江苏省无锡市江阴市某校2025-2026学年高一（下）学情调研数学试卷（5月份）(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省无锡市江阴市某校高一（下）学情调研数学试卷（5月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若iz=1+i,则复数z=（）A.1-i B.1+i C.-1+i D.-1-i2.某射击运动员的10枪成绩分别为9.9，9.7，9.4，9.0，8.8，9.2，9.3，9.2，9.1，9.4，则这10枪成绩的第一四分位数是（）A.9.0 B.9.1 C.9.2 D.9.43.某工厂生产A，B两种不同型号的产品，产量之比为2：3，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号的产品有40件，则n=（）A.80 B.100 C.120 D.2004.一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是（）A.恰有一次击中 B.三次都没击中 C.三次都击中 D.至多击中一次5.已知||=3，||=5，且+λ与-λ垂直，则λ等于（）A. B.± C.± D.±6.已知四面体ABCD中，点E满足，点F满足，则（）A.EF∥AD B.EF∥CD C.EF⊥平面BCD D.EF∥平面BCD7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=4，，A=45°，则B的大小为（）A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°8.如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，若E、F分别为AB，AC靠近点A的三等分点，平面EB1C1F将三棱柱分成左右两部分体积为V1和V2，那么V1：V2=（）A.7：5

B.14：13

C.5：7

D.13：14

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.如图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（）

A.样本乙的极差一定大于样本甲的极差 B.样本乙的众数一定大于样本甲的众数

C.样本乙的方差一定小于样本甲的方差 D.样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，AB⊥AC，点P，Q，M，N分别是BB1，CC1，AA1，BC的中点，则（）A.P，Q，M，N四点共面

B.线段BC1为直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的直径

C.三棱锥P-A1QN的体积为

D.异面直线MN与AC所成角为

11.已知扇形AOB的半径为1，∠AOB=120°，点C在弧AB上运动，，下列说法正确的有（）A.当C位于A点时，x+y的值最小 B.当C位于B点时，x+y的值最大

C.的取值范围为 D.的取值范围三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.关于x的方程x2+（2a-i）x-ai+1=0有实根，则实数a的值为

．13.如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，徒步攀登，已知∠ABC=120°，∠ADC=150°，BD=1km，AC=3km．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1250米，则两位登山爱好者经过

小时登上山峰（即从B点出发到达C点）．14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是

・

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=AA1=3.

（1）求证：B1D1∥平面BC1D；

（2）求三棱锥C-BDC1的体积.16.(本小题15分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用，，，，，，表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件发生的概率．17.(本小题15分)

联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”，以促进更多的人去阅读，享受阅读的乐趣.为建设读书校园，提升校园的读书氛围，市教育局准备在全市义务教育四年级至九年级学段开展“读书月”活动，活动前，为了解学生的阅读情况，从四年级至九年级在校学生中随机问卷调查了10000人，得到他们在过去一个月中平均每天课外的阅读时间t（单位：分钟），整理得到如右的频率分布直方图，已知这10000人的平均每天课外阅读时间的中位数是31.

（1）求频率分布直方图中m、n的值；

（2）若t0为整数，将本次调查中平均每天课外阅读时间t≥t0的学生选为“读书月”活动的宣传大使，教育局准备至少选出1500名“读书月”宣传大使，求t0的最大值；

（3）为了进一步了解学生的课外阅读习惯受电子产品的影响，由频率分布直方图中平均阅读时间在[20，30）和[30，40）两组学生中，按人数比例分配的分层抽样方法抽取了100名学生，已知[20，30）组的学生平均每天花在电子产品上的时间为30分钟，方差为36，[30，40）组的学生平均每天花在电子产品上的时间为20分钟，方差为16，求抽取的100名学生每天花在电子产品上的时间的方差.18.(本小题17分)

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上的点且AC=CB=3，M在线段PA上且AM=2MP，N是BM的中点.

（1）求证：直线BC⊥平面PAC；

（2）已知∠PCA=45°，求直线BM与平面PAC所成角的正弦值；

（3）线段PC上是否存在点Q，使得NQ∥平面ABC？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由.19.(本小题17分)

斯特瓦尔特（Stewart）定理是由18世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论.根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：

设△ABC中，点D在边BC上，有.

（1）若AB=4，AC=6，BC=6，D为BC中点，求AD；

（2）当AD为角平分线时，利用斯特瓦尔特定理证明：AD2=AB•AC-BD•DC；

（3）在△ABC（AB＜AC）内，AD为∠BAC的角平分线，点E在线段DC上，BD=EC，AE=5，AD=4，求AC-AB的值.

（角平分线定理：在△ABC中，若AD为角A平分线，D在BC上，则有：）

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】BD

10.【答案】BC

11.【答案】ACD

12.【答案】±1

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】证明如下，

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，

那么可得DD1∥BB1且DD1=BB1，

因此四边形DD1B1B是平行四边形．

因此D1B1∥DB

且D1B1⊄平面DBC1，DB⊂平面DBC1，

因此B1D1∥平面BC1D

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16.【答案】解：Ⅰ由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2，

由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，

应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．

Ⅱ从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：

，，，，，，，，

，，，，，，，，

，，，，，共21个．

​​​​​​​设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，

来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，

M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，

则事件M包含的基本事件有：

，，，，，共5个基本事件，

事件M发生的概率．

17.【答案】解：（1）由题意中位数是31，

则0.1+0.17+10×m+0.03=0.5，所以m=0.02，

又0.1+0.17+0.2+0.3+0.1+10n=1∴n=0.013．

（2）通过直方图可知第85百分位数x0落在第[40，50）组，

0.1+0.17+0.2+0.3+（x0-40）×0.013=0.85，

解得t0≈46.15，因为t0∈Z，所以t0=46，

（3）按分层抽样在[20，30）组抽取40人记为x1，x2，⋯，x40，

则，

∴，

在[30，40）组抽取60人，