新教材高中数学 第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定（教学用书）教案 新人教A版必修第二册

PAGE课题新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.2第1课时直线与平面垂直的判定（教学用书）教案新人教A版必修第二册设计思路本节课以“新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.2第1课时直线与平面垂直的判定”为主题，通过引导学生探究直线与平面垂直的判定方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。教学过程中，结合教材内容，通过实例分析和课堂互动，使学生掌握直线与平面垂直的判定定理，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标分析培养学生空间观念，提高学生的几何直观能力；发展逻辑推理，使学生学会运用直线与平面垂直的判定定理解决问题；增强数学应用意识，通过实际问题训练，让学生体会数学在解决空间问题中的价值。教学难点与重点1.教学重点

-明确直线与平面垂直的判定定理，即若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该直线与该平面垂直。

-举例：在正方体中，证明侧棱与底面垂直。

2.教学难点

-理解和运用线面垂直的判定定理进行证明。

-举例：在空间四边形中，证明一个顶点与对面的直线垂直。

-难点在于空间想象能力和逻辑推理能力的结合，学生需要能够将平面几何中的概念和定理应用到立体几何中。

-难点还在于如何从实际问题中抽象出几何模型，并运用定理进行证明。例如，在解决实际问题时，如何识别出直线与平面的关系，以及如何构建辅助线或面来辅助证明。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《新教材高中数学》必修第二册。

2.辅助材料：准备立体几何图形的图片、图表，以及相关视频资料，以帮助学生直观理解空间关系。

3.实验器材：准备直角尺、量角器等，用于学生实际操作和验证定理。

4.教室布置：设置分组讨论区，并准备好黑板或白板，以便展示解题过程和进行课堂互动。教学流程1.导入新课（5分钟）

-展示生活中常见的立体几何物体，如建筑物的角、家具的边角等，引导学生回顾平面几何中的垂直概念。

-提问：如何判断这些立体物体中的直线和平面是否垂直？

-引入本节课的主题：空间直线与平面的垂直判定。

2.新课讲授（15分钟）

-阐述直线与平面垂直的判定定理，通过实例说明定理的应用。

-举例：在正方体中，证明侧棱与底面垂直。

-讲解判定定理的证明过程，强调逻辑推理的步骤。

-举例：证明一个四边形的对角线所在直线与底面垂直。

-展示如何将定理应用于实际问题中，如建筑图纸的阅读和理解。

-举例：在建筑设计图中，如何识别并标注直线与平面的垂直关系。

3.实践活动（15分钟）

-分组让学生绘制简单的立体几何图形，如正方体、长方体，并标出垂直的直线和平面。

-每组提供不同的立体图形，让学生独立完成判定任务，然后组内讨论并汇报结果。

-学生尝试解决一些简单的判断题，如判断给出的直线是否与平面垂直。

4.学生小组讨论（15分钟）

-讨论内容1：如何识别立体图形中的垂直关系？

-举例回答：通过观察立体图形的边角关系，识别出直线与平面的相交情况。

-讨论内容2：如何证明直线与平面垂直？

-举例回答：利用判定定理，结合辅助线或面进行证明。

-讨论内容3：如何将直线与平面的垂直判定应用于实际问题？

-举例回答：在建筑图纸中，根据标注的垂直关系，设计建筑物的结构。

5.总结回顾（5分钟）

-回顾本节课的核心内容：直线与平面垂直的判定定理及其应用。

-强调本节课的重难点：判定定理的理解和运用，以及如何将定理应用于实际问题。

-提问学生：举例说明如何判断和证明直线与平面垂直。

-总结：直线与平面垂直的判定是立体几何中的重要内容，对于理解空间几何关系和解决实际问题具有重要意义。

用时总计：45分钟知识点梳理1.空间直线与平面的基本概念

-空间直线：无限延伸的直线，存在于三维空间中。

-空间平面：无限延展的平面，由无数条直线组成。

-空间点：三维空间中的一个位置。

2.空间直线与平面的位置关系

-相交：直线和平面有一个公共点。

-垂直：直线和平面内的任意直线都垂直。

-平行：直线和平面没有公共点，且直线不垂直于平面。

3.直线与平面垂直的判定定理

-定理：若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该直线与该平面垂直。

4.直线与平面垂直的证明方法

-利用判定定理证明：根据判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直。

-构造辅助线或面：通过构造辅助线或面，证明直线与平面垂直。

5.空间直线与平面垂直的应用

-在立体几何中，判断直线与平面的垂直关系。

-在建筑设计、工程计算等领域，应用直线与平面垂直的知识解决实际问题。

6.空间直线与平面的角度关系

-直线与平面的夹角：直线与平面所成的角，即直线与平面内任意一条垂直于该直线的直线所成的角。

-平面与平面的夹角：两个平面所成的角，即两个平面内任意一条垂直于两平面的直线所成的角。

7.空间直线与平面的距离

-直线到平面的距离：直线上的点到平面的最短距离。

-平面到平面的距离：两个平面之间的最短距离。

8.空间几何体的性质

-正方体：六个面都是正方形，相邻面垂直。

-长方体：六个面都是矩形，相邻面垂直。

-圆柱：两个底面是圆形，侧面是矩形，底面与侧面垂直。

9.空间几何体的计算

-表面积：计算立体几何图形各个面的面积之和。

-体积：计算立体几何图形所包含的空间大小。

10.空间几何体的变换

-平移：将立体几何图形沿直线移动一定距离。

-旋转：将立体几何图形绕某一点旋转一定角度。

-翻转：将立体几何图形绕某条直线翻转。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.融入实际问题：在讲解直线与平面垂直的判定定理时，我尝试将实际问题引入课堂，比如通过展示建筑图纸，让学生分析并解决实际问题，这样不仅让学生学会了知识，也提高了他们的应用能力。

2.多媒体辅助教学：我使用了多媒体资源，如动画和视频，来帮助学生直观地理解空间关系，这比单纯的文字描述要有效得多，也提高了学生的学习兴趣。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生空间想象力不足：有些学生对于空间几何的理解不够深入，他们在想象空间关系时存在困难。

2.课堂互动不足：在课堂讨论环节，我发现学生之间的互动不够，有时候学生的回答缺乏深度，这可能是因为我没有充分引导他们进行深入思考。

3.评价方式单一：我主要依靠学生的课堂表现和作业来评价他们的学习情况，这种评价方式可能不够全面，需要更加多元化的评价手段。

反思改进措施（三）

1.加强空间想象力训练：我计划在课堂上增加一些互动环节，比如让学生自己动手操作立体几何模型，或者通过小组合作来解决问题，以此来提高他们的空间想象力。

2.优化课堂互动：我将鼓励学生在课堂上提出问题，并引导他们进行深入的讨论，同时，我会设计一些更具挑战性的问题，激发学生的思考。

3.实施多元化评价：为了更全面地评价学生的学习情况，我打算引入一些新的评价方式，比如学生自评、互评，以及课堂表现记录，这样可以帮助我更准确地了解学生的学习状态。课后作业1.证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与平面BCC1B1垂直。

解：过点A1作A1M⊥BC于点M，连接AM，因为BC⊥B1C1，BC⊥B1B，B1B∩B1C1=B1，所以BC⊥平面B1BCC1，因为AM⊂平面B1BCC1，所以AM⊥BC，因为AA1⊥AM（A1M⊥BC），所以AA1⊥平面BCC1B1，因此AA1⊥BC。

2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、DD1的中点，求证：平面B1C1EF⊥平面ADD1A1。

解：因为AB⊥平面ADD1A1，所以AB⊥AA1，又因为AB∩AD=A，所以AB⊥平面AADD1A1，因为AB⊥平面AADD1A1，AB⊥B1C1，所以B1C1⊥平面ADD1A1，因为EF⊂平面ADD1A1，所以B1C1⊥EF，因为B1C1⊥EF，B1C1⊥B1E，所以EF⊥B1E，同理EF⊥B1F，因为E、F分别为BB1、DD1的中点，所以B1E∥B1F，所以EF⊥B1F，因此平面B1C1EF⊥平面ADD1A1。

3.在三棱锥P-ABC中，底面ABC是等边三角形，侧棱PA、PB、PC两两垂直，求证：PA⊥BC。

解：因为PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC，同理PA⊥AC，又因为BC∩AC=C，所以PA⊥平面ABC，因为PB⊥平面ABC，所以PA⊥PB，因为PA⊥BC，PA⊥PB，所以BC⊥PB，同理BC⊥PC，因此BC⊥平面PAB，因为BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA。

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、DD1的中点，求证：平面BEF⊥平面A1D1C1。

解：因为A1D1⊥平面ABCD，所以A1D1⊥CD，又因为CD∩DD1=D，所以A1D1⊥DD1，因为BE⊥DD1，所以A1D1⊥BE，因为BE⊥平面A1D1C1，所以平面BEF⊥平面A1D1C1。

5.在三棱锥P-ABC中，底面ABC是等边三角形，侧棱PA、PB、PC两两垂直，求证：三角形PBC是直角三角形。

解：因为PA⊥BC，PB⊥AC，所以∠APB=90°，同理∠APC=90°，因为PA=PB=PC，所以三角形PBC是直角三角形。教学评价与反馈1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与度，包括提问、回答问题、参与讨论等。评价学生是否能够积极思考，是否能够准确理解并运用直线与平面垂直的判定定理。例如，通过提问学生能否在图中识别出垂直关系，以及能否正确运用定理进行证明。

2.小组讨论成果展示：评估学生在小组讨论中的表现，包括是否能够有效地沟通、是否能够提出有建设性的意见、是否能够倾听他人的观点。例如，通过小组展示，观察学生是否能够清晰地解释他们的证明过程，以及是否能够正确地应用判定定理。

3.随堂测试：通过随堂测试来评价学生对直线与平面垂直判定定理的理解和掌握程度。测试可以包括选择题、填空题或简答题，以检验学生对定理的记忆和应用能力。

4.学生自评与互评：鼓励学生进行自我评价和相互评价，以增强他们的反思能力。学生可以评价自己在课堂上的参与度、对知识的理解程度以及解决问题的能力。

5.教师评价与反馈：针对学生的表现，教师应给予及时的反馈。对于正确理解和应用定理的学生，给予肯定和鼓励；对于理解有困难的学生，提供个别指导，帮助他们克服难点。例如，对于在证明过程中出现错误的学生，教师可以指出错误所在，并提供正确的解题思路。板书设计①直线与平面垂直的判定定理

-定理内容：若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该直线与该平面垂直。

-关键词：直线、平面、相交、垂直

②证明过程示例

-证明步骤：构造辅助线或面，证明直线与平面内两条相交直线垂直。

-关键词：辅助线、面、垂直、相交