1.3 二次函数的性质 2026秋浙教版初中数学九年级上册同步讲义

1.3二次函数的性质内容导航内容导航题型1二次函数的性质题型2二次函数的三种形式考点演练考点演练题型1二次函数的性质解｜题｜知｜识二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|【典例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣a（a，b为常数，且a≠0）的图象与二次函数y＝ax2﹣bx的图象可能是（）A． B． C． D．【变式1】已知抛物线y＝x2﹣4mx+m，当﹣2＜x＜1时，y的值随x值的增大而增大，则此抛物线的顶点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2】在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0），则下列结论中正确的是（）A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 C．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2【变式3】对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1，下列判断不正确的是（）A．抛物线的开口向下 B．当x＝2时，y有最大值1 C．对称轴为直线x＝﹣2 D．当x＜2时，y随x的增大而增大题型2二次函数的三种形式解｜题｜知｜识二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．【典例1】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）用配方法将解析式化为y＝（x﹣h）2+k的形式；（2）求这个函数图象与x轴的交点坐标．【变式1】已知二次函数的表达式为：y＝x2﹣6x+5，（1）利用配方法将表达式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标．【变式2】抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6．（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；（2）x取何值时，y随x的增大而减小？【变式3】用配方法求出抛物线y＝x2+2x﹣1的开口方向、顶点坐标、对称轴．过关验收过关验收1．若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（）A． B． C． D．2．抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴的交点坐标为（）A．（3，0） B．（0，3） C．（1，0） D．（0，1）3．二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（）A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）4．已知抛物线y=−(x−3)A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为(3，1D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小5．对于二次函数y＝（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（）A．开口向下 B．顶点坐标（﹣3，2） C．当x≥3时，y随x增大而减小 D．函数的最小值是26．二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2+1，则它图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（1，2）7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，当﹣3≤x≤1时函数值y有最小值﹣3，则a的值为（）A．−34 B．13或34 C．38．设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），部分对应值如表：x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…当x＝3时，y＝（）A．5 B．﹣4 C．﹣3 D．09．二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y的对应关系如表，设一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1，x2，且x1＜x2，则下列说法正确的是（）x…﹣2﹣1.5﹣1﹣0.500.5…y…﹣0.220.130.380.530.580.53…A．﹣1＜x1＜﹣0.5 B．﹣0.5＜x1＜0 C．1＜x2＜1.5 D．1.5＜x2＜210．二次函数y＝x2﹣2x﹣1图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，则下列说法正确的是（）x…﹣2﹣1012…y…﹣50343…A．对称轴为直线x＝﹣1 B．当x＝3时，y＝﹣5 C．当x＜12时，y随xD．此函数有最小值412．对于抛物线y＝2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为（1，3） C．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大13．如图，抛物线y＝a（x﹣4）2上的两点A，B，且AB∥x轴，直线AB与y轴交于（0，8），x轴上的有两点D（3，0），C（7，0），且四边形ABCD是平行四边形，则常数a的值为（）A．1 B．1.5 C．2 D．314．抛物线y＝2（x+m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（）A．（m，n） B．（﹣m，n） C．（m，﹣n） D．（﹣m，﹣n）15．二次函数y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是．16．写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式．17．已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是．18．设二次函数y＝x2+bx+2b﹣3，当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣15，则b的值为．19．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+5的图象的对称轴为，顶点坐标为．20．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣5，点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）都在该函数的图象上，且x1+x2＝2．（1）求函数图象的顶点；（2）若点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）与直线x＝m的距离恒相等，求m的值；（3）若y1≥y2，求y1的最小值．21．定义：已知二次函数y＝ax2+bx+c，则称二次函数y＝a（x﹣t）2+b（x﹣t）+c是二次函数y＝ax2+bx+c的伴随二次函数，t是伴随值．定义理解（1）下列二次函数中，是二次函数y＝x2+x+2的伴随二次函数的是（）A．y＝（x﹣1）2+x+3B．y＝（x+1）2+x+1C．y＝（x﹣2）2+xD．y＝（x+2）2+x+2深入探究（2）已知二次函数y1=x①伴随值为；②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象；③当m≤x≤m+2时，记二次函数y1与y2的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标．22将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列选项正确的是（）A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+4 C．y＝（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x﹣1）2+423．将二次函数y＝x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是（）A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x+1）（x+3） C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣124．函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣4） B．（1，4） C．（1，﹣4） D．（﹣1，4）25．如果抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜126．把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，则下列结论正确的是（）A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣127．将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为y＝a（x+h）2+k的形式，正确的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x﹣1）2﹣1 C．y＝2（x+1）2+1 D．y＝2（x+1）2﹣128．把y=12x2﹣2x+1写成y＝a（x﹣h）2+A．y=12（x﹣2）2﹣1 B．y=12（xC．y=12（x﹣1）2+12 D．y=129．将二次函数y＝2x2+6x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式是．30．将二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x+m）2+k的形式为．31．把二次函数y＝2x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为．32．将函数y=−12x2+4x−3化为y＝a（x﹣m）233．把二次函数y＝x2+4x﹣1变形为y＝a（x+h）2+k的形式为．34．若二次函数y＝x2+bx+5配方后为y＝（x﹣2）2+k，则b+k＝．35．把函数y＝x2﹣4x+3化成顶点式：．答案解析题型1二次函数的性质【典例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣a（a，b为常数，且a≠0）的图象与二次函数y＝ax2﹣bx的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A项：由二次函数图象可知a＜0，b＜0，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，故选项A错误；B项：由二次函数图象可知a＞0，b＞0，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，故选项B错误；C项：由二次函数图象可知a＜0，b＜0，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，故选项C正确；D项：由二次函数图象可知a＞0，b＞0，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，故选项D错误．故选：C．【变式1】已知抛物线y＝x2﹣4mx+m，当﹣2＜x＜1时，y的值随x值的增大而增大，则此抛物线的顶点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解答】解：由题意知a＞0，∴开口向上，∵当﹣2＜x＜1时，y的值随x值的增大而增大，∴对称轴为直线x＝﹣2或x＜﹣2，如图：∵抛物线y＝x2﹣4mx+m的对称轴为直线x＝2m，∵2m≤﹣2，∴m≤﹣1，∴Δ＝16m2﹣4m＞0，∴抛物线与x轴有2个不同的交点，∴顶点在第三象限．故选C．【变式2】在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0），则下列结论中正确的是（）A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 C．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2【答案】A【解答】解：由条件可知抛物线的开口向上，则对称轴为直线x=−−2a把x＝1代入y＝ax2﹣2ax，得y＝a﹣2a＝﹣a，∴顶点为（1，﹣a），∵两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0），∴当x1＜0且y1•y2＜0时，y1＞0（因x＜0时抛物线在x轴上方），故y2＜0，此时0＜x2＜2故A选项的结论正确，符合题意；当x1＜x2＜1时，抛物线在x＜1时递减，故x2越大，y2越小，即y1＞y2，故B选项的结论错误，不符合题意；当x1＜0且y1•y2＞0时，y2＞0，此时x2应满足x2＜0或x2＞2，故C选项的结论错误，不符合题意；当x1＞x2＞1时，抛物线在x＞1时递增，故x1越大，y1越大，即y1＞y2，故D选项的结论错误，不符合题意；故选：A．【变式3】对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1，下列判断不正确的是（）A．抛物线的开口向下 B．当x＝2时，y有最大值1 C．对称轴为直线x＝﹣2 D．当x＜2时，y随x的增大而增大【答案】C【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+1中a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，∴当x＝2时，y有最大值1，当x＜2时，y随x的增大而增大，故A，B，D正确，C错误，故选：C．题型2二次函数的三种形式【典例1】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）用配方法将解析式化为y＝（x﹣h）2+k的形式；（2）求这个函数图象与x轴的交点坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）y＝（x2﹣2x+1）﹣4＝（x﹣1）2﹣4；（2）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴这条抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．【变式1】已知二次函数的表达式为：y＝x2﹣6x+5，（1）利用配方法将表达式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）y＝x2﹣6x+9﹣9+5＝（x﹣3）2﹣4，即y＝（x﹣3）2﹣4；（2）由（1）知，抛物线解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，所以抛物线的对称轴为：x＝3，顶点坐标为（3，﹣4）．【变式2】抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6．（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；（2）x取何值时，y随x的增大而减小？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x2﹣4x）﹣6＝﹣2（x2﹣4x+4）+8﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，∴该抛物线的顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x＝2．（2）∵a＝﹣2＜0，∴当x≥2时，y随x的增大而减小．【变式3】用配方法求出抛物线y＝x2+2x﹣1的开口方向、顶点坐标、对称轴．【答案】见试题解答内容【解答】解：y＝x2+2x﹣1＝x2+2x+1﹣2＝（x+1）2﹣2，所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．过关验收过关验收1．若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：由条件可知：a＜0，b＜0，∴二次函数y＝ax2+bx的开口向下，−b∴对称轴在y轴左侧，故选：C．2．抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴的交点坐标为（）A．（3，0） B．（0，3） C．（1，0） D．（0，1）【答案】B【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3，∴当x＝0时，y＝3，即抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴的交点坐标是（0，3），故选：B．3．二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（）A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）【答案】B【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2+2，∴该函数图象的顶点坐标为（1，2），故选：B．4．已知抛物线y=−(x−3)A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为(3，1D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小【答案】C【解答】解：A，a＝﹣1＜0，开口向下，原说法错误，不符合题意；B，对称轴是直线x＝3，原说法错误，不符合题意；C，顶点坐标为(3，1D，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意；故选：C．5．对于二次函数y＝（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（）A．开口向下 B．顶点坐标（﹣3，2） C．当x≥3时，y随x增大而减小 D．函数的最小值是2【答案】D【解答】解：∵a＝1，h＝3，k＝2，∴a＝1＞0，开口向上，故A错误，不符合题意；顶点坐标为（3，2），故B错误，不符合题意；对称轴为x＝3，开口向上，∴当x≥3时，y随x增大而增大，故C错误，不符合题意；当x＝3时，y有最小值2，故D正确，符合题意；故选：D．6．二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2+1，则它图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（1，2）【答案】C【解答】解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+1，∴二次函数图象的顶点坐标是（2，1）．故选：C．7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，当﹣3≤x≤1时函数值y有最小值﹣3，则a的值为（）A．−34 B．13或34 C．3【答案】C【解答】解：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，当﹣3≤x≤1时函数值y有最小值﹣3，①若a＜0时，则当x＝﹣3时，y＝﹣3，即9a+6a﹣3a＝﹣3，解得a=−1②若a＞0时，当x＝1时，y＝﹣3，﹣4a＝﹣3，解得a=3故a的值为34或−故选：C．8．设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），部分对应值如表：x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…当x＝3时，y＝（）A．5 B．﹣4 C．﹣3 D．0【答案】D【解答】解：由表格可得，该函数的对称轴为直线x=0+2∴x＝3和x＝﹣1对应的函数值相等，∵当x＝﹣1时，y＝0，∴当x＝3时，y＝0，故选：D．9．二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y的对应关系如表，设一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1，x2，且x1＜x2，则下列说法正确的是（）x…﹣2﹣1.5﹣1﹣0.500.5…y…﹣0.220.130.380.530.580.53…A．﹣1＜x1＜﹣0.5 B．﹣0.5＜x1＜0 C．1＜x2＜1.5 D．1.5＜x2＜2【答案】D【解答】解：由表格可得，该函数的对称轴为直线x=−0.5+0.52=0，当x＝﹣1.5时，y＞0，当x∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1，x2，且x1＜x2，∴1.5＜x2＜2，故选：D．10．二次函数y＝x2﹣2x﹣1图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，∴顶点坐标为（1，﹣2），∴顶点在第四象限．故选：D．11．如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，则下列说法正确的是（）x…﹣2﹣1012…y…﹣50343…A．对称轴为直线x＝﹣1 B．当x＝3时，y＝﹣5 C．当x＜12时，y随xD．此函数有最小值4【答案】C【解答】解：由题意，结合表格数据可得抛物线的对称轴是直线x=0+22=∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝3时的函数值与当x＝﹣1时的函数值相等．∵当x＝﹣1时，y＝0，则当x＝3时，y＝0，故B错误．结合表格数据可得，当x＜1时，y随x的增大而增大，∴当x＜12时，y随x的增大而增大，故∵当x＜1时，y随x的增大而增大，且对称轴是直线x＝1，∴抛物线开口向下．∴当x＝1时，y取最大值，最大值为4，故D错误．故选：C．12．对于抛物线y＝2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为（1，3） C．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大【答案】B【解答】解：由题知，因为抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+3，所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，3），则AC选项不符合题意，B选项符合题意；因为当﹣3＜x＜1时，y随x的增大而减小，所以D选项不符合题意．故选：B．13．如图，抛物线y＝a（x﹣4）2上的两点A，B，且AB∥x轴，直线AB与y轴交于（0，8），x轴上的有两点D（3，0），C（7，0），且四边形ABCD是平行四边形，则常数a的值为（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】C【解答】解：∵y＝a（x﹣4）2，∴抛物线的对称轴为x＝4，∵x轴上的有两点D（3，0），C（7，0），∴CD＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，由二次函数的对称性可得：点A，B的横坐标分别为：2，6，∵直线AB与y轴交于（0，8），AB∥x轴，∴点A，B的纵坐标8，∴点A，B的坐标分别为（2，8）、（6，8），将点A（2，8）代入y＝a（x﹣4）2可得：8＝a（2﹣4）2，解得：a＝2．故选：C．14．抛物线y＝2（x+m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（）A．（m，n） B．（﹣m，n） C．（m，﹣n） D．（﹣m，﹣n）【答案】B【解答】解：因为抛物线y＝2（x+m）2+n是顶点式，根据顶点式的坐标特点，它的顶点坐标是（﹣m，n）．故选：B．15．二次函数y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是．【答案】（2，3）【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（2，3）．故答案为（2，3）16．写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式．【答案】y＝2x2+1（答案不唯一）【解答】解：∵a＞0时，抛物线开口向上，∴函数图象开口向上的二次函数的解析式可以为：y＝2x2+1（答案不唯一），故答案为：y＝2x2+1（答案不唯一）．17．已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是．【答案】a≤2【解答】解：二次函数y＝3（x﹣a）2的对称轴为直线x＝a，∵当x＞a时，y的值随x值的增大而增大，∴a≤2．故答案为：a≤2．18．设二次函数y＝x2+bx+2b﹣3，当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣15，则b的值为．【答案】﹣4【解答】解：二次函数y＝x2+bx+2b﹣3的对称轴为x=−b①当−b2＜−1即b＞2时，x＝﹣1的函数值最小，y最小＝1﹣b解得b＝﹣13（舍去）；②当﹣1≤−b2≤2即﹣4≤b≤2时，x=−b2的函数值最小，y最小=1解得b＝12（舍去）或b＝﹣4，③当−b2＞2即b＜﹣4时，x＝2的函数值最小，y最小＝4+2b解得b＝﹣4，综上，b的值为﹣4．故答案为：﹣4．19．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+5的图象的对称轴为，顶点坐标为．【答案】x＝1；（1，5）【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+5，∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x＝1，故答案为：x＝1，（1，5）．20．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣5，点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）都在该函数的图象上，且x1+x2＝2．（1）求函数图象的顶点；（2）若点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）与直线x＝m的距离恒相等，求m的值；（3）若y1≥y2，求y1的最小值．【答案】（1）顶点为（2，﹣9）．（2）m的值为1．（3）y1的最小值为﹣8．【解答】解（1）∵二次函数y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∴函数图象的顶点为（2，﹣9）．（2）∵点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）与直线x＝m的距离恒相等，∴|x1﹣m|＝|x2﹣m|，∴（x1﹣m）2＝（x2﹣m）2，化简得（x1﹣x2）[（x1+x2）﹣2m]＝0，又∵x1+x2＝2，x1≠x2，∴m＝1．故m的值为1．（3）∵y1≥y2，由（1）（2）可得，P1在直线x＝1的左侧，P2在直线x＝1的右侧或重合在直线x＝1上，∴x1≤1，∵y1随x1的增大而减小，∴当x1＝1时，y1的最小值为﹣8．故y1≥y2时，y1的最小值为﹣8．21．定义：已知二次函数y＝ax2+bx+c，则称二次函数y＝a（x﹣t）2+b（x﹣t）+c是二次函数y＝ax2+bx+c的伴随二次函数，t是伴随值．定义理解（1）下列二次函数中，是二次函数y＝x2+x+2的伴随二次函数的是（）A．y＝（x﹣1）2+x+3B．y＝（x+1）2+x+1C．y＝（x﹣2）2+xD．y＝（x+2）2+x+2深入探究（2）已知二次函数y1=x①伴随值为；②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象；③当m≤x≤m+2时，记二次函数y1与y2的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标．【答案】（1）C；（2）①2；②；③（1，﹣4）或（3，﹣4）【解答】解：（1）对于二次函数y＝x2+x+2，结合题目中的选项，可知伴随值如下：当伴随值为1时，伴随二次函数为：y＝（x﹣1）2+（x﹣1）+2＝（x﹣1）2+x+1，A不符合题意；当伴随值为﹣1时，伴随二次函数为：y＝（x+1）2+（x+1）+2＝（x+1）2+x+3，B不符合题意；当伴随值为2时，伴随二次函数为：y＝（x﹣2）2+（x﹣2）+2＝（x﹣2）2+x，C符合题意；当伴随值为﹣2时，伴随二次函数为：y＝（x+2）2+（x+2）+2＝（x+2）2+x+4，D不符合题意；故选：C．（2）①设伴随值为t，则y2∴2（t+1）＝6，解得t＝2．故答案为：2；②列表：x⋯02346⋯y2⋯5﹣3﹣4﹣35⋯依次描出点（0，5）、（2，﹣3）、（3，﹣4）、（6，5）、（4，﹣3），画图如下：，③令y1=x令y2=x由图可知，只能是m＝﹣1或m+2＝5，∴m＝﹣1或3．当m＝﹣1时，﹣1≤x≤1，此时y2＞y1且y1随x的增大而减小，∴当x＝1时，y1有最小值，为12﹣2×1﹣3＝﹣4，∴此时W的最低点的坐标为（1，﹣4）．当m＝3时，3≤x≤5，此时y1＞y2且y2随x的增大而增大，∴当x＝3时，y2有最小值，为32﹣6×3+5＝﹣4，∴此时W的最低点的坐标为（3，﹣4）．综上，W的最低点的坐标为（1，﹣4）或（3，﹣4）．22将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列选项正确的是（）A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+4 C．y＝（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x﹣1）2+4【答案】B【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝﹣（x+1）2+4．故选：B．23．将二次函数y＝x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是（）A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x+1）（x+3） C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣1【答案】D【解答】解：y＝x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1＝（x+2）2﹣1，故选：D．24．函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣4） B．（1，4） C．（1，﹣4） D．（﹣1，4）【答案】B【解答】解：函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象的顶点坐标是（1，4），故选：B．25．如果抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1【答案】C【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点，∴抛物线开口向上，∴a﹣1＞0，∴a＞1，故选：C．26．把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，则下列结论