天津市河西区第二新华中学2025-2026学年高一（下）月考数学试卷（二）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市河西区第二新华中学高一（下）月考数学试卷（二）一、单项选择题：本大题共9小题，共45分。1.用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形，所得直观图的周长为（）A.8 B.6 C. D.42.为激发同学们对无人机飞行的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名学生的成绩依次为：65，70，75，80，85，92，95，97，则这组数据的80%分位数为（）A.92 B.93.5 C.95 D.963.已知α，β，γ是三个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n B.若m⊥α，m⊥n,则n∥α

C.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n4.某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调连，满意度采用计分制，统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中m=2n,则下列结论不正确的是（）A.n=0.015 B.满意度计分的众数约为75分

C.满意度计分的平均分约为80分 D.满意度计分的第一四分位数约为70分5.在正三棱台ABC-A1B1C1中，已知，侧棱AA1的长为2，则此正三棱台的体积为（）A. B. C. D.6.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=3，则四棱锥A1-B1C1CB的体积是（）A.2

B.2

C.

D.4π

7.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（）A.EF∥平面ABC1D1

B.EF⊥B1C

C.EF与ADl所成角为60°

D.EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为8.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（）A. B. C. D.9.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为1点P是棱BC的中点，点M是线段AB上的动点，点R为BM的中点，点Q是棱AB上靠近点B的四等分点，则下列命题：

①CM∥平面PQR；

②三棱锥B-C1AM的体积为定值；

③当M是A1B1的中点时，过点P，A，R的平面截正三棱柱ABC-A1B1C1所得图形的面积为；

④点D是上底面A1B1C1上的一个动点，且直线BD与BB1所成的角为，则点D的轨迹长度为.

其中正确命题的个数为（）

A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别对总体进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取

人.11.已知底面半径为r（r＞0）的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为

.12.正三棱锥P-ABC的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为

.13.已知三棱锥P-ABC，PA=PB=PC=AB=6，BC=8，AC=10，D为线段AB中点，则异面直线PD与BC所成角的正弦值为

.14.如图所示：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1，则平面A1B1C与平面ABC所成的二面角的大小为

．

15.如图1，平行四边形ABCD由六个边长为2的正三角形构成.将它沿虚线折起来，可得如图2所示的六面体.（ⅰ）若将这个六面体放入球中，则该球体积的最小值为

；

（ⅱ）若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为

.

​三、解答题：本题共2小题，共25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求出图中a的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；

（Ⅱ）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；

（Ⅲ）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点.

（1）证明：PB∥平面ACM；

（2）证明：AD⊥平面PAC；

（3）求三棱锥O-PBC的体积.

（4）求直线AM与平面ABCD所成角的余弦值.

（5）求平面MAC与平面ACD所成角的余弦值.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】6

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】解：（Ⅰ）由（0.004+a+0.013+0.014+0.016）×20=1得a=0.003，

则及格率为：（0.016+0.014+0.003）×20=0.66=66%．

（Ⅱ）得分在110以下的学生所占比例为（0.004+0.013+0.016）×20=0.66，

得分在130以下的学生所占比例为0.66+0.014×20=0.94，

所以第80百分位数位于[110，130）内，

由，

估计第80百分位数为120．

（Ⅲ）由图可得，众数估计值为100．

平均数估计值为0.08×60+0.26×80+0.32×100+0.28×120+0.06×140=99.6．

17.【答案】解：（1）证明：连接BD，OM，因为底面ABCD为平行四边形，O为AC中点，

故BD与AC相交于O，

因为M为PD的中点，所以OM∥PB，

因为OM⊂平面ACM，PB⊄平面ACM，所以PB∥平面ACM．

（2）证明：因为∠ADC=45°，AD=AC=1，所以∠DCA=45°，∠DAC=90°，即AD⊥AC，

因为PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，

因为AC，PO⊂平面PAC，且AC∩PO=O，所以AD⊥平面PAC．

（3）由AD⊥AC，AD=AC=1，得，

因为PO⊥平面ABCD，PO=2，

所以．

（4）取OD的中点N，连接MN，AN，则MN∥OP，

因为PO⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，

则∠MAN为直线AM与平面ABCD所成角，

其中PO=2，故，

因为AD⊥AC，，

由勾股定理得，故