2026年陕西省北师大版高一数学第4章数列测试题

2026年陕西省北师大版高一数学第4章数列测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在数列{a_n}中，若a_1=2，a_n+1=3a_n-1（n∈N），则该数列的通项公式a_n等于（）A.3^n-1B.2×3^(n-1)C.3^n-1D.2×3^n-1解析：由递推关系a_n+1=3a_n-1，可变形为a_n+1-1=3(a_n-1)，设b_n=a_n-1，则b_n+1=3b_n，故{b_n}是首项为1、公比为3的等比数列，即b_n=3^(n-1)。因此a_n=b_n+1=3^(n-1)+1，选项C正确。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_(n-1)（n≥2），且a_1=1，则当n=5时，a_5的值为（）A.16B.31C.64D.127解析：由a_n=S_n-S_(n-1)（n≥2），可得S_n=a_n+S_(n-1)，即a_n=S_n-a_(n-1)，两式相减得a_n-a_(n-1)=a_n-a_(n-1)，故a_n=2a_(n-1)。又a_1=1，则{a_n}是首项为1、公比为2的等比数列，a_n=2^(n-1)，当n=5时，a_5=16，选项A正确。3.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N），则该数列的第4项a_4等于（）A.7B.8C.9D.10解析：由递推关系a_n+1=2a_n+1，可变形为a_n+1+1=2(a_n+1)，设b_n=a_n+1，则b_n+1=2b_n，故{b_n}是首项为2、公比为2的等比数列，即b_n=2^n。因此a_n=b_n-1=2^n-1，当n=4时，a_4=16-1=15，选项C正确。4.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值为（）A.20B.22C.24D.26解析：设等差数列{a_n}的公差为d，则a_3=a_1+2d，a_7=a_1+6d，由a_3+a_7=18，得2a_1+8d=18，即a_1+4d=9。因此a_5+a_9=(a_1+4d)+(a_1+8d)=2a_1+12d=2×9=18，选项B正确。5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，则该数列的第3项a_3等于（）A.12B.15C.18D.21解析：由a_n=S_n-S_(n-1)（n≥2），可得a_n=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，当n=3时，a_3=6×3-5=13，选项A正确。6.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n（n∈N），则该数列的前4项和S_4等于（）A.15B.31C.63D.127解析：由递推关系a_n+1=2a_n，可知{a_n}是首项为1、公比为2的等比数列，即a_n=2^(n-1)。因此S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=1+2+4+8=15，选项A正确。7.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列性质b_4=b_2q^2，得54=6q^2，解得q=3，选项A正确。8.已知数列{c_n}的前n项和为T_n=2^n-1，则该数列的第5项c_5等于（）A.16B.32C.48D.64解析：由c_n=T_n-T_(n-1)（n≥2），可得c_n=2^n-1-[2^(n-1)-1]=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)，当n=5时，c_5=2^4=16，选项A正确。9.在等差数列{d_n}中，若a_1=3，d=2，则该数列的前10项和S_10等于（）A.100B.110C.120D.130解析：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，得S_10=10/2[2×3+(10-1)×2]=10×(6+18)=240，选项C正确。10.已知数列{e_n}满足e_1=2，e_n+1=3e_n（n∈N），则该数列的前3项和S_3等于（）A.14B.16C.18D.20解析：由递推关系e_n+1=3e_n，可知{e_n}是首项为2、公比为3的等比数列，即e_n=2×3^(n-1)。因此S_3=e_1+e_2+e_3=2+6+18=26，选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等比数列{f_n}中，若f_3=8，f_5=32，则该数列的公比q=______。解：由等比数列性质f_5=f_3q^2，得32=8q^2，解得q=2。参考答案：22.已知数列{g_n}的前n项和为T_n=n^2+n，则该数列的第4项g_4=______。解：由g_n=T_n-T_(n-1)（n≥2），可得g_n=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，当n=4时，g_4=8。参考答案：83.在等差数列{h_n}中，若h_1=5，h_3=11，则该数列的公差d=______。解：由h_3=h_1+2d，得11=5+2d，解得d=3。参考答案：34.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=2i_n+1（n∈N），则该数列的通项公式i_n=______。解：由递推关系i_n+1=2i_n+1，设j_n=i_n+1，则j_n=2j_(n-1)，故{j_n}是首项为2、公比为2的等比数列，即j_n=2^n。因此i_n=j_n-1=2^n-1。参考答案：2^n-15.已知数列{j_n}的前n项和为S_n=4n^2-3n，则该数列的第3项j_3=______。解：由j_n=S_n-S_(n-1)（n≥2），可得j_n=8n-7，当n=3时，j_3=17。参考答案：176.在等比数列{k_n}中，若k_1=2，k_4=16，则该数列的公比q=______。解：由等比数列性质k_4=k_1q^3，得16=2q^3，解得q=2。参考答案：27.已知数列{l_n}的前n项和为T_n=2^(n+1)-2，则该数列的第2项l_2=______。解：由l_n=T_n-T_(n-1)（n≥2），可得l_n=2^n，当n=2时，l_2=4。参考答案：48.在等差数列{m_n}中，若m_1=1，m_5=17，则该数列的公差d=______。解：由m_5=m_1+4d，得17=1+4d，解得d=4。参考答案：49.若数列{n_n}满足n_1=3，n_n+1=3n_n（n∈N），则该数列的前4项和S_4=______。解：由递推关系n_n+1=3n_n，可知{n_n}是首项为3、公比为3的等比数列，即n_n=3^n。因此S_4=3+9+27+81=120。参考答案：12010.已知数列{p_n}的前n项和为A_n=n(n+1)/2，则该数列的第5项p_5=______。解：由p_n=A_n-A_(n-1)（n≥2），可得p_n=n，当n=5时，p_5=5。参考答案：5三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{q_n}的前n项和为B_n=2n^2+n，则该数列是等差数列。（）解：由q_n=B_n-B_(n-1)（n≥2），可得q_n=4n-1，该数列的公差为4，是等差数列。参考答案：正确2.在等比数列{r_n}中，若r_2=6，r_3=12，则该数列的公比q=2。（）解：由等比数列性质r_3=r_2q，得12=6q，解得q=2。参考答案：正确3.若数列{s_n}满足s_1=1，s_n+1=2s_n+1（n∈N），则该数列的通项公式s_n=2^n-1。（）解：由递推关系s_n+1=2s_n+1，设t_n=s_n+1，则t_n=2t_(n-1)，故{t_n}是首项为2、公比为2的等比数列，即t_n=2^n。因此s_n=t_n-1=2^n-1。参考答案：正确4.在等差数列{t_n}中，若t_1=2，t_4=10，则该数列的公差为3。（）解：由t_4=t_1+3d，得10=2+3d，解得d=3。参考答案：正确5.已知数列{u_n}的前n项和为C_n=n^2+n，则该数列的第3项u_3=8。（）解：由u_n=C_n-C_(n-1)（n≥2），可得u_n=2n，当n=3时，u_3=6。参考答案：错误6.在等比数列{v_n}中，若v_1=3，v_4=81，则该数列的公比q=3。（）解：由等比数列性质v_4=v_1q^3，得81=3q^3，解得q=3。参考答案：正确7.若数列{w_n}满足w_1=2，w_n+1=w_n+2（n∈N），则该数列是等差数列。（）解：由递推关系w_n+1=w_n+2，可知该数列的公差为2，是等差数列。参考答案：正确8.已知数列{x_n}的前n项和为D_n=2^(n+1)-2，则该数列的第4项x_4=16。（）解：由x_n=D_n-D_(n-1)（n≥2），可得x_n=2^n，当n=4时，x_4=16。参考答案：正确9.在等差数列{y_n}中，若y_1=5，y_6=17，则该数列的公差为3。（）解：由y_6=y_1+5d，得17=5+5d，解得d=2。参考答案：错误10.若数列{z_n}满足z_1=1，z_n+1=3z_n（n∈N），则该数列的前3项和S_3=13。（）解：由递推关系z_n+1=3z_n，可知{z_n}是首项为1、公比为3的等比数列，即z_n=3^(n-1)。因此S_3=1+3+9=13。参考答案：正确四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的通项公式a_n。解：由a_n=S_n-S_(n-1)（n≥2），可得a_n=2n，当n=1时，a_1=S_1=2，故a_n=2n。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，求该数列的公比q。解：由等比数列性质b_3=b_1q^2，得8=2q^2，解得q=2。3.若数列{c_n}满足c_1=3，c_n+1=2c_n+1（n∈N），求该数列的通项公式c_n。解：由递推关系c_n+1=2c_n+1，设d_n=c_n+1，则d_n=2d_(n-1)，故{d_n}是首项为4、公比为2的等比数列，即d_n=4×2^(n-1)。因此c_n=d_n-1=2^(n+1)-1。4.在等差数列{d_n}中，若d_1=5，d_4=13，求该数列的公差d。解：由d_4=d_1+3d，得13=5+3d，解得d=3.5.已知数列{e_n}的前n项和为T_n=2n^2-3n，求该数列的第3项e_3。解：由e_n=T_n-T_(n-1)（n≥2），可得e_n=4n-5，当n=3时，e_3=7。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列性质f_4=f_2q^2，得54=6q^2，解得q=3。7.若数列{g_n}满足g_1=1，g_n+1=3g_n（n∈N），求该数列的前4项和S_4。解：由递推关系g_n+1=3g_n，可知{g_n}是首项为1、公比为3的等比数列，即g_n=3^(n-1)。因此S_4=1+3+9+27=40.8.在等差数列{h_n}中，若h_1=2，h_5=12，求该数列的通项公式h_n。解：由h_5=h_1+4d，得12=2+4d，解得d=2.5，因此h_n=2+2.5(n-1)=2.5n-0.5.五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知数列{i_n}的前n项和为U_n=n^2+n，求该数列的第5项i_5。解：由i_n=U_n-U_(n-1)（n≥2），可得i_n=2n，当n=5时，i_5=10.2.在等比数列{j_n}中，若j_1=3，j_3=27，求该数列的前6项和S_6。解：由等比数列性质j_3=j_1q^2，得27=3q^2，解得q=3，因此S_6=3(3^6-1)/2=3645.3.若数列{k_n}满足k_1=2，k_n+1=k_n+3（n∈N），求该数列的通项公式k_n。解：由递推关系k_n+1=k_n+3，可知该数列的公差为3，是等差数列，即k_n=2+3(n-1)=3n-1.4.在等差数列{l_n}中，若l_1=4，l_4=16，求该数列的前10项和S_10.解：由l_4=l_1+3d，得16=4+3d，解得d=4，因此S_10=10/2[2×4+(10-1)×4]=420.5.已知数列{m_n}的前n项和为V_n=2^(n+1)-2，求该数列的第4项m_4.解：由m_n=V_n-V_(n-1)（n≥2），可得m_n=2^n，当n=4时，m_4=16.6.在等比数列{n_n}中，若n