第六章　微点突破4　弹簧连接的系统机械能守恒问题-2027版高考物理一轮复习

弹簧连接的系统机械能守恒问题目标要求知道弹簧的弹性势能与哪些因素有关，会分析含弹簧的机械能守恒问题。1.含弹簧的系统，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。即Ep重+Ep弹+Ek=E，E为恒量。2.弹簧两端的物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能有最大值。例1如图所示，质量为m的小球从静止下落，落在与A点等高处、竖直放置、静止的轻弹簧上，到达与B点等高处时小球重力与弹簧的弹力大小相等，图中与C点等高处是小球到达的最低点。不计空气阻力，下列说法正确的是()A.从O到C，小球重力势能一直减小、动能一直增大，小球、地球、弹簧组成的系统机械能守恒B.从A到C，小球重力势能一直减小、动能先增大后减小，小球、地球、弹簧组成的系统机械能不守恒C.到达B点时，小球的动能最大，弹性势能最小D.从O到A，小球重力势能减小，动能增大，小球、地球组成的系统机械能守恒答案D解析到达与B点等高处时小球重力与弹簧的弹力大小相等，此时加速度为0，速度达到最大，所以从O到C，小球重力势能一直减小、动能先增大后减小，小球、地球、弹簧组成的系统机械能守恒，故A错误；从A到C，小球重力势能一直减小、动能先增大后减小，小球、地球、弹簧组成的系统机械能守恒，故B错误；到达B点时，小球的动能最大，到达A点时弹性势能最小，故C错误；从O到A，只有重力做功，小球重力势能减小，动能增大，小球、地球组成的系统机械能守恒，故D正确。例2如图所示，轻弹簧一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连，小球套在固定的竖直光滑杆上，P点到O点的距离为L，OP与杆垂直，杆上M、N两点与O点的距离均为2L。已知弹簧原长为54L，重力加速度为g。现让小球从M处由静止释放，下列说法正确的是()A.小球从M运动到N的过程中，有两个位置小球受到的合力等于重力B.小球从M运动到N的过程中，小球的机械能守恒C.小球从M运动到N的过程中，弹簧弹性势能先减小后增大D.小球通过N点时速率为23答案D解析OM=ON=2L，OP=L，弹簧的原长为54L，所以小球在MP之间某个位置时弹簧处于原长，弹簧弹力为0，小球受到的合力等于重力，同理小球在PN之间某个位置时弹簧处于原长，弹簧弹力为0，小球受到的合力等于重力，当小球经过P点时小球受到的合力等于重力，故A错误；小球从M运动到N的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能并不守恒，故B错误；小球从M运动到N的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，再减小又增大，故C错误；小球在M、N两个位置时，弹簧的长度相等，所以弹簧的弹性势能相等，在整个过程中小球的重力势能全部转化为动能，有mg×23L=12mv2，解得v=23gL例3(2025·江苏徐州市二模)如图所示，质量M1=8kg的物块1与质量M2=4kg的物块2通过光滑轻质定滑轮用不可伸长的轻绳连接，物块2与质量M3=4kg的物块3用劲度系数为k=100N/m的轻质弹簧相连接，物块3静置在水平地面上。初始时控制物块1使其静置于倾角θ=37°的固定光滑斜面上，此时轻绳恰好拉直且与斜面平行，轻绳无拉力，现由静止释放物块1，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为Ep=12kx2。求：(1)释放物块1前，弹簧的弹性势能；(2)释放物块1的瞬间，物块2的加速度大小；(3)释放物块1后，当物块3恰好对地面无压力时，物块1在斜面上运动的速度大小(计算结果可带根号)。答案(1)8J(2)4m/s2(3)415解析(1)初始时对物块2受力分析，由题意知轻绳无拉力，则弹簧处于压缩状态，由力的平衡条件得M2g=kx1解得弹簧形变量x1=M2gk则释放物块1前，弹簧的弹性势能为Ep=12kx12=8(2)释放物块1的瞬间，对物块1与物块2及轻绳组成的系统进行分析，由牛顿第二定律得M1g·sinθ-M2g+kx1=(M1+M2)a1解得物块2的加速度大小a1=4m/s2。(3)释放物块1后，当物块3恰好对地面无压力时，对物块3进行分析，由力的平衡条件有M3g=kx2对物块1、物块2及弹簧组成的系统进行分析，由机械能守恒定律得M1g(x1+x2)sinθ-M2g(x1+x2)=12(M1+M2)v2+ΔEp其中ΔEp'=12k(x22解得v=41515例4如图所示，一顶角为直角的“”形光滑细杆竖直放置。质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，此时弹簧为原长l0。两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长量在弹性限度内，且弹簧始终保持水平，已知弹簧的长度为l时，弹性势能为12k(l-l0)2，重力加速度为g，下列说法正确的是()A.金属环在最高点与最低点加速度大小相等B.左边金属环下滑过程机械能守恒C.弹簧的最大拉力为3mgD.金属环的最大速度为2gm答案A解析左边金属环下滑过程，除重力以外，还有弹簧的弹力对它做功，故金属环下滑过程中机械能不守恒，故B错误；金属环下降h'达到最低点时，速度减小为0，弹簧形变量最大为2h'，根据两金属环与弹簧系统机械能守恒有2mgh'=12k(2h')2，解得h'=mgk，弹簧的最大伸长量Δx=2h'弹簧的最大拉力为FT=kΔx=2mg，故C错误；在最高点时金属环只受重力和支持力作用，此时重力沿杆方向的分力提供加速度，有a1=gsin45°在最低点，由上述知FT=2mg根据牛顿第二定律可知FTcos45°-mgsin45°=ma2，解得a2=gsin45°，则a1=a2金属环在最高点与最低点加速度大小相等，故A正确；当金属环的加速度为0时，速度最大，金属环受力如图所示，金属环受到重力、杆的弹力和弹簧的弹力，沿杆方向加速度为0，即合力为0，有mgsin45°=Fcos45°，又F=kΔx，解得形变量Δx=mgk，根据几何知识，两个小球下降的高度为h=mg2k，对两个金属环和弹簧根据机械能守恒，有2mgh=12k(Δx)2+12×2mv2，解得v=1.如图所示，“蹦极”运动中，游戏者身系弹性绳下落。不计空气阻力，游戏者从图中位置下落到最低点过程中，下列说法正确的是()A.弹性绳原长位置，弹性绳弹力等于游戏者重力B.游戏者速度最大时，弹性绳的弹性势能为零C.弹性绳的弹性势能最大时，游戏者速度最大D.弹性绳伸长阶段，其弹性势能一直增大，游戏者的动能先增大后减小答案D解析弹性绳原长位置，弹性绳弹力为零，小于游戏者重力，故A错误；弹性绳伸长过程，一开始弹力小于重力，游戏者向下做加速运动；当弹力等于重力时，游戏者速度达到最大；之后游戏者继续下落，弹力大于重力，游戏者向下做减速运动，当运动到最低点时，弹性绳伸长量最大，此时弹性绳的弹性势能最大；可知弹性绳伸长阶段，其弹性势能一直增大，游戏者的动能先增大后减小，故B、C错误，D正确。2.如图，圆心为O1的光滑半圆环固定于竖直面，轻弹簧上端固定在O1正上方的O2点，c是O1O2和圆环的交点；将系于弹簧下端且套在圆环上的小球从a点静止释放，此后小球在a、b间做往复运动。若小球在a点时弹簧被拉长，在c点时弹簧被压缩，aO1⊥aO2。则下列说法正确的是()A.小球在b点受到的合力为零B.弹簧在a点的伸长量可能小于弹簧在c点的压缩量C.弹簧处于原长时，小球的速度最大D.在a、b之间，小球机械能最大的位置有两处答案D解析套在圆环上的小球从a点静止释放，此后小球在a、b间做往复运动，表明小球在a点受到的合力不等于零，合力的方向沿着a点的切线向上；因为系统的机械能守恒，a点和b点关于O1O2对称，所以小球在b点受到的合力不等于零，合力的方向沿b点的切线向上，A错误；小球从a点到c点运动的过程中，小球在a点时动能最小，等于零，小球在a点时位置最低，小球在a点时的重力势能最小，即小球在a点时的机械能最小；又因为小球和弹簧组成的系统机械能守恒，所以小球在a点时，弹簧的弹性势能最大，那么，小球在a点时弹簧的形变量最大，所以弹簧在a点的伸长量一定大于弹簧在c点的压缩量，B错误；小球受到重力、弹簧的弹力、圆环的支持力，这三个力的合力为零时，小球的速度最大，此时弹簧不处于原长状态，C错误；因为系统的机械能守恒，所以弹簧处于原长时，小球的机械能最大；在a、b之间，弹簧处于原长的位置有两处，D正确。3.(2025·江苏南京市调研)如图所示，两根轻绳连接质量为m的小球P，右侧绳一端固定于A点，左侧绳通过光滑定滑轮B连接一物块Q，质量相等的物块Q、N通过一竖直轻弹簧连接，整个系统处于静止状态时，小球P位于图示位置，PA、PB两绳与水平方向的夹角分别为53°和37°，此时物块N与地面的压力恰好为零。现将小球P托至与A、B两点等高的水平线上，两绳均拉直且恰好无弹力，由静止释放小球P。已知PA绳长为L，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度为g，求：(1)物块Q的质量M；(2)小球P运动到图示位置时，物块Q的速度大小v。答案(1)310m(2)2解析(1)对小球P进行受力分析，根据平衡条件有FTB=mgsin37°对物块N和Q整体进行受力分析，则有2Mg=FTB联立解得M=310(2)由静止释放小球P后，小球P做圆周运动到达图示位置，该过程初始状态弹簧处于压缩状态，末状态弹簧处于拉伸状态，且压缩量与拉伸量大小相等，即始末状态弹性势能不变。当小球P运动到图示位置时，速度方向恰好沿PB绳，可知此时小球P和物块Q的速度大小相等，系统机械能守恒，则有mgLsin53°-Mgh=12mv2+12其中h=Ltan37°+L-Lsin37°=联立解得v=23134.(2025·江苏省前黄高级中学检测)如图所示，质量为mB=3.5kg的物体B通过一竖直轻弹簧连接在水平地面上，弹簧的劲度系数k=100N/m。一轻绳一端与物体B连接，绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O2、O1后，另一端与套在光滑直杆顶端质量为mA=1.6kg的小球A连接。已知直杆固定，杆长L=0.8m，且与水平面的夹角θ=37°，直线O1C与杆垂直。初始时使小球A静止不动，与A球相连的绳子保持水平，此时绳子中的张力F=45N，已知A、O间距离为0.5m，g取10m/s2，sin37°=0.6，绳子不可伸长。现将小球A从静止释放，求：(1)小球A运动到C点的过程中弹簧弹性势能的变化量；(2)小球A运动到C点时的速度大小；(3)小球A运动到底端D点时物体B的速度大小。答案(1)0(2)13.55m/s(3)1.6m/s解析(1)释放小球A前，物体B处于平衡状态，设弹簧伸长量为x，F=kx+mBg代入数值得x=0.1m即弹簧被拉长了0.1m。在小球A运动到C时，由几何关系有O1C=0.3m绳子左边缩短了0.2m，绳子右边伸长了0.2m。B物体下降了0.2m，弹簧压缩了0.1m，所以弹簧弹性势能变化量为零。(2)当小球A运动到C处时，沿绳子方向的速度为0，B的速度为0，小球A从杆顶端运动到C点的过程，小球A下降的高度h=CO1cos37°=0.24mB下降的高度h'=0.2m，由(1)分析可知弹簧的弹性势能不变。A、B和弹簧整个系统由机械能守恒有mAgh