初中数学一元二次方程110题(含答案解析)

【各章节核心题系列——一元二次方程大总结110题】【框架梳理——15大核心题型】【一元二次方程的概念与解法】【一元二次方程的判别式】五、根的判别式在几何上的应用【一元二次方程的根系关系】【一元二次方程的公共根与整数根】十一、整数根十二、有理根【一元二次方程的实际应用】十三、增长率【可化为一元二次方程的其他方程】【经典例题精炼——110道核心题】1.【易】（初二第二学期期末试卷）下列方程是关于x的一元二次方程的是()C．x2+2x=x2—1D．3(x+1)2=2(x+1)(m2)xm2+(3m)x2=0是一元二次方程，则m=.4.【易】（北京市朝阳外国语学校初二期中）已知关于x的方程(k+1)x2—5xk2+5k+6=0的一个根是x=0，则k值为()5.【易】(泸州市中考题)已知三x26x+8=0的根，则这个三角形的周长为 .6.【中】（福建福州质量检查）已知x=—1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则 .8.【易】若(x+4)(x—2)=x2+px+q，则p，q的值是()9.【中】若关于x的方程(k2—15)x2=k(2x2+1)—5有无穷多个解，则()A．k≠3且k≠5B．k=3或k=5C．k=5D．k为任意实数10.【中】在实数范围内把x2+x—2+分解因式得()A．B．(x2)(x+1)+一、一元二次方程的解法11.【易】（綦江县初中毕业暨高中招生考试数学试卷）一元二次方程x2=16的解是 . .15.【难】当n时，方程(x—p)2+n=0有解常数，则m+k=.17.【易】当k为何值时，x2-2k(x-4)-15是完全平方式18.【易】（兰州市初中毕业生数学学业考试）解方程：x2-3x-1=019.【难】（山西省太原市初中数学竞赛试卷）已知实数a>0，b>0，满足a+=2008，b2+b=2008，则a+b的值是.20.【易】（2013山东滨州）一元二次方程2x2-3x+1=0的解为.21.【中】解方程：(k-2)x2+(3-k)x-1=0；22.【中】（北京市西城区（南区）2011-2012学年度第一学期期末）已知关于x的一元二次方程x2-2mx-3m2+8m-4=0的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m的取值范围.23.【中】用因式分解法解方程：x2-3mx+2m2-mn-n2=0（m、n为常数）24.【易】解方程+6=0；2个题目中，运用数学中的整体换元可以使问题变得简单，具体方法x2yx2y2226.【中】(江西省竞赛题)已知a是方程x2—3x+1=0的根，则分式28.【中】(四川省绵阳市中考数学真题试题)已知整数k<5，若△ABC的边长均满足关于29.【中】（世界数学团体锦标赛试题）如图，点E和点F分别是正方形ABCD中BC边和CD边上的点，且上EAF=45O，则EF的最小值是AB___________一、判断一元二次方程根的情况x22x3=0．下列说法正确的是()31.【易】（广东省广州市中考题）若5k+20<0，则关于x的一元x2+4xk=0的根的情况是()32.【易】（北京市西城区（南区）第一学期期末）关于x的方程x2+2kx+k一1=0的根的情况描述正确的是()A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的二、根据根的情况求参数33.【易】（北大附中2010-2011学年度初二第二学期期中考试）若关于x的一元二次方程kx2+3x1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为()34.【中】（北京市西城区（南区）2011-2012学年度第一学期期末）已知关于x的一元二 35.【易】关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2k+1x-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.36.【易】使得关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0无实数根的最小整数k()37.【中】（荆门市中考题）关于x的方程ax2-(a+2)x+2=0只有一解（相同解算一解），则a的值为 .38.【中】（北方交大附中第二学期期末练习）已知关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+6k=0（k<0）①⑵设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1<x2若y是关于k的函数，且y=x1+2x2-6，求这个函数的解析式；⑶在⑵的条件下，结合函数的图象回答：当自变量k的取值范围满足什么条y<已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.⑵若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值.40.【难】（厦门市初中毕业及高中阶段若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且x1+x2=2k（k是整数x2+3x=0，x2+6x27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”.⑵对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系三、根的判别式在几何上的应用41.【中】方程x2—9x+18=042.【中】已知a，3是直角三角形的两边，第三边的长满足方程x2—9x+20=0，则a的43.【中】已知ΔABC的三边a,b,c满足：b+c=8，bc=a2—12a+52，试确定ΔABC的形状.44.【中】已知：a、b、c分别是ΔABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2+m)+b(x2—m)—2amx=0有两个相等的实数根，求证：ΔABC是直角三角形.45.【易】（眉山市初中学业水平暨高中阶段教育学校招生考试）已方程x25x+6=0的两个根．则该三角形的周长L的取值范围是()A．1<L<5B．2<L<6C．5<L<9D．6<L<1046.【中】已知ΔABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长是5⑴k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；⑵k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求ΔABC的周长的两个解分别为x1、x2，则x1+x2—x1.x2的值为()48.【易】若方程x2+x+k=0有两负根，则k的取值范围是()A．k>0B．k<0C．k<D．0<k≤49.【易】设x1、x2是方程x2-2(k+1)x+k2+2=0的两个不同的实根，且50.【易】实数k为何值时，关于x的一元二次方程x2-(2k-3)x+(2k-4)=0.51.【易】已知关于x的方程x2+2(m+2)x+m2-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值.52.【易】已知x1、x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.⑴是否存在实数成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.⑵求使的值为整数的实数k的整数值.53.【易】已知关于x的一元二次方程x2-4x+k=0与2x2-3x+k=0有一个相同的根，求k的值.54.【中】已知关于x的方程4x2-8nx-3n=2和x2-(n+3)x-2n2+2=0，是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由.55.【中】已知方程x2+ax-b=0的根是a和c，方程x2+cx+d=0的根是b和d．其中，a、b、c、d为不同实数，求a、b、c、d的值.56.【中】已知关于x的方程(t2-1)x2-(2t-1)x+1=0的两根倒数之和大于0，求t的取值范围.57.【难】已知方程ax2+4x+b=0(a<0)的两实根为x1、x2，方程ax2+3x+b=0的两实根为α、β.⑴若a、b均为负整数，且|α-β|=1，求a、b的值；⑵若α<1<β<2，x1<x2，求证：-2<x1<1<x2.58.【易】（2013湖北荆门中考）设x1，x2是方程x2-x-2013=0的两个实数根，则x13+2014x2-2013=() x1x2A．5B．-5C．1D．-1 x1x2A．5B．-5C．1D．-160.【中】（天津市中考题）若关于x的一元二次方程2x2-2x+3m-1=0的两个实根为x1、x2，且x1x2>x1+x2-4，则实数m的取值范围是()61.【中】（2012年潜江市中考题）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1,x2满足x1x2-2x1-2x2-5=0，那么a的值为()bba62.【易】如果a，b都是质数，且a2-13a+m=0，b2-13b+m=0，求+的值.ab63.【易】阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1、x2，则根与系数关系为：x1+x2=-，x1x2=．已知p2-p-1=0，1-q-q2=0，且pq≠1，64.【中】（苏省南通市中考数学试题）设x1、x2是一元二次方程x2+4x-3=0的两个根，已知关于x的一元二次方程x2—(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1、x2.⑵是否存在实数k使得x1.x2—x12—x请说明理由.已知x12是一元二次方程(a6)x2+2ax+a=0的两个实数根.⑴是否存在实数a，使—x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.⑵求使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值.67.【难】（内江市中考题）已知方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2，那么x1+x2=—p，x1⑴已知关于x的方程x2+mx+n=0(n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别⑶已知a、b均为实数，且a+b+c=0,abc=16，求正数c的最小值.3(b+1)=3(b+1)2，则b·b+a·a的值为(69.【易】（北京市朝阳外国语学校2010-201x2⑴求k的取值范围；个相同的根，求此时m的值.公共根和所有相异根.74.【难】已知关于x的方程(4-k)(8-k)x2-(80-12k)x+32=0的解都是整数，求整数k的值.75.【中】设方程mx2-(m-2)x+(m-3)=0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解.76.【难】已知方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0(a是非负整数)至少有一个整数根，那么a=.2.判别式为完全平方式已知：x1、x2分别为关于x的一元二次方程mx2+2x+2-m=0的两个实数根.⑴设x1、x2均为两个不相等的⑵利用图象求关于m的方程x1+x2+m-1=0的解.78.【中】（丰台）已知：关于x的方程kx2+(2k-3)x+k-3=0.⑵当k取哪些整数时，关于x的方程kx2+(2k-3)x+k-3=0的两个实数根均为负整已知关于x的方程(k+1)x2+(3k-1)x+2k-2=0.⑵若方程有两个整数根，求正整数k的值.⑶若抛物线y=(k+1)x2+(3k-1)x+2k-2与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的值.80.【难】若k为正整数，且关于k的方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有两个相异正整数根，求k的值.3.判别式不是完全平方式已知关于x的方程(k-1)x2+2kx+k+3=0.⑵当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方程y2+(a-4k)y+a+1=0的整数根（a为正整数）.82.【难】设k为整数，且k≠0，方程kx2-(k-1)x+1=0有有理根，求k的值【一元二次方程的实际应用】83.【中】(四川省绵阳市中考数学真题“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城的自行车已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆1300元/辆.根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍.假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城84.【中】（浙江省初中毕业生学业考试（湖州市））随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.⑴若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平⑵为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨0.5元，其销售量就可以86.【易】益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品87.【易】（淮安数学中考试题）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下的年租金定为10万元时，可全部租出；每间的各种费用5000元.⑵当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金-各种费用）为三、储蓄问题89.【易】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入“少儿本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）90.【易】一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，91.【易】读诗词解题通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.92.【中】（襄阳市初中毕业生学业考试数学试题）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.93.【易】如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长.94.【易】用22厘米长的铁丝，折成一个面积为3095.【易】（西南宁中考）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有()96.【易】一容器装满20L纯酒精，第一次倒出若干升后，用水加满，第97.【易】如图所示，在△ABC中，7C=90o，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.【可化为一元二次方程的其他方程】一、含参的二次方程98.【中】（武汉市武珞路中学补课资料）解方程ax2+bx+c=0二、含绝对值的二次方程99.【中】（北京市朝阳外国语学校2010-2011学年初二期例题解方程x2-x-1-1=0例：x2-x-2=0解：⑴当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0解得x1=2，x2=-1（不合题意，舍去）⑵当x<0时，原方程化为x2+x-2=0解得x1=1（不合题意，舍去），x2=-2∴原方程的根是x1=2，x2=-2x2+axx2+ax=4只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个A.1B.3C.－1105.【中】解方程x2+x+1=106.【易】若方程=k有实数根，则k的取值范围为.107.【易】若方程有实数根，则k的取值范围为.108.方程-x=3的解是110.【易】已知方程2x2-3x-6+2x这个方程你会解吗?尝试一下换元法.设=y，那么x2-3x-6=y2，把原方程的一部分用y来表示，再仔细观察新方程(既含有y，又含有x)的特点，相信你能找到解题的思路.【各章节核心题系列——一元二次方程大总结110题】【答案】2.【答案】-24.【答案】C5.【答案】136.【答案】17.【答案】-9.【答案】C11.【答案】x1=4，x2=-412.x1=2，x2=15.【答案】n≤0；x1=p+，x2=p-16.【答案】-317.【答案】k=3或k=518.【答案】∵a=1，b=-3，c=-1，∴b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=13【解析】原方程可化为()2+=2008，b2+b=2008，因此和b是方程x2+x=2008的根，所以和b可能是方程x2+x=2008的两个根，或者 =b，因此得到+b=-1，或者=b，因为a>0，b>0，所以 a+b=-1不可能成立，因此=b，所以a+b=b2+b=200821.【答案】⑴当k=2，(3-2)x-1=0；x=1⑵当k≠2，=0；x1==122.【答案】x2-2mx-(3m2-8m+4)=0，x2-2mx-(3m-2)(m-2)=0， x-(3m-2)x+(m-2)=0，∴x1=3m-2，x2=2-m.[3m-2<5,[3m-2>2,由题意，{或{l2-m>2,l2-m<5.∴m<0或m>4.323.【答案】x23mx+(2m+n)(mn)=0，(x2mn)(xm+n)=0，x1=2m+n，x2=mn.24.【答案】设y=，则y25y+6=0，解得y1=3，y2=2即z25z6=0，解得z1=6，z2=1∴x2+y2=6或1∴x2+y2=626.【答案】1由题意得a23a+1=0，原式=2a3(a23a+1)(a2+1)=3a=145327.【答案】原方程化简为x2+2x+1+x2+2x5+2=0，令y=x2+2x2①,原方程变形为y+3+y3+2=0，整理得y2+6y7=(y1)(y+7)=0.解得y1=1，y2=7，代入①,代入y1=1时，解得x1=3，x2=1经检验：x1=3，x2=1是原方程的解，舍去.代入y2=7时，因Δ<0，所以无实数解，故舍去.解：根据题意得k≥0且(3)24×8≥0解得k≥∴方程变形为x26x+8=0，解得x1=2，x2=4，∵△ABC的边长均满足关于x的方程x26x+8=0，设AB=a，EF=b，BE=x，由EF=BE+DF得DF=bx，CF=ab+x，∵b2=(ax)2+(ab+x)2，∴x2bx+a2ab=0，Δ=b24(a2ab)≥0，30.【答案】B32.【答案】B33.【答案】D34.【答案】a≥5且a≠±141【答案】-1≤k<2且k≠235.【解析】由题意，得解得1【答案】-1≤k<2且k≠236.【解析】由题意可得(2k-1)x2-8x+6=0则Δ=64-24(2k-1)<0所以k>，又知要取k的最小整数值【答案】B38.【答案】⑴∵Δ=(2k+3)2-4×6k=(2k-3)2>0⑶k<-139.【答案】⑴Δ=-(2k+1)2-4⑵x2-(2k+1)x+k2+k=0→(x-k)x-(k+1)=0所以次方程的两个实数根为x1=k，x2=k+1，则可设AB=k，AC=k+1①若BC为底，则AB=AC，即k=k+1，此种情况无解②若AC为底，则AB=BC，即k=5③若AB为底，则AC=BC，即k+1=5，则k=4综上可得，k的值为4或5解方程x2+x-12=0得，x1=3，x2=-4.∴x2+x-12=0不是“偶系二次方程”；∵x2-6x-27=0和x2+6x-27=0是偶系二次方程，当b=-6，c=-27时，-27=36m+n.∴n=0时，m=-∴c=-4当b=3时，c=-×32可设c=-4对于任意一个整数b，c=-b2Δ=b2-4ac，=x=22∴对于任何一个整数b，c=—4b时，关于x的方程x2+bx+c=0于第三边可知等腰三角形三边为3、6、6，故周长为15.【答案】1542.【解析】解方程得x1=4，x2=5..【答案】当(a，3，4)时，若a为直角边，则a=·;若a为斜边，则a=5；.此时Δ=0，方程的两根相等，即：b=c=4.∴ΔABC是等腰三角形. 22ama2c2+b2=0 2由勾股定理，故ΔABC为直角三角形.46.【答案】⑴k=2⑵k=4时，周长为16；k=3时，周长为14.x2=k2+2.解之得k=—3或k=1．又k>，【答案】k=150.【解析】x2-(2k-3)x+(2k-4)=0→(x-1)[x-(2k-4)]=0，故x=1或x=2k-4⑴若两根均为正，则2k-4>0，故k>2；⑵若两根异号，且正根的绝对值较大，则0<4-2k<1，故<k<2；⑶由1<3可知，2k-4>3→k>.【答案】⑴k>2；⑵<k<2；⑶k>51.【答案】有实数根，则△≥0，且x12+x22=x1x2+16，联立解得m的值.由①②③解得：m=-1或m=-15，又由④可知m≥-∴m=-15舍去，故m=-152.【解析】⑴由k≠0和Δ≥0得到k<01，x1x2=∴(2x1-x2)(x1-2x2)=2(x1+x2)2-9x1x2k+93=-=-4k2⑵x1+x2-2＝(x1+x2)2-4＝-4，要使-4的值为整数，而k为x2x1x1x2k+1k+1整数，k+1只能取±1、±2、±4，又k＜0∴存在整数k的值为-2、-3、-553.【答案】（解法一）[α+β=4{lαβ=k[3α+Y=2{⑵-2、-3、-5设方程x2-4x+k=0两根α、β,方程2x2-3x+k=0的两根α、(2)⑴-⑶∶β-Y=⑸2则β=5代入⑴∶α=-1把β=5，α=-1代入⑵中，k=-5∴k=0或k=-5（解法二）将x2-4x+k=0与2x2-3x+k=0相减得：x2+x=0此时方程根为0或-1，即题中两方程相同根为0或-1⑴若是0则k=0；⑵若是-1，则k=-5；∴k=0或k=-554.【解析】Δ=(-8n)2-4×4×(-3n-2)=(8n+3)2+23>0.可见，n为任意实数，方程4x2-8nx-3n=2都有实数根，记这两个实数根为α、β,则α+β=2n，αβ=.(α-β)2=(α+β)2-4αβ=4n2+3n+2.由方程x2-(n+3)x-2n2+2=0得x-(2n+2)x+(n-1)=0，解得x1=2n+2，x2=1-n.若x1为整数，则4n2+3n+2=2n+2，从而n1=0，n2=-.当n1=0时，x1=2是整数．当n2=-时，x1=不是整数，舍去.若x2为整数，则4n2+3n+2=1-n，从而n3=n4=-.当n=-时，x2=不是整数，舍去.综上可知，当n=0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根.55.【答案】∵方程x2+ax-b=0的根是a和c，∴a+c=-a，ac=-b. ∵x2+cx+d=0的根是b和d，∴b+d=-c，bd=d，⑴若d≠0，则由bd=d知b=1. 由a+c=-a知c=-2a，由ac=-b知-2a2=-1，解得a=± 当a=时，c=-i2，得d=-c-b=-1；ⅆⅆⅆⅆ⑴ 当a=-时，c=·i2，得d=-c-b=--1.ⅆⅆⅆ⑵ 经验证，a=±,b=1，c==、i2，d=±-1是符合条件的两组解.⑵若d=0，则b=-c，由a+c=-a知c=-2a，由ac=-b知ac=c若c=0，则a=0，这与a、b、c、d是不同的实数矛盾.若c≠0，则a=1，再由c=-2a知c=-2，从而b=-c=2.经验证，a=1，b=2，c=-2，d=0也是符合条件的解.56.【解析】根据题意，t2-1≠0，即t≠±1．设方程两根为x1、x2，2t-12424【答案】<t≤且t≠57.【答案】⑴由题意得α+β=-，αβ=，由α-β=1→(α+β)2-4αβ=1→-=1→a(a+4b)=9.又a、b均为负整数，所以a=-1，a+4b=-9．故a=-1，b=-2.⑵因为α<1<β<2，所以{从而a+4+b>a+3+b>0，即当x=1时，ax2+4x+b>0由4a-8+b<4a+6+b<0，即当x=-2时，ax2+4x+b<0.因为a<0，所以-2<x1<1<x2.58.【答案】20143m-151232由>1-4且(-2)2-8(3m-1)≥0得3m-15123262.当a=b时，当a≠b时，a、b为方程x2-13x+m=0的两个根，所以a+b=13，则a=2，b=11或b=2，a=11.当a=b时，=2；当a≠b时，63.【解析】由p2-p-1=0，1-q-q2=0有p≠0，q≠0，又pq≠1，所以p≠则1-q-q2=0可变形为0．由p2-p-1=0及p≠,可知p与是方程x2-x-1=0的根，因此【答案】1【解析】根据题意得x22+4x2-3=0，x1x2=-3，所以2x1(x+5x2-3)+a=2x1(3-4x2+5x2-3)+a=2x1x2+a=2×(-3)+a=-6+a=2所以a=8∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0∴1-4k≥0，∴当k≤时，原方程有两个实数根.∴由得∴由得.x2=k2+2k≥0，2≥0.x1+x2=2k+1，.x2x.x2=k2+2k≥0，2≥0.∴3(k2+2k)2∴只有当k=1时，上式才能成立.又由⑴知k≤,∴不存在实数k使得x1.x2—x12x22≥0成立.66.【答案】⑴a=24.67.【答案】⑴nx2+mx+1=0(n≠0) x1x2x1x2nx1x2n因此所求方程为nx2+mx+1=0(n≠0):原式====47；16216⑶由条件得a+b=c,ab=c，则a、b为方程x+cx+c=0的两实根，16216:Δ=c2—4×≥0，c3≥64，即c≥4.故正数c的最小值为4.bab2+a2a、b是关于x的方程(x+1)2+3(x+1)—3=0的两个根，即x2+5x+1=0，bab2+a270.【答案】⑴k<4. (a ab⑵依题意，得k=3.把k=3代入方程x2得x24x+3=0.解这个方程，得x=3或x=1当x=3时，有32—3m1=0，解得m=4x+k=0，83.3当x=1时，有12m1=0，解得m=0.所以m=或m=0x26x+5=0，相异根为-7和5.72.【答案】⑴设上述三个方程的公共根为x0，则有三式相加并提取公因式可得，(a+b+c)(x02+x0+1)=0又x02+x0+1=(x0+)2+>0，故a+b+c=0，公共根为x0=1或2x0=1.73.【答案】⑴根据题意得m≠1.△=(2m)24(m1)(m+1)=4.⑵由⑴知x1=74.【答案】解：当k=4或k=8，分别求得x=1或x=—2.84:x1=,x2=.4k8k:k为整数，且x1、x2均为整数，当m=2时，方程无整数解；当m=3时，方程有整数解077.【答案】⑴∵Δ=22-4×m×(2-m)=4（1-m)2，要使x1，x2均为整数必为整数.当m=2时，x1=1-=0，∴舍m=2.⑵将x1=1-，x2=-1代入方程x1+x2+m-1=0，整理，得=m-1.设，y2=m-1，并在同一直角坐标系中分别画出y1与y2的图象（如图所示）由图象可得，关于m的方程x1+x2+m-1=0的解为m1=-1，m2=2.若k=0，则此方程为一元一次方程，即-3x-3=0，∴x=-1有根，若k≠0，则此方程为一元二次方程，∴Δ=(2k-3)2-4k(k-3)=9＞0，综上所述，方程总有实数根.得-1；x2=-1，当k≠1时，方程(k+1)x2+(3k1)x+2k2=0是一元二次方程，综上，无论k取任意实数，方程总有实数根2(k+1)，1k+1⑵x=13k±(k3)x=12(k+1)，1k+1当x1x2=3时，k=3；当x1x2=3时，k=0.[(k+1)x12][(k1)x6]=0.由为正整数得k=1,2,3,5,11；由为正整数得k=2,3,4,7.所以k=2,3使得x1，x2同时为正整数，但当k=3时，x1=x2=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求.=4k24k28k+12=8k+12[k1≠0[k1≠0∴{即{lΔ>0l8k+12>0∴k的取值范围是k<且k≠1.Δ=8k+12=0.24(a+1)=a212a+364a4=a216a+32设(a8)232=m2（其中m为整数），32=p.q（p、q均为整数），∴(a8)2m2=32．即(a8+m)(a8m)=不妨设两式相加，得a=∵(a-8+m)与(a-8-m)的奇偶性相同，∴32可分解为2×16，4×8，(-2)×(-16)，(-4)×(-8)，∴p+q=18或12或-18或-12.∴a=17或14或-1或2.当a=17时，方程的两根为y=，即y1=-2，y2=-9.当a=14时，方程的两根为y=，即y1=-3，y2=-5.当a=2时，方程的两根为y=，即y1=3，y2=1.82.【答案】解：若方程有有理根，则Δ=(k-1)2-4×k为完全平方数设(k-1)2－4k=m2（m为正整数）则k2-6k+1-m2=0所以(k-3)2－m2=8，所以(k-3+m)(k-3-m)=8因为k-3+m与k-3-m同奇同偶，故它们同为偶数，或[k-3+m=4{或lk-3-m=2[k-3+m=-2{lk-3-m=-4{或{故所求k的值为664(1+x)2=100解得：x=0.25=25%或x=-2.25⑵设购进A型车x辆，则购进B型车辆，根据题意得：2×30000-500x≤x≤2.8×3000-500x10001000解得：30≤x≤35.利润W=(700-500)x+(1300-1000)=9000+50x当x=35时，不是整数，故不符合题意答：为使利润最大，该商城应购进34辆A型车和