2026秋北师大版高一数学同步备课讲义（必修一）3.1 不等式性质（题型专练）（原卷版）

3.1不等式性质

题型一：不等式的判断

1．已知实数m,n在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）

11

A．m2>mn>0B．<

mn

C．m-n>0D．m2<n2

2．已知a>b>0,c>d>0，则（）

A．a+d>b+cB．a-d>c-b

C．ac²>bc²D．ad>bc

3．设a,bÎR，若-1<b<a<0，则下列不等式中不正确的是（）

11

A．a2<b2B．<

ab

C．ab<b2D．a+b>-1

4．已知0<a<1，则（）

11

A．a2>>a>-aB．a>a2>>-a

aa

11

C．>a>a2>-aD．>a2>a>-a

aa

5．已知b克糖水中含有a克糖（b>a>0），再添加m克糖（m>0，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一

事实表示为一个不等式（）

aaa+ma

A．>B．>

bb+mbb+m

aa+maa+m

C．<D．<

b+mb+mbb+m

题型二：不等式的性质

1．下列命题为真命题的是（）

11

A．若>，则a<bB．若a<b，则a2<b2

ab

ba

C．若a>b>0，则a<bD．若a>b>0，则<

ab

2．若a>b>0，c>d，则下列结论正确的是（）

A．|c|>|d|B．ac>bd

ab

C．ac2>bc2D．>

d2+1d2+1

3．（多选）对于实数a，b，c，正确的命题是（）

a+b

A．若a>b，则a>>bB．若a>b>0，则a>ab>b

2

11aa+c

C．若>，则a>0，b<0D．若a>b>0，c>0，则>

abbb+c

4．（多选）若a<b<0,c<0，则（）

a

A．0<<1B．ac>bc

b

a+ca

C．<D．a5+b5>a2b3+a3b2

b+cb

题型三：作差法比较大小

1．已知P=a2+3a+3，Q=a+1，则P与Q的大小关系为（）

A．P<QB．P=Q

C．P>QD．P£Q

2．设aÎR，下列各式成立的是（）

A．a2³2a+1B．a2>2a-1

C．4a2-a³3a-1D．a2-3a>a-4

3．已知a，b均为正实数，若M=a3+b3,N=a2b+ab2，则（）

A．M<NB．M£N

C．M>ND．M³N

4．若p=a+6-a+4，q=a+5-a+3，其中a³0，则p,q的大小关系是（）

A．p<qB．p=q

C．p>qD．不确定

5．互不相等的实数a,b,c满足：c-b=4-4a+a2且a+b2+1=0，则下列关系成立的是（）

A．b>a>cB．b>c>a

C．c>a>bD．c>b>a

题型四：作商法比较大小

1．设a=7，b=3-3，则a___________b（填入“＞”或“＜”）．

1

2．P=a2+a+1,Q=,(aÎR)，则P,Q的大小关系为______________．

a2-a+1

a2-b2a-b

3．设a>b>0，比较与的大小.

a2+b2a+b

题型五：简单不等式性质证明

1．（1）比较x+2x+3与x+1x+4的大小；

cc

（2）已知a>b>0，c<0，求证：>．

ab

ee

2．（1）已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>；

a-cb-d

（2）已知x（x>0）克糖水中含有y（y>0）克糖，向杯中再添加m（m>0）克糖（全部溶解），糖水

变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”；请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立；

3．（1）比较3x3与3x2-x+1的大小；

（2）已知a³1，试比较M=a+1-a和N=a-a-1的大小.

a2b2

4．已知a,b为正实数．求证：+>a+b.

ba

题型一：不等式性质的证明

ee

1．（1）已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>；

a-cb-d

（2）证明：a-a-2<a-1-a-3a³3．

ba

2．（1）已知a>b>0，c<d<0，求证：<；

a-cb-d

a+bc+d

（2）已知bc-ad³0，bd>0，求证：£．

bd

3．试比较下列组式子的大小：

(1)x+1-x与x-x-1，其中x>1；

abba

(2)M=+与N=+，其中a>0，b>0；

1+a1+b1+a1+b

a2-b2a-b

(3)与，a>b>0．

a2+b2a+b

4．从下列三组式子中选择一组比较大小：

(1)设x>1，M=x-x-1，N=x+1-x，比较M，N的大小；

(2)设a，b均为正实数，M=a3+b3，N=a2b+ab2，比较M，N的大小；

a2-b2a-b

(3)设a>b>0，M=，N=，比较M，N的大小．

a2+b2a+b

题型二：简单不等式范围

1．若3£a£5,-2£b£1，则2a-b的范围是（）

A．{x|8£x£9}B．{x|4£x£8}

C．{x|5£x£8}D．{x|5£x£12}

2．若-1<a<b<1，则a-b的范围为（）

A．{x∣-2<x<0}B．{x∣-2<x<-1}

C．{x∣-1<x<0}D．{x∣0<x<1}

3．已知4<a<9，-2<b<-1，则2a+b的取值范围是（）

A．{x|2<x<5}B．{x|6<x<17}

C．{x|1<x<3}D．{x|-3<x<-1}

4．（多选）已知-1<a<4，1<b<2，则下列结论正确的是（）

A．0<a+b<6B．-1<ab<8

C．-3<a-b<3D．1<a2<16

x2x3

5．设x,y为实数，满足3£xy2£8,4££9，则的最大值为（）

yy4

A．27B．24

C．12D．32

题型一：构造不等式范围

1．已知-3£a+b£-2，1£a-b£4，则3a+b的取值范围是（）

A．{x|-3£x£0}B．{x|-5£x£3}

C．{x|-5£x£0}D．{x|-2£x£5}

2．已知实数x，y满足1£x+y£4，-1£x-y£2，则4x-2y的取值范围是（）

A．{a|-4£a£10}B．{a|-3£a£6}

C．{a|-5£a£13}D．{a|-2£a£10}

3．已知1£a-b£2，3£a+b£4，则ab的最大值为（）

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A．B