3.7 弧长及扇形的面积 2026秋浙教版初中数学九年级上册同步讲义

3.7弧长及扇形的面积内容导航内容导航题型1弧长的计算题型2扇形面积的计算考点演练考点演练题型1弧长的计算解｜题｜知｜识（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．【典例1】如图，将△OAB绕着点O顺时针旋转60°后得到△OA′B′，若OB＝5，则BB'的长度为（）A．10π3 B．5π3 C．25π6【变式1】如图，将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A′O′B′处，则顶点O经过的路线总长为（）A．2π B．5π3 C．4π3 【变式2】如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝1，则弧CF的长为（）A．3π6 B．3π4 C．【变式3】西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线AB的半径为90cm，圆心角∠AOB＝100°，则AB的长度为（）A．25πcm B．50πcm C．90πcm D．100πcm题型2扇形面积的计算解｜题｜知｜识（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2或S扇形=12（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．【典例1】如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．（1）求证：∠D＝∠ABC；（2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC，AC分别相交于点D，E．（1）求证：BD＝CD；（2）若⊙O半径为5，∠CDE＝50°，求扇形ODB的面积．【变式2】将两张半径均为10的半圆形的纸片完全重合叠放一起，上面这张纸片绕着直径的一端B顺时针旋转30°后得到如图所示的图形，A'B与直径AB交于点C，连接点C与圆心O′．（1）求BC的长；（2）求图中下面这张半圆形纸片未被上面这张纸片重叠部分的面积S白．【变式3】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD=43，AE过关验收过关验收1．如图，若半径为3cm的定滑轮边缘上一点A绕中心O逆时针转动160°（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（）A．5πcm B．83πcm C．1032．已知圆心角为120°的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（）A．2π B．4π C．12π D．24π3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径．若⊙O的半径为6，∠ADC﹣∠ABC＝40°，则CE的长度为（）A．2π3 B．4π3 C．7π34．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，若∠B＝60°，则AC的长为（）A．6π B．4π C．2π D．π5．如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰为BC边的中点，若AB＝1，则CE的长为（）A．π3 B．π6 C．3π6．物理实验课上，同学们分组探究“定滑轮可以改变力的方向，但不能省力”的课题时，爱动脑筋的欣欣发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变（如图）．已知滑轮的半径为20cm，当滑轮上点A转过的度数为45°时，重物上升了（）A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm7．如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线m同侧的点C、D，∠ADB＝36°，AB＝10，则CD的长等于（）A．20π B．74π C．728．如图，半径为6的圆O经过直角三角板的A，C两点，且与斜边AB交于点D，其中∠A＝30°，则CD的长为（）A．2π B．6π C．π D．3π9．已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则扇形的弧长为（）A．23 B．23π C．43 10．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，以AB，AD为直径作两个半圆，分别取弧AB，弧AD的中点M，N，连结MC，NC．则阴影部分的周长为（）A．2π+210 B．2π+410 C．2π+2511．一个长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板点A位置的变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°的角，则点A滚到A2位置时共走过的路径长为（）A．72πcm B．236πcm C．12．如图，已知A，B，C为⊙O上的三点，且AC＝BC＝2，∠ACB＝120°．点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接CP与弦AB相交于点D，当△ACD为直角三角形时，弧AP的长为（）A．2π B．12π C．43π或1213．如图，⊙O的半径是5，∠ACB＝60°，则下列各个量不能根据现有条件求出的是（）A．∠AOB的大小 B．AB的长度 C．AB的长度 D．△ACB的面积14．若圆的半径为4，则120°的圆心角所对的弧长为．15．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB'C′，已知A，B′，C在同一直线上的格点上，则BB'的长为．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA、OC，若⊙O的半径为3，∠B＝120°，则AC的长为．（结果保留π）17．如图，A，B，C是⊙O上的三点，且AB=2BC．过点B作BE⊥OC于点E，延长BO交⊙O于点D，连结（1）若∠ADB＝62°，求∠OBE的度数；（2）求证：AB＝2BE．18．如图，在⊙O中，AB＝AC．（1）求证：OA平分∠BAC．（2）若AB：BC=19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（）A．π4 B．π3 C．2π320．如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝5m，OB＝3m，则阴影部分的面积是（）A．43π B．83π C．421．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，取AD的中点E，连接BE，CE，以BE为半径，B为圆心画弧交BC于G；以CE为半径，C为圆心画弧交BC于点F，则阴影部分面积是（）A．2π﹣4 B．π﹣4 C．π﹣2 D．3π22．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（）A．43π−3 B．23π﹣23 C．83π﹣43 D．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠A＝60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为弧BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为弧BF，则图中阴影部分的面积是（）A．14π+23 B．23π+324．如图，在矩形ABCD中.AD=3，F是AB上一点，AF＝1，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点E，以F为圆心，DF为半径画弧，交CD于点M，AB于点NA．332+π12 B．3325．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到AC＝BD＝18cm，C，D两点之间的距离为6cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积为（）A．96πcm2 B．90πcm2 C．48πcm2 D．45πcm226．日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”，如图所示．通过测量得到晷面内圈的半径OA为24cm．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从OA旋转到OB）划过的图形面积（图中阴影部分）是（）A．16πcm2 B．192πcm2 C．384πcm2 D．400πcm227．一个扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的面积为（）A．6π B．12π C．18π D．36π28．如图，现有一块直径为10cm的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为90°的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（）A．5πcm2 B．15π2cm2 C．25π229．如图，已知扇形OAB，在其内部作一个菱形ODCE，其中点D，E分别在OA，OB上，点C在AB上．若OA＝4，∠AOB＝80°，则图中阴影部分面积的和为（）A．4π9 B．16π9 C．32π930．一个扇形的弧长是10π，面积为60π，则其半径为（）A．6 B．36 C．12 D．14431．如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝26，则阴影部分的面积为（）A．6 B．π+6 C．43π+2332．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC中点．分别以BD、CD为半径作弧，与AC、AB分别交于E、F两点，则图中阴影部分的面积为（）A．48−254π B．24−254π33．如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，连接DA，AC，DE⊥AO于点E．若∠DAC＝22.5°，DE＝1，则阴影部分的面积为（）A．π4−22 B．π2−34．如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C、E、D分别在OA、OB、弧AB上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．则图中阴影部分的面积是．35．如图，在扇形EOF中放置有三个全等的矩形方格，点O为扇形的圆心，格点A、B、C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个矩形方格的长和宽分别为3和1，则阴影部分的面积为．答案解析题型1弧长的计算【典例1】如图，将△OAB绕着点O顺时针旋转60°后得到△OA′B′，若OB＝5，则BB'的长度为（）A．10π3 B．5π3 C．25π6【答案】B【解答】解：由旋转可知，∠BOB′＝60°，又因为OB＝5，所以BB'的长度为60π×5180故选：B．【变式1】如图，将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A′O′B′处，则顶点O经过的路线总长为（）A．2π B．5π3 C．4π3 【答案】C【解答】解：顶点O经过的路线可以分为三段，当弧AB切直线l于点B时，有OB⊥直线l，此时O点绕不动点B转过了90°；第二段：OB⊥直线l到OA⊥直线l，O点绕动点转动，而这一过程中弧AB始终是切于直线l的，所以O与转动点P的连线始终⊥直线l，所以O点在水平运动，此时O点经过的路线长＝BA′＝AB的弧长第三段：OA⊥直线l到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了90°所以，O点经过的路线总长S=12π+13π+故答案为43π故选：C．【变式2】如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝1，则弧CF的长为（）A．3π6 B．3π4 C．【答案】B【解答】解：连接AC、AF，由旋转的性质可知，BC＝EF，AB＝AE，∵DE＝EF，∴DE＝BC＝AD，在Rt△ADE中，DE＝AD，∴∠DAE＝45°，AE=2AD=2∴∠EAB＝90°﹣45°＝45°，即旋转角为45°，∴∠FAC＝45°，在Rt△ABC中，AC=A∴CF的长=45π×3故选：B．【变式3】西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线AB的半径为90cm，圆心角∠AOB＝100°，则AB的长度为（）A．25πcm B．50πcm C．90πcm D．100πcm【答案】B【解答】解：由题知，AB=100⋅π⋅90180=50故选：B．题型2扇形面积的计算【典例1】如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．（1）求证：∠D＝∠ABC；（2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．【答案】（1）证明见解析；（2）934【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∴∠A+∠ABC＝90°∵DO⊥AB，∴∠A+∠D＝90°∴∠D＝∠ABC；（2）解：设∠B＝α，则∠BCO＝α，∵OE＝CE，∴∠EOC＝∠BCO＝α，在△BCO中，α+α+90°+α＝180°，∴α＝30°∴∠A＝60°，∵OA=12∴OC＝OA＝3，OD＝33，OA边上的高为33∴S=12×3×3【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC，AC分别相交于点D，E．（1）求证：BD＝CD；（2）若⊙O半径为5，∠CDE＝50°，求扇形ODB的面积．【答案】（1）见解析；（2）125π36【解答】（1）证明：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∴AD⊥BC．∵AB＝AC．∴BD＝CD；（2）解：∵∠CDE＝50°，∴∠BAC＝50°，∵AD⊥BC．AB＝AC．∴∠BAD＝∠CAD＝25°，∴∠BOD＝2∠BAD＝50°，∵⊙O半径为5，∴S扇形ODB=50π×【变式2】将两张半径均为10的半圆形的纸片完全重合叠放一起，上面这张纸片绕着直径的一端B顺时针旋转30°后得到如图所示的图形，A'B与直径AB交于点C，连接点C与圆心O′．（1）求BC的长；（2）求图中下面这张半圆形纸片未被上面这张纸片重叠部分的面积S白．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）连接BC，作O′D⊥BC于D，由题意得，∠CBA′＝30°，则∠BO′C＝120°，O′D=12O′∴BC的长为：120×π×10180（2）由题O′B＝O′C＝10，∠O′BC＝30°，∴在Rt△O′BD中，O′D=12O′B＝5，BD=1∴BC＝2BD＝103，∴S△O′BC=12×O'D×BC=∴S白=12×π×102﹣（120×π×102360＝50π−1003=503π+25【变式3】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD=43，AE【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D；（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，∴CE=1∵CD=43∴CE=23在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，∴r2解得：r＝4（负数舍去），∴OC＝OA＝4，∴OE＝4﹣2＝2，∴tan∠COE=CE∴∠AOC＝60°，∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△COE=60π×42360过关验收过关验收1．如图，若半径为3cm的定滑轮边缘上一点A绕中心O逆时针转动160°（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（）A．5πcm B．83πcm C．103【答案】B【解答】解：160×π×3180则重物上升的高度为83故选：B．2．已知圆心角为120°的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（）A．2π B．4π C．12π D．24π【答案】B【解答】解：由题意得，扇形的弧长=120π×6180=故选：B．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径．若⊙O的半径为6，∠ADC﹣∠ABC＝40°，则CE的长度为（）A．2π3 B．4π3 C．7π3【答案】B【解答】解：如图，连接OC．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ADC﹣∠ABC＝40°，∴∠ADC＝110°，∠ABC＝70°．∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，∴∠COE＝180°﹣∠AOC＝40°，∵⊙O的半径为6，∴CE的长度为40π×6180故选：B．4．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，若∠B＝60°，则AC的长为（）A．6π B．4π C．2π D．π【答案】C【解答】解：连接OC，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°，∵直径AB＝6，∴r＝3，∴AC=故选：C．5．如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰为BC边的中点，若AB＝1，则CE的长为（）A．π3 B．π6 C．3π【答案】C【解答】解：根据旋转的性质，得AD＝AB＝1，∵点D是BC的中点，∴BC＝2AD＝2，在Rt△ABC中利用勾股定理，得AC=B∵tan∠ABC=AC∴∠ABC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∵∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BAD＝60°，∴CE=60360×故选：C．6．物理实验课上，同学们分组探究“定滑轮可以改变力的方向，但不能省力”的课题时，爱动脑筋的欣欣发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变（如图）．已知滑轮的半径为20cm，当滑轮上点A转过的度数为45°时，重物上升了（）A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm【答案】D【解答】解：由题知，因为滑轮的半径为20cm，则当滑轮上点A转过的度数为45°时，重物上升的高度为：45⋅π⋅20180=5π（故选：D．7．如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线m同侧的点C、D，∠ADB＝36°，AB＝10，则CD的长等于（）A．20π B．74π C．72【答案】D【解答】解：如图，连接AC，∵AB＝10，∠ADB＝36°，∴AD＝AB＝AC＝10，∴∠ABD＝∠ADB＝36°，∵l1∥l2，∴∠CBD＝∠ADB＝36°，∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝72°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∵l1∥l2，∴∠DAC＝∠ACB＝72°，∴CD=故选：D．8．如图，半径为6的圆O经过直角三角板的A，C两点，且与斜边AB交于点D，其中∠A＝30°，则CD的长为（）A．2π B．6π C．π D．3π【答案】A【解答】解：如图，∵∠A＝30°，∴∠O＝2∠A＝60°，∴CD的长为60π×6180=2故选：A．9．已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则扇形的弧长为（）A．23 B．23π C．43 【答案】D【解答】解：l=nπr180故选：D．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，以AB，AD为直径作两个半圆，分别取弧AB，弧AD的中点M，N，连结MC，NC．则阴影部分的周长为（）A．2π+210 B．2π+410 C．2π+25【答案】B【解答】解：取AD的中点O，连接NO，设CN交AD于点E，∵N是弧AD的中点，∴NO⊥AD，∵CD⊥AD，∴NO∥CD，∴△NOE∽△CDE，∴NECE∴OE=1∵NE=O∴CM=CN=3NE=210∵点M，N分别为弧AB，弧AD的中点，∴弧AB，弧AD的长度和为：2×180π×2360=∴图中阴影部分的周长为(410故选：B．11．一个长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板点A位置的变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°的角，则点A滚到A2位置时共走过的路径长为（）A．72πcm B．236πcm C．【答案】B【解答】解：∵长方形长为4cm，宽为3cm，∴AB＝5cm，第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，此次点A走过的路径是90π×5180=52第二次是以C为旋转中心，4cm为半径旋转60°，此次走过的路径是60π×4180=43∴点A两次共走过的路径是52π+43故选：B．12．如图，已知A，B，C为⊙O上的三点，且AC＝BC＝2，∠ACB＝120°．点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接CP与弦AB相交于点D，当△ACD为直角三角形时，弧AP的长为（）A．2π B．12π C．43π或12【答案】D【解答】解：当∠ADC＝90°，连接OA，OD，如图所示，∵∠ACB＝120°，AC＝BC＝2，∴∠ACD=12∠ACB=60°，点D∴OD⊥AB，∴点C，D，O共线．∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，AO＝AC＝2，∴∠AOP＝120°，∴弧AP的长=120π×2当∠ACD＝90°时，则∠ACP＝90°，∴AP为直径，∴弧AP的长=180π×2所以弧AP的长为4π3或2π故选：D．13．如图，⊙O的半径是5，∠ACB＝60°，则下列各个量不能根据现有条件求出的是（）A．∠AOB的大小 B．AB的长度 C．AB的长度 D．△ACB的面积【答案】D【解答】解：∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，作OD⊥AB于点D，则OD=12OA∴AD=5∴AB＝2AD＝53，AB的长=120π×5△ACB的面积是不能求出的．故选：D．14．若圆的半径为4，则120°的圆心角所对的弧长为．【答案】83【解答】解：由题知，因为圆的半径为4，圆心角为120°，所以弧长为：120⋅π⋅4180故答案为：8315．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB'C′，已知A，B′，C在同一直线上的格点上，则BB'的长为．【答案】32【解答】解：由题意可知：∠BAB′＝45°，AB′=32+则BB'的长为：45π×32故答案为：3216．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA、OC，若⊙O的半径为3，∠B＝120°，则AC的长为．（结果保留π）【答案】2π．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，∵AC=∴∠AOC＝2∠D＝2×60°＝120°，∵⊙O的半径为3，∴AC的长=120π×3故答案为：2π．17．如图，A，B，C是⊙O上的三点，且AB=2BC．过点B作BE⊥OC于点E，延长BO交⊙O于点D，连结（1）若∠ADB＝62°，求∠OBE的度数；（2）求证：AB＝2BE．【答案】（1）28°；（2）证明：由（1）知∠BOC＝∠ADB，∵直径BD，BE⊥OC，∴∠DAB＝∠OEB＝90°．∴△ADB∽△EOB，∴ABBE∴AB＝2BE．【解答】解：（1）连接OA，由条件可知∠AOB＝2∠BOC＝2∠ADB，即：∠BOC＝∠ADB＝62°．∵BE⊥OC，∴∠OBE＝90°﹣∠BOC＝90°﹣62°＝28°．（2）由（1）知∠BOC＝∠ADB，∵直径BD，BE⊥OC，∴∠DAB＝∠OEB＝90°．∴△ADB∽△EOB，∴ABBE∴AB＝2BE．18．如图，在⊙O中，AB＝AC．（1）求证：OA平分∠BAC．（2）若AB：BC=【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：延长半径AO交⊙O于D，∴ABD∵AB＝AC，∴AB=∴BD=∴∠BAD＝∠CAD，∴OA平分∠BAC；（2）解：∵AB：BC∴BC∴∠BAC＝45°；19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（）A．π4 B．π3 C．2π3【答案】A【解答】解：连接OE，OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∵AB＝AC，∴BE＝CE，即点E是BC的中点，∵点O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AB，∴S△AOD＝S△AED，∴S阴影＝S扇形OAD，∵∠AEC＝90°，∴∠AEB＝90°，∵∠BED＝45°，∴∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°，∴S扇形OAD∴S阴影故选：A．20．如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝5m，OB＝3m，则阴影部分的面积是（）A．43π B．83π C．4【答案】D【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC=120π⋅O=120π(O=π(=16π3（m故选：D．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，取AD的中点E，连接BE，CE，以BE为半径，B为圆心画弧交BC于G；以CE为半径，C为圆心画弧交BC于点F，则阴影部分面积是（）A．2π﹣4 B．π﹣4 C．π﹣2 D．3π【答案】A【解答】解：由条件可知ED＝AE＝2，AD∥BC，∠BAE＝90°，∴AB＝AE＝2，∠GBE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴∠GBE＝∠AEB＝45°，∴BE=A∴图中阴影部分的面积=2S故选：A．22．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（）A．43π−3 B．23π﹣23 C．83π﹣43 D．【答案】D【解答】解：连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，Rt△EDC中，∵CE＝CB＝4，CD＝2，∴ED=42−22∴∠ECD＝60°，S阴影=60π×42故选：D．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠A＝60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为弧BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为弧BF，则图中阴影部分的面积是（）A．14π+23 B．23π+3【答案】D【解答】解：由题知，∵AB＝4，∠A＝60°，∴S扇形ABF在Rt△ABC中，sinA=BC∴BC=23同理可得，AC＝2．∴S△ABC∵S扇形BCE∴S阴影＝S扇形CBE﹣（S扇形ABF﹣S△ABC）=3π−(8故选：D．24．如图，在矩形ABCD中.AD=3，F是AB上一点，AF＝1，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点E，以F为圆心，DF为半径画弧，交CD于点M，AB于点NA．332+π12 B．33【答案】B【解答】解：连接FM，过点F作FG⊥CD交CD于点G．∵AD=3，AF∴tan∠AFD=ADAF=3∴∠AFD＝60°，∠ADF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DFN＝180°﹣∠AFD＝180°﹣60°＝120°，∵AD⊥CD，FG⊥CD，∴AD∥FG，∴∠DFG＝∠ADF＝30°，∵DF＝FM，FG⊥CD，∴∠DFM＝2∠DFG＝2×30°＝60°，∴△DFM是等边三角形，∴DM＝DF＝2，∵FG＝DF•cos∠DFG＝2×3∴S弓形DM＝S扇形DFM﹣S△DFM=60360π×DF2−12DM•FG=π6∴S阴影＝S△ADF+S扇形DFN﹣S扇形DAE﹣S弓形DM=12AD•AF+120360π×DF2−90360π=12×3×1+π3×=3=3故选：B．25．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到AC＝BD＝18cm，C，D两点之间的距离为6cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积为（）A．96πcm2 B．90πcm2 C．48πcm2 D．45πcm2【答案】B【解答】解：如图，连接CD，∵OC＝OD，∠O＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴OC＝OD＝CD＝6cm，∵AC＝BD＝18cm，∴OA＝OB＝18+16＝24cm，∴摆盘的面积为60π×242360−60π×6故选：B．26．日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”，如图所示．通过测量得到晷面内圈的半径OA为24cm．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从OA旋转到OB）划过的图形面积（图中阴影部分）是（）A．16πcm2 B．192πcm2 C．384πcm2 D．400πcm2【答案】B【解答】解：由题意可知，一个地支的夹角为360°12从“巳”时开始到“申”时结束走过的图形是扇形，且圆心角为120°，即∠AOB＝120°，∵晷面内圈的半径OA为24cm，∴S扇形∴晷针投影在晷面上划过的图形面积是192πcm2．故选：B．27．一个扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的面积为（）A．6π B．12π C．18π D．36π【答案】A【解答】解：扇形的面积为=60π62故选：A．28．如图，现有一块直径为10cm的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为90°的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（）A．5πcm2 B．15π2cm2 C．25π2【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝90°，直径为10cm，∴BC为⊙O的直径，即BC＝10cm，∵玉佩的形状是扇形，∴AB＝AC，∴AB2+AC2＝2AB