第三十二章 锐角三角函数 单元测试卷 （含答案）2026-2027学年人教版数学九年级全一册

第三十二章锐角三角函数(时间:120分钟分值:120分)一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项,请将正确答案的代号填入题后括号内)1.2cos30°的值等于()A.1 B.32 C.2 D.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=35,则tanA=()A.34 B.43 C.453.如图,某河堤迎水坡AB的坡比i=tan∠CAB=1∶3,堤高BC=5m,则坡面AB的长是()A.5m B.10m C.53m D.8m4.(新情境·航海测量)如图,在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处,若渔船沿北偏西75°方向以40海里/时的速度航行,航行半小时后到达C处,在C处观测到B在C的北偏东60°方向上,则B,C之间的距离为()A.20海里 B.103海里 C.202海里 D.30海里5.如图,在边长相同的小正方形组成的方格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点P,则sin∠APD的值是()A.12 B.55 C.256.构建几何图形解决代数问题体现了“数形结合“思想的重要性,当计算tan15°时,如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,所以tan15°=ACCD=12+3=2-3(2+3)(2-3A.2+1 B.2-1 C.2 D.1二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)7.比较大小:tan45°cos45°.

8.在△ABC中,若sinA-12+cosB-122=0,则∠C的度数是.

9.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:①sinA=32;②cosB=12;③tanA=33;④tanB=3.其中正确的结论是10.如图,在△ABC中,∠ACB=∠ADC=90°,若sinA=35,则cos∠BCD的值为11.如图,某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度,在点A处测得树顶C的仰角为45°,在点B处测得树顶C的仰角为60°,且A,B,D三点在同一直线上,若AB=20m,则这棵树CD的高度约为m.(按四舍五入法将结果保留小数点后一位,参考数据:3≈1.732)

12.定义:有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫作“对等四边形”.如图,在Rt△PBC中,∠PCB=90°,点A在边BP上,点D在边CP上,如果BC=11,tan∠PBC=125,AB=13,四边形ABCD为“对等四边形”,那么CD的长为三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)13.(1)(新素养·运算能力)计算:2sin45°+tan30°·cos30°-2.(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,且a=3,c=5,求sinB的值.14.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.若AB=12,CD=6,tanA=32,求sinB+cosB的值15.先化简,再求值:a-2ab-b2a÷a-ba16.如图,这是6×6的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点均在格点上.请仅用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作图(保留作图痕迹).(1)如图1,在BC边上找出一点D,连接AD,使得sin∠ADB=22(2)如图2,在AC边上找出一点E,连接BE,使得tan∠ABE=1.17.如图,在直角坐标平面内,O为原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,BO=5,sin∠BOA=35(1)求点B的坐标.(2)求cos∠BAO的值.四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)18.(新情境·实践活动)越来越多太阳能路灯的使用,点亮了城市的风景.某校学生开展综合实践活动,测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图,已知测倾器的高度为1.6米,在测点A处安置测倾器,测得点M的仰角∠MBC=33°,在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器,测得点M的仰角∠MEC=45°(点A,D与N在一条直线上),求电池板离地面的高度MN的长.(结果精确到1米;参考数据sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65)19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E为AB上一点,AC=AE=3,BC=4,过点A作AB的垂线交射线EC于点D,延长BC交AD于点F.(1)求CF的长.(2)求∠D的正切值.20.(新素养·应用意识)休闲旅游时,许多游客为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”,其截面示意图是轴对称图形,对称轴是垂直于地面的支杆AB,用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处,使得A,D,E在一条直线上,通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合,已知AC=AD=2m,BF=3m.(1)天晴时打开“天幕”,若∠α=65°,求遮阳宽度CD.(2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减小到45°,求点E下降的高度.(结果精确到0.1m;参考数据:sin65°≈0.90,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,2≈1.41)五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)21.(新情境·实践活动)某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,当小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整).课题测量旗杆的高度成员组长:×××组员:×××,×××,×××测量工具测量角度的仪器,皮尺等测量示意图说明:线段GH表示学校旗杆,测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5m,测点A,B与H在同一条水平直线上,A,B之间的距离可以直接测得,且点G,H,A,B,C,D都在同一竖直平面内,点C,D,E在同一条直线上,点E在GH上测量数据测量项目第一次第二次平均值∠GCE的度数25.6°25.8°25.7°∠GDE的度数31.2°30.8°31°A,B之间的距离5.4m5.6m…………任务一:两次测量A,B之间距离的平均值是m.

任务二:根据以上测量结果,请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度.(参考数据:sin25.7°≈0.43,cos25.7°≈0.90,tan25.7°≈0.48,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)22.如图,B,C是线段AD的三等分点,以BC为直径作☉O,P是圆上异于B,C两点的任意一点,连接PA,PB,PC,PD.(1)当PB=12PC时,求tan∠APB的值(2)当P是BC上异于B,C两点的任意一点时,求tan∠APB·tan∠DPC的值.六、解答题(本大题共12分)23.数学老师布置了这样一个问题:如果α,β都为锐角,且tanα=13,tanβ=12,求α+β甲、乙两名同学想利用正方形网格结构图来解决问题,他们分别设计了图1和图2.(1)请你分别利用图1、图2求出α+β的度数,并说明理由.(2)请参考以上思考问题的方法,选择一种方法解决下列问题:如果α,β都为锐角,当tanα=5,tanβ=23时,在图3的正方形网格中,利用已作出的锐角α,画出∠MON,使得∠MON=α-β,求出α-β的度数

【参考答案】1.D2.A3.B4.C5.C6.B提示:如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=45°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=22.5°,∴tan22.5°=ACCD=11+2=1-2(1+7.>8.90°9.②③④10.4511.12.12.13或12-85或12+85提示:点D的位置如图所示:①若CD=AB,此时点D在D1的位置,CD1=AB=13.②若AD=BC=11,此时点D在D2,D3的位置,AD2=AD3=BC=11,过点A分别作AE⊥BC,AF⊥PC,垂足分别为E,F.设BE=x,∵tan∠PBC=125∴AE=125在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2,即x2+125x2=132,解得x1=5,x2=-5(舍去),∴BE=5,AE=12,∴CE=BC-BE=6.由四边形AECF为矩形,可得AF=CE=6,CF=AE=12,在Rt△AFD2中,FD2=AD22∴CD2=CF-FD2=12-85,同理,CD3=CF+FD2=12+85.综上所述,CD的长为13或12-85或12+85.13.(1)解:原式=2×22+33×3=2+12-=12.3分(2)解:根据勾股定理可得在Rt△ABC中,a2+b2=c2.又∵a=3,c=5,∴b2=c2-a2=16,∴b=4,∴sinB=bc=45.14.解:在Rt△ACD中,CD=6,tanA=32,∴AD=4,∴BD=AB-AD=8在Rt△BCD中,BC=82+62=10,∴sinB=CDBC=35∴sinB+cosB=75.6分15.解:原式=a2-2ab+b2a×∵a=sin30°=12,b=tan45°=1,∴原式=a-b=12-1=-1216.解:(1)如图1,点D即所求.3分(2)如图2,点E即所求.6分17.解:(1)如图,作BH⊥OA,垂足为H.在Rt△OHB中,∵BO=5,sin∠BOA=35∴BH=3,∴OH=4,∴点B的坐标为(4,3).3分(2)∵OA=10,OH=4,∴AH=6.在Rt△AHB中,∵BH=3,∴AB=35,∴cos∠BAO=255.18.解:如图,延长BC交MN于点H,AD=BE=3.5,HN=BA=1.6,设MH=x米.∵∠MEC=45°,∴EH=x米.在Rt△MHB中,tan∠MBH=MHHE+EB=xx+3.5≈0.则MN=HN+MH=1.6+6.5=8.1≈8(米),∴电池板离地面的高度MN的长约为8米.8分19.解:(1)∵∠ACB=90°,∴∠ACF=∠ACB=90°,∠B+∠BAC=90°.∵AD⊥AB,∴∠BAC+∠CAF=90°,∴∠B=∠CAF,∴△ABC∽△FAC,2分∴ACCF=BCAC,即3CF解得CF=94.4分(2)如图,过点C作CH⊥AB于点H.∵AC=3,BC=4,∴AB=5,则CH=AC·BCAB=12∴AH=AC2-CH2∴tan∠D=tan∠ECH=EHCH=12.20.解:(1)由对称知,CD=2OD,AD=AC=2m,∠AOD=90°.在Rt△AOD中,∠OAD=∠α=65°,∴sinα=ODAD∴OD=AD·sinα=2×sin65°≈2×0.90=1.80m,∴CD=2OD=3.6m.4分(2)如图,过点E作EH⊥AB于点H,∴∠BHE=90°.∵AB⊥BF,EF⊥BF,∴∠ABF=∠EFB=90°,∴∠ABF=∠EFB=∠BHE=90°,∴EH=BF=3m.在Rt△AHE中,tanα=EHAH∴AH=EHtan当∠α=65°时,AH=3tan65°≈32当∠α=45°时,AH=3tan45°∴当∠α从65°减小到45°时,点E下降的高度约为3-1.40=1.6(m).8分21.解:任务一:5.5.4分任务二:设EG=xm.在Rt△DEG中,∠DEG=90°,∠GDE=31°.∵tan31°=EGDE,∴DE=x在Rt△CEG中,∠CEG=90°,∠GCE=25.7°.∵tan25.7°=EGCE,∴CE=x∵CD=CE-DE,∴xtan25.7°-xtan31°=5∴GH=GE+EH≈13.2+1.5=14.7.答:旗杆GH的高度约为14.7m.9分22.解:(1)如图,过点A作AE∥PC,与PB的延长线交于点E.∵BC是☉O的直径.∴∠BPC=90°,∠AEP=90°.∵AB=BC,∠ABE=∠PBC,∴△ABE≌△CBP,∴BE=PB,AE=PC.∵PB=12PC∴AE=PE,∴tan∠APB=AEPE=1.4分(2)由(1)可得△ABE≌△CBP,∴PB=BE,AE=PC,∴tan∠APB=AEPE=PC同理tan∠DPC=PB2PC,∴tan∠APB·tan∠DPC=PC2PB·PB223.解:(1)①如图1,在△AMC和△CNB中,AM∴△AMC≌△CNB,∴AC=BC,∠ACM=∠CBN.∵∠BCN+∠CBN=90°,∴∠ACM+∠BCN=90°,∴∠ACB=90°,∴∠CAB=∠CBA=45°,∴α+β=45°.4分②如图2