第五章　第25课时　卫星变轨问题　双星模型　天体的“追及”共线问题

第25课时卫星变轨问题双星模型天体的“追及”共线问题目标要求1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。3.会分析天体的“追及”共线问题。考点一卫星的变轨和对接问题1.卫星发射模型人造卫星的发射过程一般要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有GMmr12=(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，GMmr12<mvA2(3)在椭圆轨道B点(远地点)，GMmr22>mvB2r2，将做近心运动，再次点火加速，使G若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？答案使飞船先减速进入椭圆轨道Ⅱ，到达近地点时，使飞船再减速进入近地圆轨道Ⅰ，之后再减速做近心运动着陆。2.变轨过程中几个物理量的大小比较(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，则v1>v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB，在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，故有vA>v1>v3>vB。(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同。同理，经过B点加速度也相同。(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3。由开普勒第三定律r3T2=k，可知有T1<T2<(4)机械能：卫星在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时机械能守恒。若在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ、从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1<E2<E3。(5)引力势能：物体在万有引力场中具有的势能叫作引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m的质点距质量为M的引力源中心为r时，其引力势能为Ep=-GMmr(G为引力常量)。设卫星在A点、B点的引力势能分别为EpA、EpB，则EpA<EpB3.飞船对接问题宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题，本质仍然是卫星的变轨问题，要使宇宙飞船与空间站成功“对接”，需让宇宙飞船在稍低轨道上加速，通过“速度v增大→所需向心力增大→做离心运动→轨道半径r增大→升高轨道”的系列变速，从而完成宇宙飞船与空间站的成功对接。例1(2024·安徽卷·5)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时()A.周期约为144hB.近月点的速度大于远月点的速度C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度答案B解析根据开普勒第三定律有T12a13=T22a23，可知鹊桥二号在捕获轨道运行周期T2=T1a23针对训练1(2025·江苏扬州市检测)2024年4月30日，神舟十七号载人飞船圆满完成任务，通过一系列变轨操作后，飞船在东风着落场成功着陆，下列说法正确的是()A.飞船在三个轨道上的运行周期TⅠ>TⅡ>TⅢB.飞船在轨道Ⅱ上P处的机械能大于Q处的机械能C.飞船在轨道Ⅲ上的Q处点火进入轨道Ⅱ时，动能减小D.飞船在轨道Ⅱ上P处的加速度等于轨道Ⅲ上Q处的加速度答案C解析由题图可知，轨道Ⅲ的半径最大，轨道Ⅱ的半长轴其次，轨道Ⅰ的半径最小，根据开普勒第三定律r3T2=k可知TⅠ<TⅡ<TⅢ，故A错误；飞船在轨道Ⅱ上运动，机械能守恒，即飞船在轨道Ⅱ上P处的机械能等于Q处的机械能，故B错误；飞船在轨道Ⅲ上的Q处点火进入轨道Ⅱ时，需要点火减速，做近心运动，速度减小，则动能减小，故C正确；根据牛顿第二定律GMmr2=ma，可得a=GMr2，可知飞船在轨道Ⅱ上P针对训练22024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，实现世界首次月球背面采样返回。嫦娥六号返回器从月球归来初入大气层时的速度可以接近第二宇宙速度，为避免高速带来的高温过载风险，采用了“半弹道跳跃式返回”减速技术。如图所示，返回器从a点第一次进入大气层，调整返回器姿态，使其经b点升高，再从c点“跳”出大气层，在太空中潇洒地打个“水漂”，升高到距地面高度为h的d点后，再次从e点进入大气层返回地球。假设返回器从c点到e点的过程为无动力飞行。已知地球表面重力加速度为g，地球的半径为R，引力常量为G。结合以上信息，下列说法正确的是()A.从a点到c点的过程中，返回器机械能守恒B.在d点，返回器的速度大于第一宇宙速度C.在d点，返回器的加速度大小为gD.在e点返回器处于超重状态答案C解析嫦娥六号返回器从a点到c点的过程中，大气阻力做功，机械能不守恒，A错误；嫦娥六号返回器经过d点后做近心运动，有GMm(R+h)2>mv2R+h，即v<GMR+h，又因为第一宇宙速度为v1=GMR，故v<v1，B错误；在d点，由牛顿第二定律有GMm(R+h例2(2025·江苏省百师联盟联考)北京时间2024年4月26日神舟十八号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十八号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是()A.飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可B.飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可C.飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可D.飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可答案D解析根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可，故选D。考点二双星或多星模型1.双星模型(1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm1m2L2=m1ω12r1，②两星的周期、角速度相同，即T1=T2，ω1=ω2。③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r1+r2=L。(1)若两星运行的线速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为a1、a2，质量分别为m1、m2，则v、a与轨道半径r、两星质量的关系怎样？答案由v=ωr，m1ω2r1=m2ω2r2，得v1v2=r1r2=m2m1，由a=ω2r及m1ω2r1=m2ω2(2)两星之间的距离L、周期T与总质量(m1+m2)的关系怎样？答案由Gm1m2L2=m14π2T2r1=m24π2T2r2及r1+r2=例3(2025·江苏常州市检测)通过观测做圆周运动的双星系统：其运动的周期为T、两星之间的距离为L，已知引力常量为G，能够求解出()A.两星球的自身半径 B.两星球的轨道半径C.两星球的各自质量 D.两星球的总质量答案D解析双星系统运行过程，两颗星球的运动周期相等、角速度相同，由两颗星球间的万有引力提供向心力，设两颗星球的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，角速度为ω，由向心力公式有Gm1m2L2=m1ω2r1=m2ω2r2，整理可得m1r1=m2r2，m1=r又ω=2πT，r1+r1=L，故两颗星球的总质量可表示为M=m1+m2=4π22.多星模型所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及其规律：常见的三星模型Gm2(2R)Gm2L2×cos30°常见的四星模型Gm2L2×cos45°×2+Gm2L2×cos30°×2+例4太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可以忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则()A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B.直线三星系统的运动周期T=2πRRC.三角形三星系统中星体间的距离L=312D.三角形三星系统的线速度大小为1答案C解析直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，A错误；直线三星系统中，对甲星(或丙星)有GM2R2+GM2(2R)2=M4π2T2R，解得T=4πRR5GM，B错误；对三角形三星系统，根据万有引力定律和牛顿第二定律得2GM2L2cos30°=M4π2T考点三天体的“追及”共线问题例5(2025·江苏徐州市检测)如图所示，火星、地球、太阳三者处于同一直线，此现象被称为“火星冲日”。设火星和地球在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是()A.地球受到太阳的万有引力小于受到火星的万有引力B.地球绕太阳运动的速度小于火星绕太阳运动的速度C.相邻两次“火星冲日”之间，地球与火星的位移大小相等D.相邻两次“火星冲日”之间，火星绕太阳比地球绕太阳少运动了一圈答案D解析地球做匀速圆周运动，所受合力指向圆心，因此地球受到太阳的万有引力大于受到火星的万有引力，A错误；根据GMmr2=mv2r可知v=GMr，地球绕太阳轨道半径小，因此运行速度大于火星绕太阳运动的速度，B错误；相邻两次“火星冲日”之间，地球的位移小于火星的位移，如图，C错误；由于地球轨道半径小，运动速度快，因此相邻两次例6地球的两颗卫星绕地球在同一平面内做匀速圆周运动，环绕方向如图所示。已知卫星一运行的周期为T0，地球的半径为R0，卫星一和卫星二到地球中心的距离分别为R1=2R0，R2=8R0，引力常量为G，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为23π，下列说法正确的是()A.卫星二的机械能一定大于卫星一的机械能B.地球的质量M=30C.卫星二围绕地球做圆周运动的周期T2=4T0D.从图示时刻开始，经过t=1621T0答案D解析因为两卫星的质量未知，所以无法比较它们机械能的大小，A错误；对卫星一，由牛顿第二定律得GMm4R02=m(2πT0)2×2R0，解得地球质量为M=32π2R03GT02，故B错误；由开普勒第三定律T22T02=(8R02R0)3可得卫星二围绕地球做圆周运动的周期为T天体“追及”共线问题的处理方法1.相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近。从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA-ωB)t=2π或tTA-t2.相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA-ωB)t'=π或t'TA-t3.若两个天体绕中心天体的运行方向相反，则应求和。4.若两同心转动的卫星初始位置不在同一直径上时，找两卫星的运动关系时需注意初始时刻两卫星与地心连线之间的夹角。课时精练[分值：44分][1~6题，每题4分]1.(2025·江苏泰州市检测)2024年8月16日15时35分，在西昌卫星发射中心使用长征四号乙运载火箭，成功将遥感四十三号01组卫星发射升空。发射过程简化如图所示：先将卫星送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道Ⅰ，在远地点B将卫星送入预定圆轨道Ⅱ。则关于卫星的说法正确的是()A.在圆轨道Ⅱ上运行过程中线速度保持不变B.在椭圆轨道Ⅰ上由A点向B点运动时速度减小C.在B点应启动火箭发动机向前喷气才能进入轨道ⅡD.轨道Ⅰ上在B点的加速度小于轨道Ⅱ上在B点的加速度答案B解析卫星在圆轨道Ⅱ上做匀速圆周运动，线速度大小不变，线速度方向不断变化，所以线速度不断变化，故A错误；在椭圆轨道Ⅰ上由A点向B点运动时，引力做负功，速度不断减小，故B正确；卫星在椭圆轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，应在B点启动火箭发动机向后喷气加速才能进入轨道Ⅱ，故C错误；根据万有引力提供向心力GMmr2=ma，解得a=GMr2，可知轨道Ⅰ上在B点的加速度等于轨道Ⅱ上在2.(2025·江苏淮安市一模)如图所示为嫦娥六号探测器“奔月”过程，其历经了①地月转移、②近月制动、③环月飞行等过程，已知三个过程的轨道均经过P点。则()A.通过测量③上的运行周期可以估测月球密度B.②转移到①时需要减速C.②上经过P点时加速度比③上经过P点时加速度大D.②上的运行周期小于③上的运行周期答案A解析③是贴近月球表面环月飞行，设其周期为T，根据万有引力提供向心力GMmR2=m(2πT)2R，解得M=4π2R3GT2，则月球的密度为ρ=M43πR3，解得ρ=3πGT2，所以通过测量③上的运行周期可以估测月球密度，故A正确；卫星从低轨道到高轨道需要加速，故②转移到①时需要加速，故B错误；根据牛顿第二定律3.(2025·江苏镇江市检测)如图，空间站绕地球做顺时针方向匀速圆周运动，在某处，空间站上一小零件相对空间站以一定的速率v沿圆轨道切线方向被射出，此后当空间站运行半个圆周时，零件相对空间站的位置可能是()A.A处 B.B处 C.C处 D.D处答案C解析空间站绕地球做匀速圆周运动，在某处空间站上一小零件相对空间站以一定的速率沿圆轨道切线方向被射出，根据动量守恒定律可知，零件的速度大于空间站的速度，零件做离心运动，零件的轨道半径大于空间站的轨道半径，根据开普勒第三定律可知，空间站运动周期小于零件的运动周期，故当空间站运行时间为周期的一半时，零件运动周期还未达到半个周期，即零件转过的圆心角小于空间站转过的圆心角，所以零件可能的位置是C处。故选C。4.(2024·湖北卷·4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则()A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大答案A解析在P点变轨前后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误；变轨后在P点获得竖直向下的反冲速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，故C错误；由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。5.(2026·江苏南通市检测)在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图所示，黑洞A、B可视为质点，它们围绕连线上O点做匀速圆周运动，且rA大于rB，不考虑其他天体的影响。下列说法正确的是()A.黑洞A的向心力大于B的向心力B.黑洞A的线速度小于B的线速度C.黑洞A的质量大于B的质量D.两黑洞之间的距离越大，A的周期越大答案D解析两个黑洞A、B组成双星系统，两者的角速度相同，由相互作用的万有引力提供向心力，则黑洞A和B的向心力大小相等；根据v=ωr，且黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，可知黑洞A的线速度一定大于黑洞B的线速度，故A、B错误；设rA+rB=L，由牛顿第二定律得GmAmBL2=mA4π2T2rA=mB4π2T2rB，联立解得mAmB=rBr6.(2025·江苏徐州市五校联考)如图甲所示，两颗人造地球卫星1、2在同一平面内沿同一方向绕地球做圆周运动，周期分别为T1、T2，轨道半径分别为r1、r2。某时刻开始计时，两卫星间距Δr随时间t变化的关系如图乙所示，已知t0=17T1，则r1r2A.2 B.4 C.6 D.8答案B解析根据题图乙可知，经过时间t0两卫星再次相距最近，则有2πT2t0-2πT1t0=2π，根据题意有t0=17T1，解得T2=18T1，根据开普勒第三定律有r13[7~10题，每题4分]7.(2022·浙江1月选考·8)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号()A.发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间B.从P点转移到Q点的时间小于6个月C.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小D.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度答案C解析因“天问一号”要能脱离地球引力束缚，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A错误；因从P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(12个月)，则从P点转移到Q点的时间大于地球公转周期的一半，故应大于6个月，故B错误；因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；假设“天问一号”在Q点变轨进入火星轨道，则需要加速，又知v火<v地，故“天问一号”在Q点的速度小于地球绕太阳的速度，故D错误。8.有研究发现黑洞是通过不断“吸食”中子星表面的物质，从而慢慢吞噬中子星的。假设吞噬过程末期较短时间内黑洞和中子星之间的距离保持不变，总质量不变，黑洞质量大于中子星质量，二者可视为双星系统，则吞噬末期()A.二者之间的万有引力不变B.黑洞和中子星做圆周运动的角速度不变C.中子星的轨道半径逐渐减小D.黑洞做圆周运动的线速度逐渐增大答案B解析设黑洞的质量为M1，轨道半径为r1，中子星的质量为M2，轨道半径为r2，黑洞和中子星之间的距离为L，黑洞和中子星做圆周运动有相同的角速度ω。黑洞和中子星之间的万有引力为F引=GM1M2L2，根据题意，黑洞和中子星之间的距离保持不变，总质量不变，黑洞质量大于中子星质量，又M1逐渐增大，M2逐渐减小，可知M1与M2的乘积逐渐减小，故二者之间的万有引力逐渐减小，A错误；根据万有引力提供向心力可得GM1M2L2=M1ω2r1，GM1M2L2=M2ω2r2，联立可得M1r1=M2r2，由于黑洞和中子星之间的距离保持不变，M1逐渐增大，M2逐渐减小，可知r1逐渐减小，r2逐渐增大，C错误；由C项分析可得G(M1+M2)L2=9.(2025·江苏省G4联考调研)如图所示，A、B为同一平面内均沿顺时针方向绕行的两颗卫星。某时刻两卫星的连线与A卫星的轨道相切，已知A、B卫星的运行周期分别为TA、TB，A、B卫星的运行半径分别为r、2r，则()A.卫星A的角速度小于卫星B的角速度B.卫星A的向心力大于卫星B的向心力C.TA∶TB=1∶4D.经时间TA答案D解析根据万有引力提供向心力有GMmr2=mω2r，得ω=GMr3，即卫星A的角速度大于卫星B的角速度，故A错误；根据万有引力定律有F=GMmr2，因两卫星的质量关系未知，所以无法比较卫星A的向心力与卫星B的向心力的大小，故B错误；根据开普勒第三定律有r3TA2=(2r)3TB2，得TATB=122，故C错误；设图示时刻两卫星与地球球心的连线夹角为θ，则cosθ=r2r=10.(2024·江苏南通市检测)如图所示，A、B、C三颗星体分别位于等边三角形的三个顶点上，在相互之间的万有引力作用下，绕圆心O在三角形所在的平面内做匀速圆周运动，三颗星体到O点的距离关系为rB=rC=2rA。忽略其他星