天津市南开中学滨海生态城学校2025-2026学年高二（下）第一次限时训练数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市南开中学滨海生态城学校高二（下）第一次限时训练数学试卷一、单项选择题：本大题共12小题，共60分。1.下列求导计算正确的是（）A.（）'= B.[ln（2x+1）]'=

C.（2x+1）'=2x+1 D.（2xsincos）'=cosx2.已知函数f（x）=xe-x，则当x∈[0，2]时，f（x）的最大值为（）A. B. C. D.3.已知定义域为[-3，5]的函数f（x）的导函数为f′（x）且f′（x）的图象如图所示，则下列判断中正确的（）

A.f（x）在（3，5）上单调递增 B.f（x）有极大值f（4）

C.f（x）有3个极值点 D.f（x）在x=1处取得最大值4.已知函数f（x）=ex-（x+1）2（e为自然对数的底数），则f（x）的大致图象是（）A. B.

C. D.5.已知函数f（x）=ex（x-m）2，若x=1为f（x）的极小值点，则实数m的值为（）A.-1 B.1 C.3 D.1或36.已知，，，则a,b,c的大小关系为（）A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.a＞c＞b D.b＞c＞a7.若函数f（x）=lnx-ax2-2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，1） B.（-∞，1] C.（-1，+∞） D.[-1，+∞）8.设函数f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）为其导函数.当x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，f（1）=0，则不等式f（x）＜0的解集为（）A.（-∞，-1）∪（1，+∞） B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（0，1） D.（-1，0）∪（0，1）9.已知函数若关于x的方程f（x）+a-1=0的不同实数根的个数为4，则a的取值范围为（）A. B. C. D.10.若函数f（x）=eax-sinx在内不单调，则实数a的取值范围为（）A.（-1，0） B.（0，1） C. D.11.我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”.已知，则下列给出的函数其图象与y=f（x）的图象“相似”的是（）A.y=x2 B.y=-x2 C.y=x3-3x D.y=-x3+3x12.已知函数，关于x的方程2f2（x）=3a|f（x）|-a2有且仅有4个不同的实根，则实数a的取值范围为（）A.（e2，2e2） B. C.（e,e2） D.二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。13.函数f（x）=xlnx-2x+3的单调递减区间为

.14.函数f（x）=ex（x2-x-1）的极大值点为

.15.已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为

.16.若函数f（x）=ex-lnx-mx在区间（1，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围为

．17.已知，若对任意两个不等的正实数x1,x2都有恒成立，则a的取值范围是

．18.已知k＞0，对任意的，不等式ekx（kx-1）≥exlnx恒成立，则k的取值范围是

.19.已知函数f（x）=x2•e-x，g（x）=-x3+2x2-3x+c,若x＞0，则f（x）的值域为

；若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[1，3]，使f（x1）=g（x2）成立，则c的取值范围是

.20.已知直线y=kx+b是曲线y=ex与曲线y=a+elnx的公切线，则实数a的最大值是

.三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题12分)

已知函数.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值.22.(本小题12分)

已知函数.

（1）讨论f（x）的极值；

（2）求f（x）在[1，e]上的最小值g（a）.23.(本小题12分)

设函数f（x）=2lnx-mx2+1.

（1）当f（x）有极值时，若存在x0，使得f（x0）＞m-1成立，求实数m的取值范围；

（2）当m=1时，若在f（x）定义域内存在两实数x1，x2满足x1＜x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＞2.24.(本小题14分)

已知函数.

（1）当时，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）有两个零点.

（i）求a的取值范围；

（ii）证明：.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】C

12.【答案】A

13.【答案】（0，e）

14.【答案】-2

15.【答案】

16.【答案】（-∞，e-1]

17.【答案】[1，+∞）

18.【答案】[1，+∞）

19.【答案】

20.【答案】e

21.【答案】单调递增区间是：（-∞，-1）和，单调减区间是：

最小值为，最大值为

22.【答案】解：（1）由题意知：f（x）的定义域为；

当a≤0时，x-a＞0，∴f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）无极值；

当a＞0时，若x∈（0，a），f′（x）＜0；若x∈（a,+∞），f′（x）＞0；

∴f（x）在（0，a）上单调递减，在（a,+∞）上单调递增；

∴f（x）的极小值为f（a）=1+lna,无极大值；

综上所述：当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）的极小值为1+lna,无极大值．

（2）当a≤1时，f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，∴f（x）在[1，e]上单调递增，

∴f（x）min=f（1）=a；

当1＜a＜e时，若x∈[1，a），f′（x）＜0；若x∈（a,e]，f′（x）＞0；

∴f（x）在[1，a）上单调递减，在（a,e]上单调递增，

∴f（x）min=f（a）=1+lna；

当a≥e时，f′（x）≤0在[1，e]上单调递减，∴；

综上所述：f（x）在[1，e]上的最小值

23.【答案】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）=-2mx=（-mx2+1），

当m≤0时，f′（x）≥0，即f（x）在（0，+∞）上递增，不合题意，

当m＞0时，令-mx2+1=0，解得：x=，

故x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，

故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，

故f（x）max=f（）=-lnm，

若存在x0，使得f（x0）＞m-1成立，

则m-1＜f（x）max=f（）=-lnm，

即m-1＜-lnm，即m+lnm-1＜0，

令h（m）=m+lnm-1，则h′（m）=1+=＞0，

∴h（m）在（0，+∞）上单调递增，

又h（1）=1+ln1-1=0，∴0＜m＜1，

即实数m的取值范围是（0，1）；

（2）证明：当m=1时，f（x）=2lnx-x2+1，则f′（x）=-2x=，

∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

∴由x1＜x2且f（x1）=f（x2）知0＜x1＜1＜x2，

令F（x）=f（x）-f（2-x）=2lnx-x2+1-[2ln（2-x）-（2-x）2+1]

=2lnx-2ln（2-x）-4x+4，x∈（0，1），

则F′（x）=＞0，

∴F（x）在（0，1）递增，∴F（x）＜F（1）=0，即f（x）＜f（2-x），

∴f（x1）＜f（2-x1），又f（x1）=f（x2），∴f（x2）＜f（2-x1），

∵x1∈（0，1），∴2-x1∈（1，2），

又x2＞1且f（x）在（1，+∞）递减，

∴x2＞2-x1，即x1+x2＞2．

24.【答案】解：（1）由于令，则，令，，在上单调递增；令，，在上单调递减；于是的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）（i）由于若，，，于是在上单调递增，至多与轴只有一个交点，矛盾；于是，令，则等价于，易得，因为，则，令，则在上单调