四川省成都市石室天府中学2025-2026学年高二（下）月考数学试卷（4月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年四川省成都市石室天府中学高二（下）月考数学试卷（4月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.下列求导正确的是（）A. B.

C.（xex）′=（x+1）ex D.（sin2x）′=cos2x2.在等差数列{an}中，已知a3+a5+a7=18，则该数列前9项的和为（）A.54 B.63 C.66 D.723.已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，点A（4，y0）在抛物线C上，则|AF|=（）A. B.4 C.3 D.54.通过调查某省100家能够提供儿科夜间急诊服务的医疗机构，并统计其夜间提供急诊的时长（单位：h），绘制得到频率分布直方图如图所示，根据图中数据，下列结论错误的是（）A.a=0.15

B.估计夜间提供急诊时长的平均数为12.36

C.估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为11.33

D.估计夜间提供急诊时长的众数为145.已知{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a4”是“{an}是增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.曲线f（x）=e2x过坐标原点的切线方程为（）A. B.y=ex C.y=e2x D.y=2ex7.某超市举行抽奖活动，规则如下：从装有编号1，2，3，4四个小球的抽奖箱中，每次取出1个小球，记下编号后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于7中一等奖，等于6中二等奖，等于5中三等奖，则顾客参与抽奖1次中奖的概率是（）A. B. C. D.8.已知f（x）=e-x-lnx-2x，若x0是函数f（x）的一个零点，则x0+lnx0的值为（）A.0 B. C.1 D.e+1二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列说法正确的有（）A.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有35种

B.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有53种不同的放法

C.用0-9这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数

D.用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位偶数10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，首项为1的正项数列{bn}满足b1•b2•b3⋯⋯bn=，数列{bn}的前n项和为Qn，则下列结论正确的是（）A. B.S4=15

C. D.11.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+1（a≠0），则下列说法正确的是（）A.若b=-3，且曲线y=f（x）的对称中心为（1，-2），则c=-1

B.若b=-3，函数f（x）在R上单调递增，则ac≤3

C.若bc＞0，且，则存在实数m,n（m≠n），使得f（m）=f（n）

D.若c=0，b=-3a,且函数f（x）有两个极值点x1、x2，则x1+x2=2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数在上的最小值为

.13.已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别为F1（-c,0）、F2（c,0），M为双曲线右支上一点，满足MF1⊥MF2，且△MOF2的面积为，则双曲线C的离心率为

.14.已知数列{an}满足a1≥1，当n≥2时，，若数列{an}中存在连续5项ak，ak+1，…，ak+4构成等差数列，则k的最小值是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=3，F，G分别为线段A1B1，BC的中点.

（1）证明：FG∥平面ACC1A1.

（2）求平面BFG与平面ACC1A1夹角的余弦值.16.(本小题15分)

设函数f（x）=x2+（a-2）x-alnx（a∈R）．

（1）若a=1，求f（x）的极值；

（2）讨论函数f（x）的单调性．17.(本小题15分)

已知数列{an}的前n项和为.

（1）证明：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；

（2）若Sn≤2an-4n-λ对任意n∈N*恒成立.求实数λ的取值范围.18.(本小题17分)

已知椭圆C：的右焦点F（1，0），短轴长为2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）记O为坐标原点，直线x-my-1=0与椭圆C交于A，B两点，过点A作直线x=2的垂线，垂足为D.

（i）求证：直线DB恒过定点；

（ii）求△ODB面积的取值范围.19.(本小题17分)

设a、b为实数，且a＞1，函数f（x）=ax，g（x）=bx-e2.

（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）当b=lna时，证明：f（x）≥g（x）+e2+1；

（3）若曲线y=f（x）与直线y=g（x）有且仅有两个交点，求的取值范围.

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】AC

10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

12.【答案】1

13.【答案】1+

14.【答案】2

15.【答案】解：（1）证明：由已知，AB，AC，AA1两两垂直，

以A为原点，正方向所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

已知AB=AC=2，AA1=3，F，G分别为线段A1B1，BC的中点，

则F（1，0，3），G（1，1，0），所以．

易得为平面ACC1A1的一个法向量．

因为，所以，

又FG⊄平面ACC1A1，

所以FG∥平面ACC1A1．

（2）由（1）知B1（2，0，3），C1（0，2，3），B（2，0，0），

设平面BFG的一个法向量为，

由（1）知，

则，则，

令z=1，得．

又平面ACC1A1的一个法向量为，

所以，

即平面BFG与平面ACC1A1夹角的余弦值为．

16.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a=1时，，

令f′（x）＞0，解得x＞1，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，

∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

∴f（x）的极小值为f（1）=0，无极大值；

（2），

当a≥0时，2x+a＞0，令f′（x）＞0，解得x＞1，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，

∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；

当，即-2＜a＜0时，令f′（x）＞0，解得或x＞1，令f′（x）＜0，解得，

∴函数f（x）在上单调递减，在，（1，+∞）上单调递增；

当，即a=-2时，f′（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当，即a＜-2时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1或，令f′（x）＜0，解得，

∴函数f（x）在上单调递减，在（0，1），上单调递增；

综上所述，当a≥0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；

当-2＜a＜0时，函数f（x）在上单调递减，在，（1，+∞）上单调递增；

当a=-2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当a＜-2时，函数f（x）在上单调递减，在（0，1），上单调递增；

17.【答案】因为，

所以两边同时除以2n+1得：，即，

又因为a1=1，所以，

所以数列是首项、公差均为的等差数列，，

（-∞，-5]

18.【答案】

（i）联立，得（m2+2）y2+2my-1=0，

显然Δ=4m2+4（m2+2）=8（m2+1）＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），D（2，y1），

则，，（*）

又，

则直线DB的方程为：，①

由图形的对称性可知，若动直线DB过定点，则定点一定在x轴上，

所以令y=0，代入①可得，

由（*）得，

所以，得，

所以直线DB恒过定点；（ii）

19.【答案】解：（1）当a=2时，f（x）=2x，则f（0）=1，

而f′（x）=2x•ln2，则f′（0）=ln2，

所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y-1=ln2•x,即y=ln2•x+1．

（2）证明：当b=lna时，g（x）=lna•x-e2，

设h（x）=f（x）-g（x）-e2-1=ax-lna•x-1，

则h′（x）=ax•lna-lna=（ax-1）•lna,

由于a＞1，则lna＞0，

令h′（x）＜0，得x＜0，令h′（x）＞0，得x＞0，

所以函数h（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，

则h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥g（x）+e2+1．

（3）设k（x）=f（x）-g（x）=ax-bx+e2，

由题意，曲线y=f（x）与直线y=g（x）有且仅有两个交点，

则函数k（x）有且仅有2个零点，

而k′（x）=ax•lna-b,

令k′（x）=0，得，而a＞1，则lna＞0，

当b≤0时，k′（x）=ax•lna-b＞0，则函数k（x）在R上单调递增，

此时函数k（x）最多有1个零点，不符合题意；

当b＞0时，令k′（x）＜0，得，令k′（x）＞0，得，

所以函数k（x）在上单调递减，在上单调递增，

又x→-∞时，k（x）→+∞，x→+∞时，k（x）