《概率论》教学大纲 龙永红

《概率论荣誉课程》教学进度安排教学周：第1周教学方式：理论教学课堂学时：4学时章节名称：第一章导论，第一节何为概率论，第二节不确定性如何量化，第三节概率论与数理统计的关系；第二章样本空间、随机事件与概率，第一节集合【课堂教学内容与要求】理解确定性现象和随机现象的概念；了解概率论的缘起和发展，概率论应用的几个重要领域；理解概率的频率观点与贝叶斯观点；了解概率论问题与统计问题的差异以及概率论与数理统计之间的关系。系统复习集合的关系与运算，掌握集合的笛卡尔乘积、集类等概念。【课外学习内容与要求】1.查阅网络资料了解概率论的发展历史；了解高斯、拉普拉斯、伯努利、马尔可夫、柯尔莫哥洛夫等数学家的人物介绍或阅读相关传记；2.针对一些实际问题，讨论其如何对不确定性进行量化；3.课后练习：第一章练习1-6；第二章练习1-9奇数号题教学周：第2周教学方式：理论教学课堂学时：4学时章节名称：第二章样本空间、随机事件与概率，第二节样本空间与事件，第三节：概率【课堂教学内容与要求】理解概率模型三要素：样本空间、事件与概率的数学定义；会针对随机试验建立和选择样本空间；了解事件域（σ域）以及集类生成事件域等概念，掌握事件间的关系与事件运算；理解概率公理和性质，掌握离散概率模型与古典概型、几何概型。【课外学习内容与要求】1.列举若干实际例子讨论如何选择不同的样本空间；2.讨论如何有有限个集合构成的集类生成σ域；3.结合物理质量概念理解连续等可能概率模型；4.课后练习：第二章练习10-24奇数号题教学周：第3周教学方式：理论教学课堂学时：4学时章节名称：第二章样本空间、随机事件与概率，第四节计数原理与典型计数问题；第五节古典概型计算典型问题【课堂教学内容与要求】掌握组合计数基本原理，并能应用于典型计数问题，能够应用计数方法和概率性质计算典型的古典概率。【课外学习内容与要求】1.结合生日问题，实际了解你所在班级同学生日情况。2.课后练习：第二章练习25-46中3的倍数号题。教学周：第4周教学方式：理论教学课堂学时：4学时章节名称：第三章条件概率与序贯概率模型，第一节条件概率，第二节独立性【课堂教学内容与要求】理解条件概率的定义；掌握条件概率的性质及其计算；掌握乘法原理及其在计算概率中的应用；掌握全概率公式的应用；掌握解贝叶斯公式及其应用；掌握事件的独立性的概念和性质，并应用独立性性质求复杂事件的概率。【课外学习内容与要求】1.查阅网络资料，撰写一篇有关艾滋病发病和测试的简要报告；2.通过实例和模拟说明先念知识的重要性；3.查阅资料介绍贝叶斯公式及其思想在决策和模式识别中的应用；4.实际了解某一系统的可靠性解决方案；4.课后练习第三章练习1-26中3的倍数号题教学周：第5周教学方式：理论教学课堂学时：4学时章节名称：第三章条件概率与序贯概率模型，第三节序贯概率模型【课堂教学内容与要求】掌握序贯概率模型的三要素的刻画：乘积样本空间表示与序贯树、乘积事件域伯努利试验概型、乘积空间上的概率测度；理解试验的独立性与乘积测度的关系；掌握独立重复伯努利试验及其有关事件概率计算。【课外学习内容与要求】1.举出实际中可视为相互独立的试验的例子，并给出其样本空间、事件域和概率测度。2.利用直线上的随机游动模型考虑赌博问题和投机问题3.课后练习：第三章练习27-36的奇数号题教学周：第6周教学方式：理论教学课堂学时：4学时章节名称：第四章离散随机变量，第一节离散随机变量的概念，第二节常见离散随机变量【课堂教学内容与要求】了解随机变量的概念，掌握离散随机变量及其随机变量生成的事件，概率质量函数以及离散随机变量的函数等概念，会求随机变量函数的概率质量函数；掌握常见的离散型，了解二项分布与泊松分布之间的关系。【课外学习内容与要求】1.用泊松分布描述保险问题2.研究指数分布与泊松分布之间的关系3.课后练习：第四章练习1-14奇数号题教学周：第7周教学方式：理论教学课堂学时：4学时章节名称：第四章离散随机变量，第三节离散随机变量的期望和方差第四节多元随机变量的联合概率质量函数【课堂教学内容与要求】掌握离散随机变量期望和方差的概念及性质，会求离散随机变量函数的期望和方差，熟悉常见离散随机变量的期望和方差；掌握多元随机变量联合概率质量函数，会求边缘概率质量函数、多元随机变量函数的概率质量函数和期望【课外学习内容与要求】1.给出一个实例，将数学期望跟我们日常生活中的平均数联系起来，并说明由数学期望来概括一个分布所存在的局限性2.阐述指数分布和泊松分布数学期望的含义及其相互关系3.课后练习：第四章练习15-32奇数号题教学周：第8周教学方式：理论教学课堂学时：4学时章节名称：第四章离散随机变量，第五节条件随机变量，第六节随机变量的独立性【课堂教学内容与要求】掌握事件条件下和随机变量条件下的条件另一随机变量的条件概率质量函数概念，掌握由随机变量的联合概率质量函数求条件概率质量函数、由边缘概率质量和条件概率质量求联合概率质量（乘法公式）及求另一随机变量的边缘概率质量（全概率公式）；掌握条件期望和条件方差的概念和计算、全期望公式；掌握随机变量的相互独立、条件独立的概念、性质和应用；【课外学习内容与要求】1.针对边缘概率质量函数、条件概率质量函数、联合质量函数之间的关系，写出乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的随机变量形式（离散情形）2.课后练习：第四章练习33-54中3的倍数号题教学周：第9周教学方式：理论教学课堂学时：4学时章节名称：第五章一般与连续型随机变量，期中考试，第一节一般随机变量的基本概念【课堂教学内容与要求】理解随机变量的一般定义、随机变量生成的事件域的概念；掌握分布函数的概念和性质，了解为什么分布函数是对随机变量分布的刻画；理解离散随机变量的概率质量函数相互确定；了解随机变量函数的分布函数；【课外学习内容与要求】1.归纳单调函数的分析性质2.课后练习：第五章练习1-8奇数号题教学周：第10周教学方式：理论教学课堂学时：4学时章节名称：第五章一般与连续型随机变量，第二节连续型随机变量，第三节正态分布【课堂教学内容与要求】掌握连续型随机变量及概率密度函数的概念，掌握概率密度函数的性质；了解分布函数与概率密度函数的关系，掌握利用概率密度函数求随机变量有关事件的概率；会求随机变量函数的概率密度函数；掌握连续型随机变量的数学期望、方差以及函数期望法则及其应用。掌握正态分布的概率密度函数及其特征，一般正态分布与标准正态分布的关系，并利用标准正态分布函数表计算一般正态分布随机变量有关事件的概率；了解正态分布的期望、方差以及高阶矩对分布特征的刻画，了解正态分布衍生的对数正态分布、卡方分布以及二项分布逼近正态分布。【课外学习内容与要求】将物理学中的质量分布线密度、重心与连续型随机变量进行对比分析了解证券价格的二叉树模型，并结合二项分布逼近正态分布，描述如何导出证券价格的对数正态分布课后练习：第五章练习9-28中3的倍数号题教学周：第11周教学方式：理论教学课堂学时：4学时章节名称：第五章一般与连续型随机变量，第四节联合分布函数与联合概率密度函数，第五节条件分布函数与条件概率密度函数【课堂教学内容与要求】掌握联合分布函数和联合概率密度函数的概念和性质、联合分布函数和联合概率密度函数的相互确定，会求边缘分布函数；会利用联合概率密度函数求多元随机变量有关事件概率、多元随机变量函数的分布函数和概率密度函数、多元随机变量函数的期望；了解已知事件或随机变量取值的条件下其他随机变量的条件分布函数和条件概率密度函数；熟悉乘法公式、全概率公式的概率密度函数形式；掌握随机变量和多元随机变量函数的条件期望、全期望公式；掌握随机变量独立性的概念和应用。【课外学习内容与要求】1.讨论全方差公式的结构和方差分解的现实含义2.课后练习：第五章练习29-42奇数号题教学周：第12周教学方式：理论教学课堂学时：4学时章节名称：第五章一般与连续型随机变量，第六节连续贝叶斯准则，第六章随机变量若干专题，第一节多元随机变量的函数【课堂教学内容与要求】掌握由连续变量推断连续变量、连续变量推断离散变量和事件、离散变量或事件推断连续变量的贝叶斯准则及其应用；掌握求多元随机变量函数的分布函数和概率密度函数的一般方法——概率密度法和全概率公式法，会求简单的函数的分布，掌握随机变量和的卷积公式。【课外学习内容与要求】1．编写一个贝叶斯推理的实际案例4.课后练习：第五章练习43-50奇数号题，第六章练习1-9奇数号题教学周：第13周教学方式：理论教学课堂学时：4学时章节名称：第六章随机变量若干专题，第二节随机向量的变换，第三节随机变量间的协方差与相关系数【课堂教学内容与要求】了解求随机向量变换的联合分布函数和联合概率密度函数的一般方法；掌握随机向量一一变换的联合概率密度公式和应用，熟悉随机向量的线性变化相关性质，并灵活应用。掌握协方差和相关系数的定义及性质，协方差的内积含义以及相关系数的含义，理解完全相关，不完全相关，不相关的含义及其与独立性的关系，会求协方差，相关系数并判断相关性，了解协方差矩阵的概念和性质。了解线性回归的概念和线性预测含义、随机向量的正交化与标准化。【课外学习内容与要求】1.对照欧氏空间内积相关相关概念和性质系统讨论协方差和相关系数的性质和内含2.课后练习：第六章练习10-21奇数号题教学周：第14周教学方式：理论教学课堂学时：4学时章节名称：第六章随机变量若干专题，第四节条件期望与条件方差的再讨论，第五节多元正态分布【课堂教学内容与要求】理解以随机变量为条件的条件期望和条件方差的含义；掌握条件期望的的性质，理解条件期望的预测含义和回归方程含义；理解多元正态分布的定义及其与多元标准正态分布的关系和参数的含义，了解多元正态分布线性变化下正态不变性以及参数的变换关系，了解多元正态分布的边缘分布、条件分布，线性回归与回归、条件期望的等价性。【课外学习内容与要求】1.讨论多元正态分布的低位分布和条件分布2.课后练习：第六章练习22-23教学周：第15周教学方式：理论教学课堂学时：4学时章节名称：第六章随机变量若干专题，第六节描述分布的矩母函数方法，第七章极限理论，第一节几乎处处收敛与依概率收敛，第二节矩收敛与依分布收敛【课堂教学内容与要求】掌握矩函数的概念和性质；熟悉常见分布的矩母函数和独立随机变量和的矩母函数，会利用矩函数求一些特殊随机变量函数的分布。掌握几乎处处收敛，依概率收敛，矩收敛，依分布收敛等概念、性质及其相互关系，【课外学习内容与要求】1.系统归纳几种收敛性的相互关系，对没有蕴含关系的举出反例2.讨论𝐿2空间的性质4.课后练习：第七章练习1-20中3的倍数号题教学周：第16周教学方式：理论教学课堂学时：4学时章节名称：第五章极限定理，第三节大数定律，第四节中心极限定理，第五节强大数顶律