2026年天津市人教版九年级数学下册第2章数列测试题

2026年天津市人教版九年级数学下册第2章数列测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n为（）A.a_n=2n-1B.a_n=3n-6C.a_n=4n-12D.a_n=5n-20解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。则通项公式a_n=a_3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n-1，故选A。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则该数列一定是（）A.等差数列但非等比数列B.等比数列但非等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既非等差数列又非等比数列解析：当n=1时，b_1=S_1=1；当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2-2n)-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5。验证b_2=7，b_3=11，b_2-b_1=6，b_3-b_2=4，故数列{b_n}为等差数列但非等比数列，选A。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+1，则c_5的值为（）A.31B.63C.127D.255解析：递推关系可变形为c_{n+1}+1=2(c_n+1)，即{c_n+1}为等比数列，公比为2，首项为2。则c_n+1=2^n，c_n=2^n-1，c_5=2^5-1=31，故选A。4.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的前6项和为（）A.120B.168C.192D.240解析：由a_4=a_2q^2得q^2=9，q=3（舍负）。则a_1=a_2/q=2，前6项和S_6=2(3^6-1)/(3-1)=192，故选C。5.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=n(n+1)，则d_10的值为（）A.19B.20C.21D.22解析：当n=1时，d_1=S_1=2；当n≥2时，d_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)-(n-1)n=2n。验证d_2=4，d_3=6，符合通项2n，则d_n=2n，d_10=20，故选B。6.若数列{e_n}的前n项和S_n=2^n-1，则e_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：当n=1时，e_1=S_1=1；当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。验证e_2=2，e_3=4，符合通项2^{n-1}，则e_n=2^{n-1}，e_4=8，故选A。7.在等差数列{f_n}中，若f_1+f_3+f_5=27，f_2+f_4+f_6=39，则该数列的公差d为（）A.2B.3C.4D.5解析：由等差数列性质f_1+f_5=2f_3，f_2+f_6=2f_4，则27=3f_3，39=3f_4，f_4-f_3=12/3=4，即d=4，故选C。8.已知数列{g_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列一定是（）A.等差数列但非等比数列B.等比数列但非等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既非等差数列又非等比数列解析：当n=1时，g_1=S_1=2；当n≥2时，g_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。验证g_2=4，g_3=6，g_2-g_1=2，g_3-g_2=2，故数列{g_n}为等差数列但非等比数列，选A。9.若数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=h_n+2n，则h_5的值为（）A.30B.32C.34D.36解析：递推关系可变形为h_{n+1}+n(n+1)=h_n+n(n-1)+2n=n(n+1)+2，则{h_n+n(n-1)}为等差数列，首项为2，公差为2，h_n+n(n-1)=2+(n-1)×2=2n，h_n=2n-n^2+n=3n-n^2，h_5=3×5-5^2+5=15-25+5=5，故选D。10.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_3=8，则该数列的前5项和为（）A.31B.63C.127D.255解析：由i_3=i_1q^2得q^2=8，q=2（舍负）。则前5项和S_5=1(2^5-1)/(2-1)=31，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=11，a_10=23，则该数列的通项公式为。解：由a_10=a_5+5d得5d=12，d=2.4，a_n=a_5+(n-5)d=11+2.4(n-5)=2.4n-7。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则b_4=。解：当n=1时，b_1=S_1=-1；当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=4n-5，验证b_2=-1，b_3=3，符合通项4n-5，b_4=11。3.若数列{c_n}满足c_1=3，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6=。解：递推关系可变形为c_{n+1}+n(n+1)=c_n+(n-1)n+2n=n(n+1)+2，则{c_n+n(n-1)}为等差数列，首项为4，公差为2，c_n+n(n-1)=4+2(n-1)=2n+2，c_n=2n+2-n^2+n=3n-n^2+2，c_6=6。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比为。解：由d_4=d_2q^2得q^2=9，q=3（舍负）。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_5=。解：当n=1时，e_1=S_1=2；当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=2n，验证e_2=4，e_3=6，符合通项2n，e_5=10。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=3f_n+2，则f_4=。解：递推关系可变形为f_{n+1}+1=3(f_n+1)，则{f_n+1}为等比数列，首项为2，公比为3，f_n+1=2×3^{n-1}，f_n=2×3^{n-1}-1，f_4=55。7.在等差数列{g_n}中，若g_1=5，g_4=13，则该数列的公差为。解：由g_4=g_1+3d得3d=8，d=8/3。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则h_3=。解：当n=1时，h_1=S_1=2；当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=3^{n-1}×2，验证h_2=6，h_3=18，符合通项3^{n-1}×2，h_3=18。9.若数列{i_n}满足i_1=2，i_{n+1}=i_n+n，则i_5=。解：递推关系可变形为i_{n+1}+(n+1)(n+2)/2=i_n+n(n+1)/2+2，则{i_n+n(n+1)/2}为等差数列，首项为5，公差为2，i_n+n(n+1)/2=5+2(n-1)=2n+3，i_n=2n+3-n^2-n=3-n^2+n，i_5=5。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则该数列的前6项和为。解：由j_3=j_1q^2得q^2=8，q=2（舍负），S_6=1(2^6-1)/(2-1)=63。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列一定是等差数列。（）解：当n=1时，a_1=S_1=-1；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5，验证a_2=-1，a_3=3，a_2-a_1=2，a_3-a_2=4，故该数列是等差数列，正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比一定是3。（）解：由b_4=b_2q^2得q^2=9，q=3（舍负），正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+1，则该数列一定是等比数列。（）解：递推关系可变形为c_{n+1}+1=2(c_n+1)，则{c_n+1}为等比数列，正确。4.在等差数列{d_n}中，若d_1+d_3+d_5=27，则该数列的公差一定为3。（）解：由等差数列性质d_1+d_5=2d_3，27=3d_3，d_3=9，但无法确定公差，错误。5.若数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列一定是等比数列。（）解：当n=1时，e_1=S_1=2；当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=2n，验证e_2=4，e_3=6，e_2/e_1=2，e_3/e_2=3/2，故该数列不是等比数列，错误。6.在等比数列{f_n}中，若f_1=1，f_3=8，则该数列的公比一定是2。（）解：由f_3=f_1q^2得q^2=8，q=2（舍负），正确。7.若数列{g_n}满足g_1=2，g_{n+1}=g_n+2n，则该数列一定是等差数列。（）解：递推关系可变形为g_{n+1}+n(n+1)/2=g_n+n(n-1)/2+2，则{g_n+n(n-1)/2}为等差数列，正确。8.在等差数列{h_n}中，若h_1+h_2+h_3=12，则该数列的公差一定为4。（）解：由等差数列性质h_1+h_3=2h_2，12=3h_2，h_2=4，但无法确定公差，错误。9.若数列{i_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列一定是等比数列。（）解：当n=1时，i_1=S_1=2；当n≥2时，i_n=S_n-S_{n-1}=3^{n-1}×2，验证i_2=6，i_3=18，i_2/i_1=3，i_3/i_2=3，故该数列是等比数列，正确。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则该数列的前6项和一定是63。（）解：由j_3=j_1q^2得q^2=8，q=2（舍负），S_6=1(2^6-1)/(2-1)=63，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5=11，a_10=23，求该数列的通项公式。解：由a_10=a_5+5d得5d=12，d=2.4，a_n=a_5+(n-5)d=11+2.4(n-5)=2.4n-7。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，求b_4的值。解：当n=1时，b_1=S_1=-1；当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=4n-5，b_4=11。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比。解：由c_4=c_2q^2得q^2=9，q=3（舍负）。4.已知数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，求d_5的值。解：当n=1时，d_1=S_1=2；当n≥2时，d_n=S_n-S_{n-1}=2n，d_5=10。5.若数列{e_n}满足e_1=3，e_{n+1}=e_n+2n，求e_6的值。解：递推关系可变形为e_{n+1}+n(n+1)/2=e_n+n(n-1)/2+2，则{e_n+n(n-1)/2}为等差数列，首项为5，公差为2，e_n+n(n-1)/2=5+2(n-1)=2n+3，e_n=2n+3-n^2-n=3-n^2+n，e_6=3。6.在等差数列{f_n}中，若f_1=5，f_4=13，求该数列的公差。解：由f_4=f_1+3d得3d=8，d=8/3。7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=3^n-1，求g_3的值。解：当n=1时，g_1=S_1=2；当n≥2时，g_n=S_n-S_{n-1}=3^{n-1}×2，g_3=18。8.若数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=h_n+n，求h_7的值。解：递推关系可变形为h_{n+1}+(n+1)(n+2)/2=h_n+n(n+1)/2+2，则{h_n+n(n-1)/2}为等差数列，首项为5，公差为2，h_n+n(n-1)/2=5+2(n-1)=2n+3，h_n=2n+3-n^2-n=3-n^2+n，h_7=7。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_7=15，求该数列的前10项和。解：由a_7=a_3+4d得4d=8，d=2，a_1=a_3-2d=3，S_10=10(a_1+a_{10})/2=10(3+19)/2=110。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，求该数列的前8项和。解：S_8=2×8^2-3×8=100。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的前5项和。解：由c_4=c_2q^2得q^2=9，q=3，S_5=6(3^5-1)/(3-1)=242。4.已知数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的前12项和。解：S_12=12^2+12=156。5.若数列{e_n}满足e_1=3，e_{n+1}=e_n+2n，求该数列的前20项和。解：递推关系可变形为e_{n+1}+n(n+1)/2=e_n+n(n-1)/2+2，则{e_n+n(n-1)/2}为等差数列，首项为5，公差为2，e_n+n(n-1)/2=5+2(n-1)=2n+3，e_n=2n+3-n^2-n=3-n^2+n，S_n=3n-n^3/2+n^2/2，S_20=210。6.在等差数列{f_n}中，若f_1=5，f_4=13，求该数列的前15项和。解：由f_4=f_1+3d得3d=8，d=8/3，S_15=15(5+49)/2=390。7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=3^n-1，求该数列的前7项和。解：S_7=3^7-1=2186。8.若数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=h_n+n，求该数列的前25项和。解：递推关系可变形为h_{n+1}+(n+1)(n+2)/2=h_n+n(n+1)/2+2，则{h_n+n(n-1)/2}为等差数列，首项为5，公差为2，h_n+n(n-1)/2=5+2(n-1)=2n+3，h_n=2n+3-n^2-n=3-n^2+n，S_n=3n-n^3/2+n^2/2，S_25=325。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.C5.B6.B7.C8.A9.D10.A二、填空题1.2.4n-72.113.2n+24.35.106.557.8/38.189.510.63三、判断题1.√2.√3.√4.×5.×6.√7.√8.×9.√10.√四、简答题1.解：由a_10=a_5+5d得5d=12，d=2.4，a_n=a_5+(n-5)d=11+2.4(n-5)=2.4n-7。2.解：当n=1时，b_1=S_1=-1；当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=4n-5，b_4=11。3.解：由c_4=c_2q^2得q^2=9，q=3（舍负）。4.解：当n=1时，d_1=S_1=2；当n≥2时，d_n=S_n-S_{n-1}=2n，d_5=10。5.解：递推关系可变形为e_{n+1}+n(n+1)/2=e_n+n(n-1)/2+2，则{e_n+n(n-1)/2}为等差数列，首项为5，公差为2，e_n+n(n-1)/2=5+2(n-1)=2n+3，e_n=2n+3-n^2-n=3-n^2+n，e_6=3。6.解：由f_4=f_1+3d得3d=8，d=8/3。7.解：当n=1时，g_1=S_1=2；当n≥2时，g_