2.2 简单随机事件的概率 2026秋浙教版初中数学九年级上册同步讲义

2.2简单随机事件的概率内容导航内容导航题型1概率的意义题型2概率公式题型3几何概率题型4列表法与树状图法题型5游戏公平性考点演练考点演练题型1概率的意义解｜题｜知｜识（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．（3）概率取值范围：0≤p≤1．（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．【典例1】若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（）A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小【变式1】下列说法正确的是（）A．“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件 B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次 C．投掷一枚硬币正面朝上是随机事件 D．明天太阳从东方升起是随机事件【变式2】下列说法正确的是（）A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨 B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯 C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖 D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上【变式3】某校学生小明每天上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为1A．13 B．23 C．49题型2概率公式解｜题｜知｜识（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数（2）P（必然事件）＝1．（3）P（不可能事件）＝0．【典例1】一个仅装有球的不透明布袋里只有3个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为35，则n＝【变式1】口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球：（1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求x和y的值．（2）在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是78【变式2】一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？（2）小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为14，求n【变式3】如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．（1）从A、D、E、F四点中任意取一点，以这点及点B、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率；（2）从A、D、E、F四点中任意取两点，以这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．题型3几何概率解｜题｜知｜识所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即P＝g的测度G的测度简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．【典例1】如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为150°，90°，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（）A．16 B．14 C．13【变式1】如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（）A．18 B．14 C．38【变式2】一枚飞镖任意掷到如图所示的3×4长方形网格纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（）A．13 B．12 C．23【变式3】一个游戏转盘如图所示，甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角度数分别为90°，30°，100°，140°．转动转盘，当其停止转动后，指针落在哪个区域的可能性最大（）A．甲扇形 B．乙扇形 C．丙扇形 D．丁扇形题型4列表法与树状图法解｜题｜知｜识（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．【典例1】中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》（A）、《算学启蒙》（B）、《测圆海镜》（C）和《四元玉鉴》（D）是我国古代数学的重要文献．（1）从这四本书中随机抽取一本，抽到《四元玉鉴》的概率为；（2）某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，请用画树状图法或列表法，求恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率．【变式1】我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：（1）本次被调查的学生有名；补全条形统计图；（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．【变式2】为了深入了解学生日常通勤习惯及其对校园周边交通环境的影响，九江市某中学数学兴趣小组于近期开展了专项调查，通过对在校学生放学出行方式进行抽样研究，旨在收集第一手数据，为优化校内外交通安排及安全教育提供科学依据．小组成员随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A：骑电动车；B：乘坐公交车；C：骑自行车；D：乘坐家庭汽车；E：步行”，这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后，绘制成两幅不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．（1）本次专项调查中一共调查了名学生，请补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，A种方式对应的扇形圆心角的度数是；（3）若甲、乙两名学生放学时从A，B，C三种方式中随机选择一种回家，请用列表法成画树状图法，求甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率．【变式3】甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为．（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．题型5游戏公平性解｜题｜知｜识（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．（2）概率=所求情况数【典例1】用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（）种．A．1 B．2 C．3 D．4【变式1】A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个△ABC，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三个内角角平分线的交点 D．三边高的交点【变式2】有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上2、3、18，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张．（1）直接写出小丽取出的卡片恰好是3的概率；（2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．【变式3】为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种生活现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B、C三张卡片，乙口袋中装有D、E两张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、D）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、C、E）．课堂上，同学们通过抽卡片来分享对应的科学知识．（1）小南从甲口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是物理变化的概率是．（2）游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小南分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小安分享．这个规则对小南和小安公平吗？请用画树状图或列表法说明理由．过关验收过关验收某品牌吹风机抽样检查的合格率为99%，则下列说法中正确的是（）A．购买100个该品牌的吹风机，一定有99个合格 B．购买1000个该品牌的吹风机，一定有10个不合格 C．购买10个该品牌的吹风机，一定都合格 D．即使购买1个该品牌的吹风机，也可能不合格2．抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面朝上的概率（）A．大于12 B．等于12 C．小于13．已知事件A发生的概率为110，大量重复做这种试验，事件A平均每1000次发生的次数约为4．小海做抛硬币实验，连续9次都得到正面朝上，第10次得到正面朝上的概率是．5．在一个不透明的口袋中装有3个白球和4个黄球这些球除颜色不同外其他完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率为（）A．34 B．43 C．376．某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（）A．12 B．13 C．147．在一个不透明的袋子里装有红球2个、黄球5个、黑球3个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个小球，是红球的概率是（）A．12 B．310 C．18．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中6次正面朝上，4次正面朝下，则再次抛掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（）A．1 B．25 C．35 9．一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（）A．710 B．15 C．11010．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（）A．27 B．57 C．2511．若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图，是甲、乙同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是（）A．14 B．13 C．112．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为35，则红球的个数为13．一个布袋里放着红球、黄球和白球的个数之比是4：n：5，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是411，则n为14．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小兰购买了六张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”“雨水”和“惊蛰”各两张，每张邮票除内容外都相同．将它们背面朝上放置，从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是．15．一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么小鸟停在黑色方格中的概率是（）A．12 B．13 C．1416．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（）A．34 B．23 C．1217．如图，小亮同学用正方形做了如图所示的七巧板，他用激光笔指着七巧板讲解每个图形性质的时候，激光笔射出的小红点落到七巧板上的任意位置，则它落在阴影部分区域的概率为．如图，在一块边长为30cm的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10cm的圆形阴影区域，飞镖投向正方形游戏板的任何位置的机会均等，则飞镖落在阴影区域内的概率为（结果保留π）．19．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是．20．七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”．它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．某同学利用七巧板拼成的正方形（如图）做“滚小球游戏”，小球（看作一点）可以在拼成的正方形上自由滚动，并随机停留在某块板上，那么小球最终停留在图中阴影区域上的概率是．21．2025年，人工智能领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力．小全和小华准备在比较热门的DeepSeeK，豆包，Kimi三个软件中随机选择一个下载，他们恰好都选到豆包的概率为（）A．16 B．12 C．1322．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚正面向上，另一枚反面向上的概率是（）A．14 B．13 C．1223．在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（）A．12 B．13 C．2324．某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（）A．14 B．13 C．1225．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（）A．14 B．13 C．1226．如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（）A．13 B．16 C．1927．将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（）A．18 B．16 C．1428．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为．29．一个袋中有形状材料均相同的白球2个红球4个，任意摸一个球是红球的概率．30．在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为10g，20g，30g，40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为．31．现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是．32．某初中举行硬笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合图中相关信息解答下列问题：（1）本次共调查了名同学；请将条形统计图补全；（2）扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是度；（3）获得一等奖的同学中有14来自七年级，有133．“九三阅兵”后，某班图书角准备添置一些关于国防类的图书，小贤家与小艺家都有“战斗机”“坦克”“导弹”三个系列的相关图书，需要他们各自从家中带一本相关图书放置在班级图书角，学期结束后再带回家．为确定他们各自所带图书，小艺制作了背面完全相同，正面写着“战斗机”“坦克”和“导弹”的三张卡片．（1）若小贤随机抽取一张卡片，恰好正面是“潜艇”的事件是．A．必然事件B．随机事件C．不可能事件（2）若小贤随机抽取一张卡片，记下正面内容，放回并洗匀，小艺再从中随机抽取一张，求两人恰好抽中同一系列的相关图书的概率．34．聪聪的爸爸只有一张《志愿军：浴血和平》的电影票，他和弟弟两人都很想去观看．聪聪想了一个办法：拿7张扑克牌，将数字为2，3，5的三张牌给自己，将数字为4，6，7，10的扑克牌给弟弟，并按如下规则进行游戏：聪聪和弟弟从各自的扑克牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为奇数，则聪聪去；如果和为偶数，则弟弟去．（1）请用画树状图或列表的方法求聪聪去看电影的概率；（2）聪聪设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平．35．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜．（1）小明赢的事件是．（选填：必然，随机或不可能．）（2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由．答案解析题型1概率的意义【典例1】若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（）A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小【答案】A【解答】解：明天下雨的概率是85%，说明明天下雨的可能性比较大，但也可能下雨，也可能不下雨，因此选项A符合题意，故选：A．【变式1】下列说法正确的是（）A．“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件 B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次 C．投掷一枚硬币正面朝上是随机事件 D．明天太阳从东方升起是随机事件【答案】C【解答】解：A、“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是随机事件，故原题说法错误；B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次，说法错误；C、投掷一枚硬币正面朝上是随机事件，说法正确；D、明天太阳从东方升起是随机事件，说法错误；故选：C．【变式2】下列说法正确的是（）A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨 B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯 C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖 D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上【答案】B【解答】解：A．明天下雨的概率为80%，只是说明明天下雨的可能性大，与时间无关，故本选项不符合题意；B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，故本选项符合题意；C．某彩票中奖概率是1%，买100张这种彩票中奖是随机事件，不一定会有1张中奖，故本选项不符合题意；D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩不一定在90分以上，故本选项不符合题意．故选：B．【变式3】某校学生小明每天上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为1A．13 B．23 C．49【答案】D【解答】解：∵经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯，∴在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，∵在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为1∴遇到绿灯的概率为1−1故选：D．题型2概率公式【典例1】一个仅装有球的不透明布袋里只有3个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为35，则n＝【答案】2．【解答】解：∵一个仅装有球的不透明布袋里只有3个红球和n个白球（仅有颜色不同），从中任意摸出一个球是红球的概率为35∴33+n解得n＝2，故答案为：2．【变式1】口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球：（1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求x和y的值．（2）在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是78【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵摸到红球与摸到白球的可能性相等，且x+y＝8，∴x＝y＝4；（2）设取走x个白球，放入x个红球，则口袋中现在有白球（4﹣x）个，红球（4+x）个，根据题意得，4+x8解得x＝3，答：取走3个白球．【变式2】一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？（2）小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为14，求n【答案】（1）23（2）n的值为5．【解答】解：（1）因为箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，所以从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是23（2）由题意得：2n+3解得：n＝5，经检验，n＝5是原方程的解，∴n的值为5．【变式3】如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．（1）从A、D、E、F四点中任意取一点，以这点及点B、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率；（2）从A、D、E、F四点中任意取两点，以这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，故P（所画三角形是等腰三角形）=1（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，∴所画的四边形是平行四边形的概率P=4题型3几何概率【典例1】如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为150°，90°，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（）A．16 B．14 C．13【答案】C【解答】解：黄色部分所在的圆心角的度数为360°﹣150°﹣90°＝1200°，因此黄色部分所占整体的120360=1故选：C．【变式1】如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（）A．18 B．14 C．38【答案】C【解答】解：由图可知，太阳能电池板的总面积为4×4＝16，其中光伏吸收区的面积=1∴小球最终停留在光伏吸收区的概率是616故选：C．【变式2】一枚飞镖任意掷到如图所示的3×4长方形网格纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（）A．13 B．12 C．23【答案】A【解答】解：∵阴影区域的面积为12×4×1∴飞镖落在阴影区域的概率是412故选：A．【变式3】一个游戏转盘如图所示，甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角度数分别为90°，30°，100°，140°．转动转盘，当其停止转动后，指针落在哪个区域的可能性最大（）A．甲扇形 B．乙扇形 C．丙扇形 D．丁扇形【答案】D【解答】解：因为丁的圆心角度数最大，所以指针落在丁扇形区域的可能性最大．故选：D．题型4列表法与树状图法【典例1】中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》（A）、《算学启蒙》（B）、《测圆海镜》（C）和《四元玉鉴》（D）是我国古代数学的重要文献．（1）从这四本书中随机抽取一本，抽到《四元玉鉴》的概率为；（2）某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，请用画树状图法或列表法，求恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率．【答案】（1）14（2）16【解答】解：（1）抽到《四元玉鉴》的概率为14故答案为：14（2）画树状图如下：由上可得，一共有12种等可能性，其中恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的情况有2种，∴恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率为212【变式1】我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：（1）本次被调查的学生有名；补全条形统计图；（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）本次被调查的学生人数为30÷30%＝100（名）．故答案为：100．选择“足球”的人数为35%×100＝35（名）．补全条形统计图如下：（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为5100故答案为：18°．（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，∴甲和乙同学同时被选中的概率为212【变式2】为了深入了解学生日常通勤习惯及其对校园周边交通环境的影响，九江市某中学数学兴趣小组于近期开展了专项调查，通过对在校学生放学出行方式进行抽样研究，旨在收集第一手数据，为优化校内外交通安排及安全教育提供科学依据．小组成员随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A：骑电动车；B：乘坐公交车；C：骑自行车；D：乘坐家庭汽车；E：步行”，这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后，绘制成两幅不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．（1）本次专项调查中一共调查了名学生，请补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，A种方式对应的扇形圆心角的度数是；（3）若甲、乙两名学生放学时从A，B，C三种方式中随机选择一种回家，请用列表法成画树状图法，求甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率．【答案】（1）200；补全条形统计图如图即为所求；（2）36°；（3）甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率为13【解答】解：（1）本次专项调查中一共调查的学生数为：60÷30%＝200（名），则C组的人数为200﹣20﹣60﹣30﹣40＝50（名），补全条形统计图如图即为所求；故答案为：200；（2）A种方式对应的扇形圆心角的度数为：360°×20故答案为：36°；（3）甲、乙两名学生放学时从A，B，C三种方式中随机选择一种回家，作树状图如下：共有9个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有3个，∴甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率为39【变式3】甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为．（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）共有文、明、自、由四张卡片，∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为14故答案为：14（2）画树状图如解图，由树状图知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为212题型5游戏公平性【典例1】用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（）种．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：第一个图片：箱子里有4个黑球，4个白球，任意摸出一个球，摸到黑球和白球的可能性相同，所以公平；第二个图片：转盘中乙队的区域比甲队的区域大，则转到乙队的可能性大，乙队获胜的可能性比甲队大，所以不公平；第三个图片：硬币只有正、反两面，抛一次硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以公平；第四个图片：1～6中，奇数有1、3、5，有3个；偶数有2、4、6，有3个；奇数与偶数的个数相等，则掷出奇数、偶数的可能性相同，所以公平；故选：C．【变式1】A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个△ABC，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三个内角角平分线的交点 D．三边高的交点【答案】A【解答】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边垂直平分线的交点上．故选：A．【变式2】有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上2、3、18，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张．（1）直接写出小丽取出的卡片恰好是3的概率；（2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵有三张背面完全相同的卡片，小丽取出的卡片恰好是3的有1种情况，∴小丽取出的卡片恰好是3的概率为：13（2）∵18=32画树状图得：∴一共有6种等可能的结果，两人抽取卡片上的数字之积是有理数的有2种，∴P（小丽胜）=13，P（小明胜）这个游戏规则不公平，对小明有利．【变式3】为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种生活现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B、C三张卡片，乙口袋中装有D、E两张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、D）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、C、E）．课堂上，同学们通过抽卡片来分享对应的科学知识．（1）小南从甲口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是物理变化的概率是．（2）游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小南分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小安分享．这个规则对小南和小安公平吗？请用画树状图或列表法说明理由．【答案】（1）13（2）这个规则对小南和小安不公平，理由见解析．【解答】解：（1）∵甲口袋中装有A、B、C三张卡片，其中物理变化的有1种，即A，∴小南从甲口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是物理变化的概率是13故答案为：13（2）这个规则对小南和小安不公平，理由如下：列表如下：DEA（A，D）（A，E）B（B，D）（B，E）C（C，D）（C，E）共有6种等可能的结果，其中抽取的两张卡片都是化学变化的结果有2种，即BE、CE；抽取的两张卡片都是物理变化的结果有1种，即AD，∴由小南分享的概率=26=∵13∴由小南分享的概率≠由小安分享的概率，∴这个规则对小南和小安不公平．过关验收过关验收某品牌吹风机抽样检查的合格率为99%，则下列说法中正确的是（）A．购买100个该品牌的吹风机，一定有99个合格 B．购买1000个该品牌的吹风机，一定有10个不合格 C．购买10个该品牌的吹风机，一定都合格 D．即使购买1个该品牌的吹风机，也可能不合格【答案】D【解答】解：A、B、C说法都非常绝对，故A、B、C错误，不符合题意；D、即使购买一个该品牌的吹风机，也可能不合格，故D正确，符合题意．故选：D．2．抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面朝上的概率（）A．大于12 B．等于12 C．小于1【答案】B【解答】解：∵硬币由正面朝上和朝下两种情况，并且是等可能，∴第3次正面朝上的概率是12故选：B．3．已知事件A发生的概率为110，大量重复做这种试验，事件A平均每1000次发生的次数约为【答案】100．【解答】解：1000×1故答案为：100．4．小海做抛硬币实验，连续9次都得到正面朝上，第10次得到正面朝上的概率是．【答案】12【解答】解：小海做抛硬币实验，连续9次都得到正面朝上，第10次得到正面朝上的概率是12故答案为：125．在一个不透明的口袋中装有3个白球和4个黄球这些球除颜色不同外其他完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率为（）A．34 B．43 C．37【答案】C【解答】解：∵一个不透明的袋子中有3个白球、4个黄球，∴球的总数＝3+4＝7，∴从袋子中随机摸出一个球，则它是白球的概率为37故选：C．6．某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（）A．12 B．13 C．14【答案】C【解答】解：∵某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，∴小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为14故选：C．7．在一个不透明的袋子里装有红球2个、黄球5个、黑球3个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个小球，是红球的概率是（）A．12 B．310 C．1【答案】C【解答】解：由题意知，共有10种等可能的结果，其中是红球的结果有2种，∴是红球的概率是210故选：C．8．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中6次正面朝上，4次正面朝下，则再次抛掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（）A．1 B．25 C．35 【答案】D【解答】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中6次正面朝上，4次正面朝下，∴正面朝下的概率的概率是：12故选：D．9．一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（）A．710 B．15 C．110【答案】B【解答】解：∵一个不透明的箱子里有有7个白球，2个红球，1个黑球，∴从箱子中随机摸出一个球是红球的概率是：27+2+1故选：B．10．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（）A．27 B．57 C．25【答案】A【解答】解：∵一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是：0.06×0.250.0525故选：A．11．若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图，是甲、乙同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是（）A．14 B．13 C．1【答案】C【解答】解：共4张牌，其中能与手中牌组成一对的有5，8，共2种情况，∴P=2故选：C．12．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为35，则红球的个数为【答案】2【解答】解：设红球的个数为x个，由题意得：3x+3解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，即红球的个数为2个，故答案为：2．13．一个布袋里放着红球、黄球和白球的个数之比是4：n：5，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是411，则n为【答案】2．【解答】解：设红球、黄球、白球的数量分别为4k、nk、5k，由题意得4解得：9+n＝11，即n＝2．故答案为：2．14．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小兰购买了六张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”“雨水”和“惊蛰”各两张，每张邮票除内容外都相同．将它们背面朝上放置，从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是．【答案】13【解答】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到“立春”结果有2种，∴从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是26故答案为：1315．一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么小鸟停在黑色方格中的概率是（）A．12 B．13 C．14【答案】B【解答】解：图上共有15个方格，黑色方格为5个，小鸟最终停在黑色方格上的概率是515，即1故选：B．16．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（）A．34 B．23 C．12【答案】C【解答】解：如图：设AB＝2a，则圆的直径为2a，则小正方形的边长为：2a则飞镖落在阴影区域的概率为：(2故选：C．17．如图，小亮同学用正方形做了如图所示的七巧板，他用激光笔指着七巧板讲解每个图形性质的时候，激光笔射出的小红点落到七巧板上的任意位置，则它落在阴影部分区域的概率为．【答案】18【解答】解：由七巧板的特征可知，阴影部分的面积是七巧板面积的18故它落在阴影部分区域的概是18故答案为：18如图，在一块边长为30cm的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10cm的圆形阴影区域，飞镖投向正方形游戏板的任何位置的机会均等，则飞镖落在阴影区域内的概率为（结果保留π）．【答案】π9【解答】解：P（飞镖落在阴影区域内）=1故答案为：π919．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是．【答案】1【解答】解：因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积占了其中的四等份，所以P（飞镖落在黑色区域）=4故答案为：1220．七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”．它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．某同学利用七巧板拼成的正方形（如图）做“滚小球游戏”，小球（看作一点）可以在拼成的正方形上自由滚动，并随机停留在某块板上，那么小球最终停留在图中阴影区域上的概率是．【答案】18【解答】解：如图，设大正方形的边长为2，则阴影区域的面积为12×1×1=1故答案为：1821．2025年，人工智能领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力．小全和小华准备在比较热门的DeepSeeK，豆包，Kimi三个软件中随机选择一个下载，他们恰好都选到豆包的概率为（）A．16 B．12 C．13【答案】D【解答】解：设DeepSeek，豆包，Kimi分别为A、B、C，列表如下：ABCA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）∴共有9种可能结果，其中他们恰好都选到豆包的结果有1种，∴他们恰好都选到豆包的概率为=1故选：D．22．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚正面向上，另一枚反面向上的概率是（）A．14 B．13 C．12【答案】C【解答】解：列表如下：正反正（正，正）（正，反）反（反，正）（反，反）共有4种等可能的结果，其中一枚正面向上，另一枚反面向上的结果有：（正，反），（反，正），共2种，∴一枚正面向上，另一枚反面向上的概率为24故选：C．23．在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（）A．12 B．13 C．23【答案】B【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，∴能让灯泡L1发光的概率为26故选：B．24．某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（）A．14 B．13 C．12【答案】A【解答】解：画树状图为：由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种，∴416故选：A．25．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（）A．14 B．13 C．12【答案】C【解答】解：从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，列表如下：红黄红（红，红）（红，黄）黄（黄，红）（黄，黄）共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种，∴两次摸出的都是红球的概率为24故选：C．26．如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（）A．13 B．16 C．19【答案】A【解答】解：设A，D为同一根绳子，B，E为同一根绳子，C，F为同一根绳子，列表如下：DEFA（A，D）（A，E）（A，F）B（B，D）（B，E）（B，F）C（C，D）（C，E）（C，F）共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果有：（A，D），（B，E），（C，F），共3种，∴两人恰好选中同一根绳子的概率为39故选：A．27．将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（）A．18 B．16 C．14【答案】B【解答】解：设“金”、“明”、“中”、“学”分别用A、B、C、D表示．根据题意，列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表可知，能组成“金明”（即A和B）的结果有2种：（A，B）和（B，A）．∴P（组成“金明”）=2故选：B．28．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为．【答案】13【解答】解：列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的有：（A，B），（B，A），（C，D），（D，C），共4种，∴小灯泡发光的概率是412故答案为：1329．一个袋中有形状材料均相同的白球2个红球4个，任意摸一个球是红球的概率．【答案】2【解答】解：∵袋中有形状材料均相同的白球2个红球4个，共6个球，∴任意摸一个球是红球的概率46故答案为：2330．在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为10g，20g，30g，40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为．【答案】1【解答】解：由题意可知，20g+50g＝70g，10g+40g＝20g+30g＝50g，把质量为10g，20g，30g，40g的四件物品分别记为1、2、3、4，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中天平恢复平衡的结果有4种，∴天平恢复平衡的概率为412故答案为：1331．现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出