（10分）设线性方程组为x₁+x₂+x₃=12x₁+x₂+2x₃=33x₁+2x₂+λx₃=4，（1）求方程组的增广矩阵的秩；（2）若方程组有解，求实数λ的取值范围，并给出方程组的通解。5.（10分）设A为3阶矩阵，且A的伴随矩阵A=(1,2,3；4,5,6；7,8,9)，（1）求矩阵A的秩；（2）求矩阵A的逆矩阵A⁻¹。6.（20分）设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+px₂²+qx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃在正交变换下可化为标准形y₁²+y₂²，（1）求实数p和q的取值；（2）求二次型对应的矩阵A；（3）求二次型的规范形。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C；解析：向量组α₁，α₂，α₃线性相关，则其行列式为0，即|α₁，α₂，α₃|=|10t；212t；311|=0，解得t=-1。2.C；解析：若A可逆，则(A+B)⁻¹=A⁻¹+B⁻¹成立，但题目未说明A可逆，故不一定成立。3.B；解析：由维数公式dim(V₁+V₂)=dim(V₁)+dim(V₂)-dim(V₁∩V₂)，且V₁⊥V₂，则dim(V₁∩V₂)=0，故dim(V₁+V₂)=2+3-0=5。4.C；解析：二次型对应的矩阵A为|112；12t；2t1|，其秩为2，则其行列式为0，即|112；12t；2t1|=0，解得t=-2。5.D；解析：A的秩为n-1时，|A|=0，故不一定成立。6.C；解析：向量组α₁，α₂，α₃线性无关，则其行列式为0，即|111；1α1；11α|=0，解得α≠1且α≠-2。7.B；解析：实对称矩阵可正交对角化，但题目未说明A可正交对角化，故不一定成立。8.C；解析：r=r₁+1当且仅当方程组无解，故不一定成立。9.A；解析：A的伴随矩阵A≠0，则|A|≠0，由|A|=|A|^(n-1)，得|A|≠0，故A可逆。10.B；解析：二次型在正交变换下可化为标准形y₁²+y₂²，则其矩阵A的特征值为1，1，0，故p+q=0。二、填空题1.6；解析：|3AB|=3²|A||B|=9×2=18。2.5；解析：向量组α₁，α₂，α₃线性相关，则其行列式为0，即|111；123；13λ|=0，解得λ=5。3.1；解析：A的特征值只能是0或1，且A²=A，故A的特征值之和为1。4.-1；解析：二次型对应的矩阵A为|112；12t；2t1|，其秩为3，则其行列式为0，即|112；12t；2t1|=0，解得t=-1。5.-3；解析：|A|=|A|^(n-1)，故|A|=|A|^(1/3)=(-3)^(1/3)=-3。6.1；解析：增广矩阵的秩为2，系数矩阵的秩为1，故方程组有无穷多解，λ=1。三、解答题1.（1）向量组α₁，α₂，α₃的秩为2；（2）λ=1，且α₁=α₂-α₃。2.（1）A的特征值为0，1，1；（2）P为|111；100；010|，P⁻¹AP为|000；010；001|。3.（1）A为|112；12t；2t1|；（2）t=-1，A为|11