河南省部分普通高中2026-2027学年高一上学期开学联考数学试题（含解析）

2026年8月河南省普通高中高一年级开学联考数学一、选择题：本题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的相反数是（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【详解】根据相反数的定义，的相反数为3.2.某市2024年的扶贫资金为万元，比2023年增长了，计划2025年的增幅调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（）A.万元 B.万元C.万元 D.万元【答案】D【解析】【分析】根据题中所给的条件，用2024年的扶贫资金为万元分别表示2023年与2025年的扶贫金额，最后再相加即可求解.【详解】设2023年的扶贫资金为万元，2025年的扶贫资金为万元所以3年总金额为.3.关于x的方程的两个根，，满足，则m的值为（

）A.5 B. C. D.1【答案】C【解析】【详解】∵是一元二次方程的两个根，∴根据根与系数的关系可得，，又，代入，得，解得，将代入，得，∴，即，整理得，因此，检验：当时，该方程的判别式，符合题意，故m的值为．4.如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与轴的一个交点是，则不等式的解集是（）A.或B.C.D.【答案】A【解析】【详解】因为二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点是，由对称性可知二次函数与轴的一个交点是，由图象可知不等式的解集是或.5.对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据新定义逐个运算可得答案.【详解】对于①，因为，所以，故①正确；对于②，，若，由定义可得，当时，可得；若，由定义可得，当时，可得，成立，所以，，或，故②错误；对于③，当时，，所以，，，故③错误；对于④，若，当即时，得，解得，所以；当即时，得，解得，所以；综上，的取值范围为，故④正确.其中正确的是①④.6.有A，B两种卡片各4张，A卡片正、反两面分别写着1和0，B卡片正、反两面分别写着2和0，甲、乙两人从中各拿走4张卡片并摆放在桌上，发现各自的4张卡片向上一面的数字和相等，两人各自将所有卡片另一面朝上，则甲的4张卡片数字和减小了1，乙的4张卡片数字和增加了1，则甲拿取A卡片的数量为（）A.1张 B.2张 C.3张 D.4张【答案】C【解析】【分析】先计算出各自的4张卡片向上一面的数字和，设甲拿了张种卡片，张种卡片，得到，结合甲的4张卡片数字和减小了1可得到方程，联立求解即可.【详解】8张卡片数字总和为，设各自的4张卡片向上一面的数字和为，则，解得，即甲的4张卡片向上一面的数字和为3，则向下一面的数字和为.设甲拿了张种卡片，张种卡片，则，设甲的张种卡片中有张正面朝上，张种卡片中有张正面朝上，则总减少量，正面数字和为.又，为非负整数，则，或，.当，时，代入减少量式子得，与联立解得，.当，时，代入减少量式子得，与联立解得，.均满足题意，所以甲拿取A卡片的数量为3张.7.如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”.用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数可能结果数，并找出“平稳数”个数即可求解【详解】依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数可能结果有：123，132，213，231，312，321共六种可能，只有123，321是“平稳数”，∴用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为.故选：C.8.某餐厅计划推出一个新菜品，在菜品研发阶段研制出，两种味道，为测试哪种味道更符合当地人口味，随机抽取餐厅内的位当地顾客分别为两种味道的菜品打分，打分情况如下：口味顾客顾客顾客顾客顾客关于这组数据，下列说法正确的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】直接由平均数及方差的定义分别计算，再比较大小可得.【详解】由题意有：，，所以.又因为，，所以，因此，.9.在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动，为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：册数01234人数41216171关于这组数据，下列说法正确的是（）A.平均数是2 B.众数是17 C.方差是2 D.中位数是2【答案】D【解析】【分析】根据平均数、众数、方差、中位数等知识确定正确答案.【详解】学生读书的册数的众数为，B选项错误.个数据，中间两个数据是第个与第个，所以学生读书的册数的中位数是，D选项正确.学生读书的册数的平均数为，A选项错误.学生读书的册数的方差为，所以C选项错误.故选：D10.为保证中小学生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图(1)和图(2)，则扇形统计图(2)中表示“足球”项目扇形的圆心角的度数为（）A.45° B.60° C.72° D.108°【答案】C【解析】【分析】由图（1）中的人数比可得出在扇形统计图“足球”项目所占比例，即可求得其对应的圆心角度数.【详解】由图（1）可知，篮球人数为20，扇形统计图(2)中占比为，足球人数为10，则在扇形统计图(2)中占比应为，整个扇形统计图的圆心角为，所以“足球”项目扇形的圆心角的度数为.故选：C11.《九章算术》记载“今有邑方不知大小，各中开门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方有几何？”意思是：如图，点点分别是正方形的边的中点，过点，且步，步，则正方形的边长为（）A.步 B.步 C.步 D.步【答案】D【解析】【分析】根据平行与角度的关系可得,再设列式求解即可.【详解】因为,易得,,故.设,则.

故正方形的边长为.故选：D本题主要考查了利用相似求解线段长度的方法,需要根据平行与相似分析三角形的边的比例的关系,属于基础题.12.如图1．将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设正方形的边长为2a，，则，再根据翻折变换的性质表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，再根据同角的余角相等求出，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．【详解】设正方形的边长为2a，，则，由题意可得，，在中，则，即，解得，因为，则，又因为，则，所以．故选：C．13.如图，在Rt△AOB中，AO⊥BO，AB⊥y轴，O为坐标原点，点A的坐标为（4，m），反比例函数的图象的一支过点A，反比例函数的图象的一支过点B，过点A作AH⊥x轴于点H，若△AOH的面积为12，则k2的值为（）A.-24 B.-36 C.-48 D.-54【答案】D【解析】【分析】设与轴交于点，由题设可得坐标及，然后由射影定理及题设可得坐标，据此可得答案.【详解】因，轴，，则，由，可得，则，设交轴于点,因轴，则,又，由射影定理可得，又由题可得，则得,又点在第二象限，从而点横坐标为，易得.因点在反比例函数图象上，则，得.14.观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（…）作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令得，则，再求和即可.【详解】过点的垂线，交的图象于点，交直线于点；令，可得：纵坐标为纵坐标为，，，，.故选：D.15.如图，在等腰中，，，动点，同时从点出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为.下列图象能反映与之间函数关系的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意建立函数关系，结合二次函数的性质判断即可.【详解】由题意知，为等腰直角三角形，则，则正方形的边长为.当正方形的底边刚好碰到时，，解得，即两段函数的分界点.当时，正方形完全在内部，重合面积就是正方形面积，则，这是开口向上的抛物线，且递增，当时，.当时，正方形一部分伸出三角形外，重合面积为，这是开口向下的抛物线，顶点在处，面积先增后减，最大值为，此时.综上，当时，函数图象为开口向上且递增的抛物线，当时，；当时，函数图象为开口向下的抛物线，先增后减，当时，.故选项A符合.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．16.分解因式：_________．【答案】【解析】【详解】由立方和公式得.17.计算：___________．【答案】##【解析】【详解】原式.18.记为超过实数的最小整数，如，则满足不等式的的取值范围为_______.【答案】【解析】【详解】由题设，等价于，即.19.如图，点是反比例函数图象上的两点，过点分别作轴于点，轴于点，连接，已知点，则__________．【答案】【解析】【分析】根据已知及三角形面积的求法列方程可得，进而得到，再求出，应用三角形面积公式求面积.【详解】由且轴，则，可得，所以，故，所以，由轴，，则，故，所以.故答案为：20.如图，AB是圆O的直径，弦CD与AB交于点E，过A作圆的切线与CD的延长线交于点F，D为EF的中点，若，则___________．【答案】24【解析】【分析】设，连接，推导出，，可得，，结合三角形相似可得，进而可得，再证明，结合三角形相似的性质运算求解.【详解】设，连接，因为是的直径，弦与交于点，的切线与的延长线交于点，则，，，可得，又因为为EF的中点，则，可得，因为，，则，可得，，又因为，则，且，，则，结合可知，则，可得，即，解得或（舍去），则，，可得，则，又因为，，则，可得，则，所以．21.几何学有两个伟大的瑰宝，一个是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割.毕达哥拉斯几何学中有一个关于五角星结构的问题.如图，一个边长为1的正五边形有5条对角线，这些对角线分别相交于，，，，五点，它们组成了另一个正五边形，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______.【答案】【解析】【分析】根据正五边形的性质，可求得各个角度，进而可得相似于，计算可得的长，则所求落在阴影部分概率，即为阴影面积与正五边形面积之比，即可得答案.【详解】因为正五边形，所以每个内角度数为，即，所以在中，，因为，所以，则，所以，所以，所以，设，因为，，所以相似于，所以，即，解得（负值舍去），所以，则这个点取在阴影部分的概率.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（1）计算：；（2）解不等式组：并求所有整数解的和；（3）先化简，再代入求值：，其中.【答案】（1）；（2），-6；（3），【解析】【分析】（1）根据对应运算法则计算求解即可；（2）先解不等式组，再找出符合的整数，并求和即可；（3）先化简，再代入求值即可.【详解】（1）原式.（2）解不等式①得；解不等式②得，∴原不等式组的解集为，∴不等式组所有整数解的和为.（3），当时，原式.23.3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙”为进一步提高学生学习数学的兴趣．某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并从男、女生中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩得分用x（分）表示，共分为五组：A．；B．；C．；D．；E．；其中记为优秀），相关数据统计、整理如下：男生被抽取的学生竞赛成绩：52，58，58，60，64，70，72，74，74，76，76，78，80，86，86，86，88，90，94，98．女生被抽取的学生竞赛成绩中，C组的具体分数为：70，72，74，76，76，76，78，78．男、女生被抽取的竞赛成绩统计表：性别男生女生平均数7676中位数76众数87优秀率40%请根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：______，______，______；（2）根据以上数据分析，从一个方面评价该校男、女生本届数学趣味知识竞赛成绩谁更优异？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校共有3000人，请你估计该校学生中竞赛成绩优秀的有多少人？【答案】（1），（2）女生本届数学趣味知识竞赛成绩更优异，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）根据中位数，众数以及优秀的定义，即可求解，（2）根据中位数以及众数的大小比较即可求解，（3）由优秀率即可计算得解.【小问1详解】由扇形图可知：A组和B组的人数一共有个人，故中位数为从小到大排列的第10个数和第11个数的平均数，且C组的具体分数为：70，72，74，76，76，76，78，78．故女生的20个数据中从小到大排列的第10个数和第11个数分别为76，78，因此女生的中位数男生数据中86出现了3次，是出现次数最多的，故，女生中数据位于C组的比例为，故位于D组的比例为故位于D,E两组的数据为优秀，因此女生的优秀率为，故故答案为：.【小问2详解】女生本届数学趣味知识竞赛成绩更优异，由于男女生竞赛成绩的平均数，优秀率相等，但女生成绩的中位数以及众数均高于男生，因此女生的成绩更加优异.【小问3详解】由于男女生成绩的优秀率均为，故该校学生成绩的优秀率为，因此优秀的人数为（人）24.某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为元时，年销售量为万棵．（1）基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元（），每年的销售总收入为万元．①求关于的函数关系式：②要使提价后每年销售的总收入为万元，求的值．（2）该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育，改良前该绿植每棵售价为元．设改良培育后每棵的售价为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？【答案】（1）①

，其中；

②（2）年销售量至少达到万棵，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和.【解析】【分析】（1）①先计算每棵定价提高到元时的销售量为，进而可得销售收入即为函数关系式；②直接在函数关系式中令，可得的值；（2）根据题意可得不等式，再参数分离及换元得，构造函数，根据二次函数的性质可得，从而可得所求值的最小值.【小问1详解】①定价为元时，相比原价元提高了元，根据“每提价元销量减少万棵”，所以销量减少量为万棵，因此实际年销售量为：

（万棵），因此销售总收入，整理得：

，其中.故关于的函数关系式为，其中，②令，代入函数得

，整理为一元二次方程，得，解得或.结合，舍去，得.因此要使提价后每年销售的总收入为万元，.【小问2详解】因为改良前的年销售收入为万元，改良培育费用为万元，改良后的年销售收入为，根据题意，（其中），所以，令，由得，所以，函数是一个开口向下的二次函数的一部分，对称轴为，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，当时，函数取得最大值，要使不等式对所有恒成立，则.因此年销售量至少达到万棵，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和.25.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当时，请根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集；（3）过直线上的点作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）反比例函数的图象过点求出，把点代入反比例函数求出，再把两点坐标代入可得答案；（2）结合图象可得答案；（3）过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，根据，可得答案.【小问1详解】反比例函数的图象过点，，故反比例函数的表达式为，把点代入反比例函数得，，解得，点的坐标为，一次函数的图象经过两点，，解得，故一次函数的表达式为；【小问2详解】由图象得时，；【小问3详解】点横坐标为，代入，解得：，，当时，代入，得，解得：，，如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，、，，，，，，，．26.在直角坐标系中，正方形的两边分别在轴、轴上，点的坐标为．（1）如图，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，边交于．求点的坐标．（2）如图，与正方形四边都相切，直线切于点，分别交轴、轴、线段于点．求证：平分．（3）若，为延长线上一动点，过三点作，交于，如图．当运动时（不包括点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由．【答案】（1）（2）详见解析；（3）【解析】【分析】（1）连接OG，根据，由轴对称得到，再由求解；（2）过作，根据，结合切线长定理得到求解；（3）连接HT，HS，HA，在AT上取点V，使TV=AS，由求解.【小问1详解】如图：连接OG，因为，由轴对称得，又，所以，则.【小问2详解】如图：过作，