2026年秋高一数学中档题专练专题4-3 函数与方程的零点综合（原卷版）

专题4-3函数与方程零点问题综合

【题型1】零点存在定理

【题型2】二分法

【题型3】零点个数问题

【题型4】比较零点的大小

【题型5】由零点个数求参数范围

【题型6】求零点的和

【题型7】由二次函数零点分布求参数范围

【题型8】等值线问题

【题型9】函数零点和指数式与对数式的互化

【题型10】嵌套函数零点问题

【题型11】关于f(x)的方程()2+()+解的个数问题

𝑎�𝑎��=0

图像的变换

（1）平移变换

①函数yf(xa)(a0)的图像是把函数yf(x)的图像沿x轴向左平移a个单位得到的；

②函数yf(xa)(a0)的图像是把函数yf(x)的图像沿x轴向右平移a个单位得到的；

③函数yf(x)a(a0)的图像是把函数yf(x)的图像沿y轴向上平移a个单位得到的；

④函数yf(x)a(a0)的图像是把函数yf(x)的图像沿y轴向下平移a个单位得到的；

（2）对称变换

①函数yf(x)与函数yf(x)的图像关于y轴对称；

函数yf(x)与函数的图像关于x轴对称；

函数yf(x)与函数yf(x)的图像关于坐标原点(0,0)对称；

②若函数f(x)的图像关于直线xa对称，则对定义域内的任意x都有

f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)（实质上是图像上关于直线xa对称的两点连线的中点横坐标

(ax)(ax)

为a，即a为常数）；

2

若函数f(x)的图像关于点(a,b)对称，则对定义域内的任意x都有

f(x)2bf(2ax)或f(ax)2bf(ax)

③yf(x)的图像是将函数f(x)的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分关于x轴对称

翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示

④yf(x)的图像是将函数f(x)的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y轴对称

得到函数yf(x)左边的图像即函数yf(x)是一个偶函数（如图（c）所示）．

注：f(x)的图像先保留f(x)原来在x轴上方的图像，做出x轴下方的图像关于x轴对称图形，然后

擦去x轴下方的图像得到；而f(x)的图像是先保留f(x)在y轴右方的图像，擦去y轴左方的图像，

然后做出y轴右方的图像关于y轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．

⑤函数yf1(x)与yf(x)的图像关于yx对称．

【题型1】零点存在定理

零点存在定理及其推论

1、定理：如果函数fx在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，且fafb0，

那么，函数yfx在区间a.b内至少有一个零点，

即存在ca.b，使得fc0，这个c也就是方程fx0的解。

【注意】（1）定义不能确定零点的个数；

（2）不满足定理条件时依然可能有零点；

（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；

（4）定理反之是不成立的.

2、重要推论：

（1）推论1：函数fx在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，fafb0，

且fx具有单调性，则函数fx在区间a.b内只有一个零点.

（2）推论2：函数fx在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，

函数fx在区间a.b内有零点，且函数fx具有单调性，则fafb0

1．函数fxxx3的零点所在区间是（）

A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)

x1

2．已知x0是函数f(x)2的一个零点，若x1,x,xx，则（）

1x1020

A．f(x1)0，fx20B．f(x1)0，fx20

C．fx10，fx20D．fx10，fx20

3．（23-24高一下·河南漯河·期末）函数fxlnxx2a，则“a1”是“函数fx在1,e上存在

零点”的（）

A．充分不必要条件B．充分必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【巩固练习1】方程2xlnx50的解所在区间为（）

A．4,5B．3,4C．2,3D．1,2

x

【巩固练习】已知是函数1的一个零点，若，则（）

2x0fxx4x12,x0,x2x0,

3

A．x02,4B．fx1fx2

C．fx10,fx20D．fx10,fx20

【题型2】二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在的

区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

1

4．用二分法求方程logx0近似解时，所取的第一个区间可以是（）

42x

A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4

5．用二分法研究函数fxx32x1的零点时，第一次计算，得f00，f0.50，第二次应

计算fx1，则x1等于（）

A．1B．1C．0.25D．0.75

【巩固练习1】已知函数f(x)ln(x2)2xm(mR)的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:

x00.50.531250.56250.6250.751

f(x)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099

由二分法,方程ln(x1)2xm0的近似解(精确度0.05)可能是（）

A．0.625B．-0.009C．0.5625D．0.066

1

【巩固练习2】已知函数f(x)logx，在区间(1,2)内存在一个零点，在利用二分法求函数f(x)近

2x

似解的过程中，第二次求得的区间中点值为．

【巩固练习3】一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落

造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（）

A．4次B．6次

C．8次D．30次

【题型3】零点个数问题

零点个数的判断方法

1、直接法：直接求零点，令fx0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.

2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间a,b上是连续不断的曲线，且fafb0，

结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

3、图象法：

（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数fx的图象，函数fx的图象与x轴交点

的个数就是函数fx的零点个数；

（2）两个函数图象：将函数fx拆成两个函数hx和gx的差，根据fx0hxgx，

则函数fx的零点个数就是函数yhx和ygx的图象的交点个数

4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；

若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数

6．函数f(x)xlgx1的零点个数为（）

A．0B．1C．2D．3

7．函数f(x)x22x的零点个数为（）

A．0B．1C．2D．3

1

【巩固练习1】函数f(x)()xx32在定义域内的零点个数是（）

2

A．0B．1C．2D．3

x

1

【巩固练习2】方程log1x0的解的个数为（）

22

A．2B．3C．4D．2或3或4

x22x,x0,

【巩固练习3】已知函数fx则函数gxfx3的零点个数为（）

lgx,x0,

A．1B．2C．3D．4

【题型4】比较零点的大小

利用数形结合、等价转化等数学思想,将函数零点问题转化成图象交点，作出函数的图象，再根据图

象求结果.

x

1g(x)logxx

8．（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数f(x)x，1，h(x)x0.1x的

23

零点分别为a，b，c，则（）

A．abcB．cabC．acbD．cba

x1x2

．（高一上全国课后作业）设x，，均为实数，且1，1，

924-25··1x2x3log2x11log3x2

33

x3

1，则（）

log2x3

3

A．x1x3x2B．x3x2x1

C．x1x2x3D．x3x1x2

10．（23-24高一上·山东日照·期末）若aeablnbclgc1，则a，b，c的大小关系为（）

A．abcB．cbaC．bcaD．acb

x

11．（23-24高一上·北京丰台·期末）函数fx2x，gxlog2xx，hxxx的零点分

别为a，b，c，则a，b，c，的大小顺序为（）

A．abcB．bacC．bcaD．cab

x

12．（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程3log3x1的两根为x1，x2x1x2，则（）

1

A．0x11，x23B．x1

x2

C．0x1x21D．x1x24

【巩固练习1】（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知meme,n3ne，则（）

A．1nmeB．1mne

C．0nm1D．0mn1

【巩固练习2】（2024·广东梅州）三个函数fxx3x3，gxlnxx3，hxexx3的

零点分别为a,b,c，则a,b,c之间的大小关系为（）

A．abcB．cab

C．acbD．bca

【巩固练习3】（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数

x3

fx23x1,gxlog2x3x1,hxx3x1的零点分别是a,b,c，则a,b,c的大小关系为

（）

A．acbB．bca

C．bacD．abc

x3

【巩固练习4】（23-24高一上·湖南株洲·期末）.已知函数f(x)2x,g(x)log2xx,h(x)xx

的零点分别为a,b,c，则a,b,c的大小关系为（）

A．cabB．acb

C．bacD．cab

【题型5】由零点个数求参数范围

已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的

图象，利用数形结合的方法求解；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围.

2x31m,x0

13．设函数fx，若函数fx恰有3个零点，则实数m的取值范围为（）

lnxm,x0

A．,1B．1,2C．2,D．1,2

ex，x0，

14．（2018·全国·高考真题）已知函数f(x)g(x)f(x)xa．若g（x）存在2个零

lnx，x0，

点，则a的取值范围是

A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）

(x1)2,x0,

15．已知函数fx若函数gxfxb有四个不同的零点，则实数b的取值范

lgx,x0,

围为（）

A．0,1B．0,1C．0,1D．1,

1

16．已知函数fx2ex2a2x222xa2有唯一零点，则负实数a

2

11

A．2B．C．1D．或1

22

17．已知函数fxx2ex2e2xa有唯一零点，则实数a（）

A．1B．1C．2D．2

18．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知f(x)是定义在上的偶函数，且对xR，都有

x�

1

f(2x)f(2x)，且当x2,0时，fx1.若在区间2,6内关于x的方程

2

fxlogax20a1至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a的

取值范围是.

x24x2,x0

【巩固练习1】（23-24高一下·云南昆明·期中）已知函数fx，若方程f(x)a

log2x,x0

有四个不同的解x1,x2,x3,x4，则a的取值范围是．

lnx1,x02

（高一上天津期末）已知函数若函数m

【巩固练习2】23-24··fx2gxfx

x2x2,x02

有三个零点，则实数m的取值范围.

22

【巩固练习3】已知关于x的函数fxbx2bxx1bb4有唯一零点xa，则ab（）

A．1B．3C．1或3D．4

xc,x0,

【巩固练习4】设cR，函数f(x)x若f(x)恰有一个零点，则c的取值范围是（）

22c,x0.

A．(0,1)B．{0}[1,)

11

C．(0,)D．{0}[,)

22

【题型6】求零点的和

零点的和一般通过函数图像对称性来求

x

19．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数fx2x2，gxlog2xx2，

hxx3x2的零点分别为a，b，c，则abc．

20．函数fxexx1x1的所有零点之和为（）

A．0B．-1C．3D．2

21．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数fx的定义域为R，且fx1是奇函数，当x1时，

2x,1x21

，函数，则方程的所有的根之和为（）

fx2gxx13fxgx

x4x4,x2

A．3B．4C．5D．6

x

22．（贵州省毕节市2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题）已知x1是函数fxex2

4x

的零点，x2是函数gxex2的零点，则x1x2的值为（）

A．3B．4C．5D．6

x1x

23．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设x1满足ex30，x2满足ex20，则

ex1x2.

24．已知定义在R上的偶函数fx满足f2xf2x，当x0,2时，fxx4.设

hxlogx24

1，则fx与hx图象的所有交点的横坐标之和为.

2

x

【巩固练习1】（23-24高一上·河北石家庄·期末）设函数fx10x6的零点为m，函数

gxlgxx6的零点为n，则mn.

x22x,x2

【巩固练习2】（湖北省鄂东南2024-2025高一上期中联考）设函数f(x)关于x的方

2x6,x2

程f(x)a有三个不等实根x1,x2,x3，且x1x2x3，则2x12x23x3的取值范围是.

【巩固练习3】（山东省泰安市肥城市2023-2024学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知函数

x

fx2x，方程fx=fx有三个解x1,x2,x3，则fx1x2x3（）

A．0B．1C．2D．3

x

【巩固练习4】（广东省珠海市高一上学期11月联考）若x1，x2分别是方程ex20230，

xx

lnxx20230的根，则12（）

2

20232023

A．B．2023C．D．4046

24

【题型7】由二次函数零点分布求参数范围

一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般

考虑以下几方面：

1.开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况）.

2.判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0恒成立）

3.判定△符号.

4.判定对称轴的位置.

总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分

析就可以得到结论，无需记忆.

（1）二元二次方程在R上根的分布情况

①方程有两个不等的实数根b24ac0;

②方程有两个相等的实数根b24ac0;

③方程没有实数根b24ac0

（2）一元二次方程的根的“0”分布

b24ac0

b

①方程有两个不等正根x1,x2x1x20；

a

c

x1x20

a

b24ac0

b

②方程有两个不等负根x1,x2x1x20

a

c

x1x20

a

c

③方程有一正根和一负根,设两根为x,xxx0

1212a

（3）一元二次方程(a0)的根的“k”分布

0

b

①两根都小于kk；

2a

f(k)0

0

b

②两根都大于kk

2a

f(k)0

③一根小于k，一根大于f(k)0

（4）一元二次方程根(a0)在区间的分布

(m)0

①两根都在(m,n)内f(n)0

b

mn

2a

f(m)0

②两根都在(m,n)外

f(n)0

③两根仅有一根在(m,n)内f(m)f(n)0

f(m)f(n)0

④一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内

f(p)f(q)0

25．（24-25高一上·全国·期中）如果函数fxx2mx1的两零点分别落在区间0,1和1,2上，

则实数m的取值范围是（）

55

A．1m3B．2m3C．2mD．1m

22

26．（高一上·江苏徐州·阶段练习）方程x22mx6m0的两个根均大于1，则实数m的取值范

围是．

27．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）若函数fxax24x1在内恰有一个零点，则实

数a的取值范围是．−1,1

2

【巩固练习1】（24-25高一上·辽宁盘锦·期中）已知函数fxx2mx2m3有一个零点在区间

0,2内，求实数m的取值范围是（）

A．m1B．m1或m3

3737

C．m1或mD．m1或m

2626

2

【巩固练习2】（24-25高一上·江苏无锡·期中）若二次函数fxx2mx5在区间3,4上存在一

个零点，则m的取值范围是（）

211112211

A．mB．mC．mD．m或m

388338

2

【巩固练习3】（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数fxx2mx2m3至少有一个零点在区间

(0,2)内，求实数m的取值范围是（）

A．m1B．m1或m3

337

C．m1D．m1或m

226

【题型8】等值线问题

数形结合思想

28．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数fxlnxm有两个零点分别为a和b，则ab的

取值范围是．

x24x3,x0

29．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知fx2若x1x2x3x4，且

3,x0

x

1111

fx1fx2fx3fx4，则的取值范围是（）

x1x2x3x4

513513

A．,B．,2C．,D．,

3333

x1,x2

．（高一上宁夏石嘴山期中）多选已知函数，若存在，

3023-24··()f(x)2x1x2x3

x4x1,x2

使得fx1fx2fx3，则x1x2x3的取值可以是（）

A．3B．3C．5D．6

x3,x0

x1

31．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知fx1，若x1x2x3，且

,x0

3

fx3

fx1fx2fx3，则的取值范围是.

x1x2

【巩固练习1】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）已知函数fxlog5x1kkR．若k0，

则fx的零点为；若函数fx有两个零点x1，x2x1x2，则25x1x2的最小值

为．

x2,x0

【巩固练习2】（23-24高一上·山西阳泉·期末）已知函数fx，若方程f(x)a有四

log3x,x0

1111

个不同的解x1x2，则x1x2的取值范围是．

x3x4x3x4

x2,x0

【巩固练习3】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数f(x)，若方程f(x)a

log2x,x0

1

有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则x3x1x22的取值范围是．

x3x4

x22x,x3,

【巩固练习4】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数f(x)，若a，b，c(abc)

6x,x3

满足fafbfc1，记Mafabfbcfc，则M的取值范围为．

lnx,0xe

【巩固练习5】（2024高一上·江苏·专题练习）已知f(x)，若a,b,c互不相等且abc，

2lnx,xe

e2

且f(a)f(b)f(c)，则ab的范围是．

c

【题型9】函数零点和指数式与对数式的互化

函数零点题型常涉及求解方程根、判断函数图像与x轴交点等。指数式与对数式互化题型则注重转

换技巧，如给定指数式求对数式表达，或利用对数定义解指数方程。两类题型均考验数学基础与逻

辑转换能力。

32．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数fxlnxx3,gxexx3（其中e为自然

对数的底数）.设m,n分别为的零点，则enlnm.

2x��,��x0

33．已知x0是函数fxxelnx的零点，则elnx0.

1

．（高一上四川南充阶段练习）已知是函数x2的零点，则

3423-24··x0fxexlnx

1

x0.

elnx0

x

【巩固练习1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知a1,x1,x2分别是函数fxexa与

x1

gxlnxxa的零点，若mex2，则m的取值范围为.

2x3

【巩固练习2】（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）设x0是函数fxxelnx3的零点，则

3x0

elnx0．

x

【巩固练习3】（23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知x0是函数fxex2的零点，则（）

A．x01B．ln2x0x0

x

02x0

C．x0e0D．ee0

1

【巩固练习4】（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知fxex的零点为x，若ex0xlnx2m，

x000

则整数m的最大值是.

【题型10】嵌套函数零点问题

数形结合与换元法

对于嵌套型复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题，求解思路如下：

（1）确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；

===

（2）确定外层函数yf(u)的零点uui(i1,2,3,....n)；

===

（3）确定直线uui(i1,2,3,....n)与内层函数ug(x)图象的交点个数分别为，

=+++

a1,a2,a3.......,an则函数yf[g(x)]的零点个数为a1a2a3.......an.

注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．

35．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）定义域和值域均为（常数a0）的函数

−�,��=��

和图象如图所示，则方程fgx0有个解．

�=��

a2x，x0，

36．已知函数fx若关于x的方程ffx0有且仅有两个实数根，则实数a的取

，，

log2xx0

值范围是（）

A．0,1B．,00,1C．1,D．0,11,

37．已知函数fxxaex，则ffxa至多有______个实数解.

lnx2,x0

．已知，若只有个不同的实根，则实数的取值范围

38fx2ffxa5a

3x,x0

是.

x22x,x0,

【巩固练习1】（23-24高一上·浙江金华·期末）已知函数fx则方程ffx2的

log2x,x0,

所有根之积为．

【巩固练习2】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数f(x)为R上的奇函数，当x0时，

f(x),x0

f(x)x22x，若函数g(x)满足g(x)，且g(f(x))a0有8个不同的解，则实数a

f(x),x0

的取值范围为（）

A．a1B．1a0C．0a1D．a1

【巩固练习3】（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数

fx3x19x26x412x34x212x121，则函数fx的零点为.

【巩固练习4】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）若fx和gx都是R上的函数