2026年河北省人教版高二数学第6课函数综合练习题

2026年河北省人教版高二数学第6课函数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,0)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f′(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，当x∈(-1,0)时，f′(x)>0，故函数在该区间单调递增，选A。2.若函数f(x)=x³-3x+2在区间[a,a+1]上的最大值与最小值之差为1，则实数a的取值集合为（）A.{-1,0}B.{-2,-1}C.{-1,1}D.{0,1}解析：f′(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，令f′(x)=0得x=-1或x=1，f(-1)=4，f(1)=0，f(a)与f(a+1)之差为1，解得a=-1或a=0，选A。3.函数y=√(4-x²)在[0,2]上的反函数为（）A.y=√(4-x²)（0≤x≤2）B.y=-√(4-x²)（0≤x≤2）C.y=2cos(√x)（0≤x≤4）D.y=2sin(√x)（0≤x≤4）解析：由y=√(4-x²)得x²+y²=4（y≥0），反函数为x=2cosy（0≤y≤2），即y=2cos(√x)（0≤x≤4），选C。4.函数f(x)=e^x-ax在x→+∞时存在水平渐近线，则实数a的取值范围是（）A.a>1B.a=1C.a<1D.a∈R解析：若存在水平渐近线，则lim(f(x))=lim(e^x-ax)=0，即lim(e^x/a)=0，需a>1，选A。5.函数y=3sin(2x)+4cos(2x)的最小正周期为（）A.πB.2πC.π/2D.4π解析：y=5sin(2x+φ)，最小正周期T=2π/|ω|=π，选A。6.若函数f(x)=x²+2ax+3在x=-1时取得极值，则f(x)在[-2,2]上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：f′(x)=2x+2a，x=-1时f′(-1)=0，得a=1，f(x)=(x+1)²+2，x=-1时取得极小值2，在[-2,2]上最小值为2，选B。7.函数f(x)=ln(x+1)-x²在区间(-1,1)上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：f′(x)=1/(x+1)-2x，令f′(x)=0得x=1/2，f(-1)→-∞，f(1/2)=ln(3/2)-1/4>0，f(1)=ln2-1<0，零点个数为2，选C。8.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数y=x+3（x<-2）-x-1（-2≤x≤1）x+1（x>1），最小值为-1+2=1，选A。9.若函数f(x)=√(x²+px+q)在x=1时取得极小值，且f(0)=1，则p+q的值为（）A.0B.1C.2D.3解析：f′(x)=x+p/(2√(x²+px+q))，x=1时f′(1)=0，得p=2，f(0)=√q=1，q=1，p+q=3，选D。10.函数y=2cos²x-sin(2x)的最小正周期为（）A.πB.2πC.π/2D.4π解析：y=1+cos(2x)-sin(2x)=1-√2sin(2x-π/4)，最小正周期T=2π/2=π，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(2x-1)的定义域为_________解：2x-1>0，x>1/2，参考答案：(1/2,+∞)2.函数y=3^x在x=1时的切线方程为_________解：y=3，切线方程为y=3x-2，参考答案：y=3x-23.函数f(x)=x³-3x+1的极大值点为_________解：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，f(1)=-1为极小值，f(-1)=2为极大值，参考答案：-14.函数y=2sin(3x)-1的振幅为_________解：振幅|A|=2，参考答案：25.函数f(x)=e^x-ax在x→0时若为无穷小量，则a的值为_________解：lim(f(x)/x)=lim(e^x/a-1/x)=1/a=0，a→+∞，参考答案：+∞6.函数y=|x-2|+|x+1|的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为_________解：分段函数y=-2x+1（x<-1）3（-1≤x≤2）2x-1（x>2），面积=3×3=9，参考答案：97.函数f(x)=ln(x+1)-x在x=0处的二阶导数为_________解：f′(x)=1/(x+1)-1，f′′(x)=-1/(x+1)²，f′′(0)=-1，参考答案：-18.函数y=cos²x-sin(2x)在[0,π]上的最大值为_________解：y=1-2sin²x-sin(2x)=1-2sin²x-2sinxcosx，令t=sinx，t∈[0,1]，g(t)=1-2t²-2t，g(t)max=g(0)=1，参考答案：19.函数f(x)=x³-3x+2的图像关于点_________中心对称解：f(-x)=-x³+3x+2≠f(x)，非中心对称；f(x)+f(-x)=4为常数，中心对称中心为原点，参考答案：(0,0)10.函数y=2cos(2x+π/3)的图像向右平移φ个单位后与y=cos(2x)的图像重合，则φ的值为_________解：2x+π/3-2(x-φ)=2kπ，φ=π/3+kπ，k∈Z，参考答案：π/3+kπ（k∈Z）三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在(-1,1)上存在零点_________解：f(-1)=-2，f(1)=-2，f′(x)=3x²-3，f′(x)在(-1,1)上无零点，f(x)单调递减，无零点，参考答案：×2.函数y=√(1-x²)在[0,1]上的反函数为y=-√(1-x²)_________解：反函数应为y=√(1-x²)（0≤x≤1），参考答案：×3.函数f(x)=e^x-ax在x→+∞时若存在水平渐近线，则a>1_________解：正确，见选择题4解析，参考答案：√4.函数y=3sin(2x)+4cos(2x)的最小正周期为π_________解：正确，见选择题5解析，参考答案：√5.函数f(x)=x³-3x在x=-1时取得极值_________解：f′(-1)=0，但f′(x)在x=-1附近变号，非极值，参考答案：×6.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值为1_________解：正确，见选择题8解析，参考答案：√7.函数f(x)=√(x²+px+q)在x=1时取得极小值，则p=2_________解：正确，见选择题9解析，参考答案：√8.函数y=2cos²x-sin(2x)的最小正周期为π_________解：正确，见选择题10解析，参考答案：√9.函数f(x)=x³-3x+1的极小值点为1_________解：f′(1)=0，但f′(x)在x=1附近由正变负，为极小值，参考答案：√10.函数y=2cos(2x+π/3)的图像向右平移π/6个单位后与y=cos(2x)的图像重合_________解：π/3+kπ≠π/6+kπ，参考答案：×四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=ln(x+1)-x²的增区间解：f′(x)=1/(x+1)-2x，令f′(x)=0得x=1/2，当x∈(-1,1/2)时f′(x)>0，增区间为(-1,1/2)2.求函数y=2sin(3x)-1的图像的对称轴方程解：对称轴方程为3x-π/6=kπ+π/2，x=kπ/3+π/18（k∈Z）3.求函数f(x)=x³-3x+2的拐点解：f′′(x)=6x，令f′′(x)=0得x=0，f(0)=2，拐点为(0,2)4.求函数y=|x-2|+|x+1|的图像与x轴所围成的封闭图形的面积解：见填空题16解析，面积=95.求函数f(x)=ln(x+1)-x在x=0处的三阶导数解：f′(x)=1/(x+1)-1，f′′(x)=-1/(x+1)²，f′′′(x)=2/(x+1)³，f′′′(0)=26.求函数y=cos²x-sin(2x)在[0,π]上的最大值解：见填空题18解析，最大值为17.求函数f(x)=x³-3x+2的图像的对称中心解：f(-x)=-x³+3x+2≠f(x)，非中心对称；f(x)+f(-x)=4为常数，对称中心为原点8.求函数y=2cos(2x+π/3)的图像向右平移φ个单位后与y=cos(2x)的图像重合的φ值解：见填空题20解析，φ=π/3+kπ（k∈Z）五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-px+q在x=1时取得极大值，且f(0)=2，求f(x)的极小值点解：f′(x)=3x²-p，x=1时f′(1)=0，p=3，f(0)=q=2，f(x)=x³-3x+2，f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，f(1)=0为极小值，极小值点为12.已知函数y=Asin(ωx+φ)的图像过点(π/4,√2)，且周期为π，求A,ω,φ解：周期T=2π/ω=π，ω=2，y=Asin(2x+φ)，π/4时y=√2，√2=Asin(π/2+φ)，φ=π/4，A=√2，y=√2sin(2x+π/4)3.已知函数f(x)=ln(x+1)-x²在x=0处的切线与直线y=x平行，求a的值解：f′(0)=1-0=1，切线斜率为1，与y=x平行，a=14.已知函数f(x)=x³-3x+2的图像关于点(1,0)中心对称，求f(x)的表达式解：若关于(1,0)中心对称，则f(1-x)+f(1+x)=0，x³-3x+2+(x+2)³-3(x+2)+2=0，化简得f(x)=x³-3x+25.已知函数y=2cos(2x+π/3)的图像向右平移π/6个单位后与y=cos(2x)的图像重合，求平移后的函数表达式解：y=2cos[2(x-π/6)+π/3]=2cos(2x)6.已知函数f(x)=ln(x+1)-x²在区间[0,1]上的最大值与最小值之差为1，求a的值解：f(0)=0，f(1)=ln2-1，最大值与最小值之差为ln2-1=1，无解，需重新设题7.已知函数f(x)=x³-px+q在x=-1时取得极小值，且f(1)=0，求f(x)的表达式解：f′(x)=3x²-p，x=-1时f′(-1)=0，p=3，f(1)=1-p+q=0，q=2，f(x)=x³-3x+28.已知函数y=3sin(2x)+4cos(2x)的最小正周期为π，求其图像的对称中心解：y=5sin(2x+π/6)，对称中心为(π/6+kπ,0)（k∈Z）【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.C4.A5.A6.B7.C8.A9.D10.A解析：2.f′(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，x∈(-1,0)时f′(x)>0，单调递增。3.f′(x)=3x²-3，x=-1时f′(-1)=0，a=1，f(x)=x³-3x+2，f′(x)=3x²-3，f(-1)=2为极大值，f(1)=-2为极小值，f(-2)=-2，f(2)=2，最大值与最小值之差为4，需重新设题。二、填空题1.(1/2,+∞)12.y=3x-213.-114.215.+∞16.917.-118.119.(0,0)20.π/3+kπ（k∈Z）三、判断题1.×22.×23.√24.√25.×26.√27.√28.√29.√30.×四、简答题1.(-1,1/2)2.x=kπ/3+π/18（k∈Z）3.(0,2)4.95.26.17.(0,0)8.π/3+kπ（k∈Z）五、应用题1.f(x)=x³-3x+2，极小值点为12.A=√2,ω=2,φ=π/43.a=14.f(x)=x³-3x+25.y=2cos(2x)6.无解7.f(x)=x³-3x+28.(π/6+kπ,0)（k∈Z）【评分标准】简答题：每题2分，答对得满分，答错不得分。应用题：每题4分，关键步骤得2分，结果得2分。【解析示例】选择题1解析：f(x)=ln(x+1)-x，f′(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，当x∈(-1,0)时，分子1-x>0，分母x+1>0，f′(x)>0，故函数在(-1,0)上单调