2023年江苏省无锡市滨湖区江南大学附属某中学中考数学二模模拟试题（解析版）

江苏省无锡市2023年滨湖区江南大学附属实验中学中考数学二模试

卷

一、选择题（本大题共9小题，每题3分，共计3（）分）

1.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的

图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所

以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕其一点旋转180。后与原来的图形重合，所以

是中心对称图形，

故选：C.

【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

2.下列运算正确的是（）

A.〃3+/=凉B.。3・〃4=“12

C.（苏）4=凉D.（-2〃）4=]6加2

【答案】D

【解析】

【分析】根据合并同类项的法则，同底数幕的乘法，哥的乘方，积的乘方的法则计算即可.

【详解】解：A、苏与〃4不是同类项不能合并，故错误，不符合题意；

B、故错误，不符合题意；

C、（凉）4=32,故错误，不符合题意；

D、（-2〃）4=163。故正确，符合题意；

故选:D.

【点睛】本题考查了合并同类项，幕的乘方，同底数幕的乘法，积的乘方，熟记法则是解题的关键.

3.如果圆锥的母线长为5,底面半径为2,那么这个圆锥的侧面积为（）

A.10B.104C.20D.207r

【答案】B

【解析】

【分析】圆锥的侧面积二底面周长x母线长：2,据此求解即可.

【详解】解：底面圆的半径为2,则底面周长=4兀，

圆锥的侧面积=1x4兀x5=10兀.

2

故选:B.

【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解.

4.下列命题中：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）

一组邻边相等的平行四边形是菱形：（4）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，正确的命题个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行形四边形、矩形、菱形、正方形的判定分别得出各选项是否正确即可.

【详解】解：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，表述正确，符

合题怠；

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，表述正确，符合题意；

（3）•组邻边相等的平行四边形是菱形：根据菱形的判定得出，表述正确，符合题意；

（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；原表述错:吴，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假

关键是要熟悉课本中的定理.

5.正比例函数丁=无1（人工0）的图象在第二、四象限，则一次函数），二1一攵的图象大致是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据正比例函数图象所经过的象限判定&<0,由此可以推知一次函数丁二工一女的图象的大致情

况.

【详解】•・•正比例函数），二爪左上0）的图象在第二、四象限，

/.A：<0,

・•・一次函数）=1-％的图象与y地交于正半轴，且经过第一、三象限.

观察选项，只有A选项正确.

故选：A.

【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k>0,b>0oy=kx+b的图

象在一、二、三象限”是解题的关键.

6.如图，在平面直角坐标系文。），中，点A在x轴正半轴上，点P（—4,。乂。>0）,连接4。交），轴于点4.若

AB;BP=2:1.则sinZBAO的值是（）

A-B.立C.亟D.亚

351010

【答案】C

【解析】

4D7

【分析】过点尸作轴于点Q,则PQ〃3。，可得△A8Os”lPO,由——二不得出40=2。,

AP3

2

BO=-a,根据勾股定理求得48,根据正弦的定义即可求解.

3

【详解】解：如图所示，过点尸作PQ-Lx轴于点。，

・•.PQ//B0

工△ABO^AAPO

ABAOBO

丽=而一所'

点Q(—a,a)(a>0)

PQ=QO=a

AB:BP=2:\

AB_2

AP-3

AQ=AO+OQ

AO_2

AO+a3

AO=2a

43=JAC、BO'=J(2〃)2+，!”)

2

二厢

:.^\nZPA0=—=3

AB2加一i。

3

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键.

7.如图，在矩形纸片43co中，将A8沿BM翻折，使点A落在8c上的点N处，BM为折痕，连接MN；

再将。力沿CE翻折，使点。恰好落在MN上的点尸处，CE为折痕，连接所并延长交8W于点P,若

AO=24,AB=15,则线段网的长等于（)

C.4x/2D.572

【答案】B

【解析】

【分析】过点P作PGJLMV,PH工BC,垂足为点G、H,由折叠的性质可得8==15,四边

形48NM是正方形，利用勾股定理求得FN=12,再证明△PG/?〜△QVC可得

FG:PG:PF=9:12:15,设尸G=9m,贝iJPG=12m,PF=15m,根据矩形的性质可得

HN=PG=\2m,又因为HN=BN-BH=3+9m，即可求出〃z=l,从而求得PH=BH=3,最后

利用勾股定理即可求出结果.

【详解】解：过点P作夕GJ_MN,PH1BC,垂足为点G、”，

由折叠的性质可知，四边形A8NM是正方形，AB=BN=MN=AM=15,

CD=CF=\5,/D=NCFE=90°,ED=EF，

.•.NC=24-15=9,

在RSFNC中,FAT=7FC2-CN2=V152-92=12»

•.・ZCFE=90°,

：.CFLPE,

乙CFP—乙PGF—时，

:"CFN+/PFG=9Q0,

又・・・NPAG+NFPG=90。，

:.CFN=NFPG,

­/<FNC=4PGF=9伊,

:."GFfFNC,

：.FG:PG：PF=NC:FN:FC,即FG:PG:FF=9:12:15,

设HG=9m,则PG=12m,PF=15m,

MG-3+9/77♦GN-12-9/TJ，

•・•/PHN=NPGN=乙GNH=90°，/PBH=45°,

・•・四边形PHNG是矩形，BH=PH,

：.HN=PG=\2m,BH=PH=GN=\2-9m,

・・・HN=BN-BH=15-(12-9tn)=3+9m,

:.3+9m=]2m,

/n=1>

；.PH=BH=12—9=3,

；.PB=」W+学=3及，

故选:B.

【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，正方形的性质及勾股定

理，作辅助线构造△PGP-FKVC是解题的关键.

41

8.如图，矩形A8CO中，点4在双曲线），二一一上，点B,C在犬轴上，延长CO至点£,使QE=—CO,

x2

连接交），轴于点F,连接CR则△£?尸。的面积为（）

7

A.2B.3C.一D.4

2

【答案】B

【解^5]

【分析】设A。交V轴干点交BE于点、K,设DE=m,DK=b,利用平行线分线段成比例推出8c

和长度，从而求出“'长度，即可求出48/。的面积.

【详解】解：设AO交）'轴于点J,交BE于点、K,设。石=加，£>K=〃则A3=CO=2m.

2_

AJ

tn

•••四边形ABC。为矩形,

:.DK//BC.

•_D_K__E_D__1

~BC~~EC~3'

BC=AD=3bf

2

:.AK=2bJK=2b——

m

•：JF〃DE,

•1F二JK

~DE~~DK'

2b--

.J"F_m，

mb

2bm-2

~b~

2hm--2

/.OF=OJ-JF=2m--------=-

bb

:.S„BFC=-BCOF=--3b-=3.

22b

故答案选：B.

【点睛】本题考查了反比例函数的儿何意义、矩形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键在于学

会利用参数解决问题，综合性比较强.

9.如图，A4是。O的直径，点C化。。上，CD±AB,垂足为。，A"=2,点"是。。上的动点（不

与C重合），点尸为CE的中点，若在E运动过程中。产的最大值为4,则。。的值为（）

7

A.2GB.2&C.3cD.-

【答案】A

【解析】

【分析】先判断出点0,。，C,b四点共圆，判断出。歹的最大值为。C,再求出0C,然后根据勾股

定理即可求出答案.

【详解】解:如图,

连接OC,OF,

•・,点F是CE的中点，

:.OF1CE,

NO"*=90。，

vCDlAB,

「.NODC=90。，

:.NODC+Z.OFC=180。，

点O,D,c,尸在以oc为直径的圆上，

•.・0/大值=℃=4，

,:AD=2,

在RtZ\O/)C中，OD=OC-AD=2,OC=4,

根据勾股定理得CD=yj0C2-0D2=2A/3，

故选A.

【点睛】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点。，D,C,/四点共

圆是解本题的关键.

二、填空题(本大题共8小题，每题3分，共计24分)

10.分解因式：%3—x=.

【答案】x(x+l)(x-l)

【解析】

【分析】本题主要考杳了用提公因式以及公式法分解因式，先提出X，再利用平方差公式分解即可.

详解】解：元3一工

=x(x2-1)

=x(x+l)(x-l).

故答案为：x（x+l）（x-l）.

11.据统计，2023年我国人口数约为14亿4730万，其中473。用科学记数法表示为.

【答案】4.73x1炉

【解析】

【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握.将一个数表

示为4X10”的形式，其中〃为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案.

【详解】解：4730=4.73x10、

故答案为：4.73x103

12.命题“对顶角相等”的逆命题是.

【答案】相等的角为对顶角

【解析】

【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组

成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题

的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.也考查了逆命题.

所以此题可根据交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题.

【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”.

故答案为：相等的角为对顶角.

13.请写出一个函数的表达式，使其图象是以直线％=-2为对称轴，开口向上的抛物线：.

【答案】），=（x+2『

【解析】

【分析】已知对称轴x=-2,根据顶点坐标，开口方向，可写巴满足条件的二次函数解析式.

【详解】解：根据题意，得二次函数的顶点坐标为（-2,/?）,

根据顶点式，得丁=。（/+2『+力，

设。=1,/?=0,

则函数的表达式为y=（/+2『（本题答案不唯一）.

故答案为：y=（x+2『（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了二次函数的性质与解析式的关系，正确写抛物线的顶点坐标是解题的关键.

14.小明在跳绳考核中，前4次跳绳成绩（次数/分钟）记录为：140,138,140,137,若要使5次跳绳成绩

的平均数与众数相同，则小明第5次跳绳成绩是_____.

【答案】145

【解析】

【分析】设第5次跳绳成绩为x次/分钟，由题意易知众数为140,然后根据平均数及众数可进行求解.

【详解】解：设第5次跳绳成绩为x次/分钟，由前4次跳绳成绩可知众数为140,

.140+138+140+137+工

••—1,

5

解得：x=145；

故答案为145.

【点睛】本题主要考查平均数与众数，熟练掌握平均数与众数是解题的关键.

15.如图，PA.尸8是。。的两条切线，切点分别是4、B,ZP=38°,则NAC8=c.

【解析】

【分析】首先连接OA,OB,由尸A、P8是。。的切线,即可得NQ4O=NP6O=90。，又由/P=38。,

即可求得NAOB的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案.

【详解】解：连接。4,OB,作所对的圆周角/AO4，

・.・/%、尸8是。。的两条切线，

:.OA±PA,OB±PBf

，NOAP=NOBP=90°,

•・•ZAOB+ZP=180°,

/.ZAOB=180o-38°=142°,

:.Z.ADB=-ZAOB=7\0,

2

Z4CB+ZAD2?=18O°,

ZACB=180°-71o=109°.

故答案为：109.

【点睛】此题考杳了切线的性质与圆周角定理，掌握辅助线的作法，以及四边形内角和是180,圆内接四

边形对角互补是解题的关键.

16.如图，正方形A3CO的边长为2,点£是边48上的动点，连接EC,将EO绕点后顺时针旋转

90。得到E7V,将EC绕点E逆时针旋转90。得到,连接MN,则线段MV的取值范围为

【答案】4WAIN<2石

【解析】

【分析】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的

判定和性质，勾股定理，不等式的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键.过点M作时产_LA3,

交84的延长线于点尸，过点N作NG_L48,交A8的延长线于点G,作NH工FM于点H,可证得

△MEF^AECB(AAS),得出MF=BE=2-x,EF=BC=2,同理：NG=AE=x,EG=AD=2,得出

FG=EF+EG=2+2=4,再证得四边形尸GM7是矩形，得出〃N=FG=4,FH=NG=x,

MH=MF-FH=2-x-x=2-2x,再运用勾股定理即可求得答案.

【详解】解：如图，过点M作叱交的延长线于点月，过点"作的，45,交A“的延长

线干点G,作NHLFM于点、H,

则Z.EFM=4EGN=ZFHN=ZNHM=90°,

rLr~~T3~~/jA/

D

c

GI4-、N

由旋转得：EM=EC,EN=ED,4CEM=NDEN=辨，

:.AMEF+ZCEB=9Cf,ZDEA+ZNEG=90。，

♦.•ZMEF+ZEMF=9(r,N£>£4+NEZM=90。，

:.NCEB=4EMF,ZNEG=NEDA,

・••正方形ABC。的边长为2,点E是边AB上的动点,

设AE=x(0WxW2),则8E=2—x,

AB=AD=BC=2,^DEA=ZCBE=9QP,

在△MEF和AECB中,

ZEFM=CBE=90°

<NEMF=4CEB,

EM=EC

.\AM£下”△EC6(AAS),

：.MF=BE=2-X,EF=BC=2,

同理：NG=AE=x,EG=AD=2»

:.FG=EF+EG=2+2=4,

ZMFE=ANGE=NFHN=90°,

••・四边形尸GM7是矩形，

:.HN=FG=4,FH=NG=x,

:.MH=MF-FH=2-x-x=2-2x,

在RtAMNH中，MN1=MH2+HN?=(2-2x)2+42=4(A-1)2+16,

y0<x<2,

.\0<(x-l)2<l,

.\16<4(X-1)2+16<20,

即16工脑V2«20,

­/MN>0,

「•线段MN的取值范围为4<M/V<2>/5.

故答案为：4<MN<2>/5

I3

17.如图，二次函数），=1一一5工-4的图象与x轴交于月、6两点（点A在点6的左侧），与y轴交于点

C,则NAC3=°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ〃），轴交BC于。若ANQM

是以N。为腰的等腰三角形，则线段NC的长为.

【答案】©.90（2）.5-舟或地

2

【解析】

【分析】①根据题意求出A（-2,0）,B（8,0）,C（0,Y）,从而可得48=10,AC=2逐,BCS

根据勾股定理的逆定理即可求出结果；

②分两种情况，一是当NQ=M0时，过点N作NH_Lx轴于点”，设AM交）'轴于点K,可证

△A，Ng^ACN（AAS）,求出3H,再由△BHNs/\BCA，求出HN=5-布，故NC=5—不；

二是当NQ=NM时，过点N作N7_L），轴于点了，可证△AOKS^XCOA,求出OK=1,再由

△AOKMNTK求出NK=龙~,故NC=^~.

22

17

【详解】解：①•・•二次函数），=彳/一耳不一4的图象与x轴交于A、B两点，

1,3

...F=0时，一x—工-4=0,

42

解得：x\~-2,加=8,

・••点4的坐标为：（-2,0）：点B的坐标为:（8.0）,

・・・0A=2,03=8,

A4=10,

i3

•・•二次函数y=-x2--x-4的图象与），轴交于点C,

・・・上=0时，y=-4,

，点C的坐标为：（0,-4）,

.♦.OC=4,

•:ZAOC=N8OC=90。，

在心乙40。和R/z^OC中，

AC=物+42=2石，BC=A/82+42=4A/5»

））

在AACB中，（2X/5）-+（475）'=102,AC2+BC2=AB2，

・•・ZkACB是以AB为斜边的直角三角形，

.\ZAG5=9（r；

②当NQ=MQ时，过点轴于点”，设AM交）'轴于点K,如图:

・•.NQMN=NQNM=/ANC,

・.・MQ〃y轴，

・•・4QMN=ZNKC=ZAKO,

ZANC=ZAKO,

:.4OAK=90°-ZAKO=90°-ZANC=/CAN,

V/AHN=90°=ZACN,AN=AN,

・•.ZUHNHACMAAS),

:,AH=AC=2旧,CN=HN,

・•・BH=AB-AH=\0-2y/5，

,:乙HBN=4CBA,/NHB=9Q0=ZACB,

・•・△BHNsABCA，

.HNBHHNi()-2x/5

..=,即Hn一尸=----尸一，

ACBC2石4石

・•・HN=5-45，

・•・NC=5-石;

当NQ=N用时，过点N作NT_L)，轴于点/，如图:

・•・/NQM=4NMQ,

•・・MQ〃y轴,

:.4NKC=/NCK,

:・NK=NC,

•・•ZAKO=ZNKC,

:.ZAKO=ZNCK,

・•・AOAK=90°-ZAKO=90°-ANCK=ZACO,

•:Z4QK=900=NOM,

:.AAO/C^ACOA，

.OKOA0nOK2

OA0C24

・•・OK=1,

：.CK=OC-OK=4-1=3,AK=JOA2+OK2=B

13

：,TK=CT=-CH=-,

22

V/AKO=ZTKN,ZAOK=骄=/NTK,

：,XAOKsANTK,

OKAK即屋正

'7K~~NK2NK

=-3出-，

2

故答案为：90；5—6或2叵.

2

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及函数图象上点的特征，勾股定理的逆定理，等腰三角形的

性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，相

似三角形的判定和性质是解题的关键.

三、解答题（本大题共10小题，共计96分）

18.（1）计算：V27-3cos30°-（l-^）°

，、八号1«+12b

（2）化简：------+--

a-bb-ab-a

【答案】（1）1A/3+1；（2）2

【解析】

【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，二次根式的性质，以及零指数塞运算法则即可求出值；

（2）运用同分母分式的加减法则进行计算即可.

【详解】解:原式=36—上6+1

2

=->/3+1

9j

原式=±±也止竺

a-b

la-2b

a-b

=2

【点睛】此题考查了实数的混合运算及分式的加减，熟练掌握运算法则是解木题的关键.

4（x+l）<7x+7

19.（1）解不等式组:工一1x-4

（2）已知M=2/—2X+3，N=4/_3X+4，请比较M和N的大小.

【答案】（1）-l<x<2；（2）M<N

【解析】

【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解.

（2）先作差，将结果利用配方法分解，再比较大小.

【详解】解：（1）由4（x+l）<7v+7得：x>-l

.x―1x_4.

由-----------<1得：x<2

24

・•・不等式组的解集为一l〈x<2；

（2）N-M

=2X2-X+\

（1Y7

=2x--+->0

I4j8

・•・M<N

【点睛】此题考查了解一元一-次不等式组以及配方法的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.如图，在YA3CO中，E是BC边上一点，连接AE、AC.ED，AC与瓦）交于点AE=AH,

求证：

（1）AC=DE.

（2）OE=OC

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）利用平行四边形的性质，证明/XAEC会△£>（*：即可.

（2）根据全等三角形的性质，证明=即可.

【小问1详解】

YA8CO中，AB〃CD,AB=CD,

,NB+N8CO=180

VAB=AE,

/.AE=CD,ZB=ZAEB,

•・•ZAEB+ZAEC=180>

:・ZAEC=/ECD,

AE二CD

•・•<ZAEC=NECD,

EC=CE

••.△AEC%DCE,

：.AC=DE.

【小问2详解】

由（1）得△AECgADCE,

・•・ZOEC=ZOCE,

:.OE=OC.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的

关键.

21.某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问

卷调杳，并将调查问卷（部分）和结果描述如下：

调查问卷（部分）

1.你每周参加家庭劳动时间大约是h,如果你每周参加家庭劳动时间不足

2h,请回答第2个问题；

2.影响你每周参加家庭劳动的主要原因是________（单选）.

从没时间B.家长不舍得C.不喜欢D.其它

影响中小学生每周参加家庭

劳动的主要原因统计图

某地区1200名中小学生每周

参加家庭劳动时间统计图

中小学生每周参加家庭劳动时间x（h）分为5组：第一组（Q,x<0.5）,第二组（0.5,,x<l）,第三组

（L,x<L5）,第四组（L5,,xv2）,第五组（x..2）.根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？

（2）在本次被调杳的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？

（3）该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h,请结合上述统计图，对该地区中

小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议.

【答案】（1）第二组（2）175人

（3）该地区大部分学生家庭劳动时间没有达到2个小时以上主要原因是学生没有时间；建议：①家长多指

导孩子家庭劳动技能；②各学校严控课后作业总展

【解析】

【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；

（2）根据扇形统计图求出C所占的比例再计算即可；

（3）根据统计图反应的问题回答即可.

【小问I详解】

12C0人的中位数是按从小到大排列后第600和601位的平均数，而前两组总人数为308+295=603

・•・本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在第二组；

【小问2详解】

由扇形统计图得选择“不喜欢”的人数所占比例为1一43.2%—30.6%—8.7%=17.5%

而扇形统计图只统计不足两小时的人数，总人数为1200-200=10【）0

・•・选择“不喜欢”的人数为1000xl7.5%=175（人）

【小问3详解】

答案不唯一、言之有理即可.

例如：该地区大部分学生家庭劳动时间没有达到2个小时以上主要原因是学生没有时间；建议：①家长多

指导孩子家庭劳动技能；②各学校严控课后作业总量；③学校开设劳动拓展课程：等等.

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的

信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项H的数据•：扇形统计图直接反映部分占总体的

百分比大小.

22.将分别标有数字1,2,4,5的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.

（1）随机地抽取一张，则抽到卡片上所标数字为质数的概率是_____.

（2）随机地抽取一张，卡片上所标数字作为十位上的数字（不放回），再抽取一张，卡片上所标数字作为

个位上的数字，请利用列表或画树状图的方法，求这个两位数能被3整除的概率是多少？

【答案】（1）\

【解析】

【分析】（1）先求出这组数中质数的个数，再利用概率公式解答即可；

（2）首先根据题意可直接列出所有可能出现的结果，再算出这个两位数能被3整除的概率.

【小问1详解】

解：数字I,2,4,5中，2,5是质数，

则随机抽取1张，抽到卡片数字是奇数的概率为g；

故答案为：y;

【小问2详解】

解：列表如下：

1245

1121415

212425

4414245

5515254

出现的等可能性结果有12种，两位数能被3整除的有，12,15,21,24,42,45,51,54共有8种,

Q2

工尸（两位数能被3整除）

123

【点睛】本题考查是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，适合『两步完成的事件，熟记概率公式是解决本题的关键.

〜AB3

23.已知△ABC,ZB=60°,—=-.

BC2

BA

（图1）（图2）

（1）如图1,若BC=26，求AC的长;

（2）试确定四边形八NC/J,满足且八。二2。0（尺规作图，不需写作法，但要保留作

图痕迹.）

【答案】（1）AC的长为后：

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）先求得48=3百，在心ZkBCG中，求得8G=6,CG=3,再在即A4CG中，利用勾股定理

即可求解；

（2）分别作线段人8、BC的垂直平分线，两直线相交于点O,以。为圆心，0A为半径作。0,再以4为

圆心，BC长为半径作弧，交弧AC于点。，则四边形4BC。即为所求作.

【小问1详解】

解：过点C作CG_LAB于点G,

・・・止3&,

在R/aBCG中，ZB=60°,

・•・ZBCG=30°,

：.BG=；BC=6CG=y]BC2-BG2=3»AG=AB-BG=26,

在&AACG中，

AC=JAG2+CG2=技；

【小问2详解】

解：如图，四边形A8C。即为所求作.

证明：•・•四边形A8CO是。。的内接四边形，

・•・ZADC+ZB=180°,

由作图知则/=泰），CDUAB,

分别过C、。作A8的垂线，垂足分别为E、R如图:

:,CE=DF,四边形。。£尸为矩形，

且△BCE(HL),CD=EF,

:・AF=BE,

VNB=60。,

・•・ZDAF=60°,

；・BE=；BC,AF=；AD=；BC=BE,

AB3

,~BC=2

:・AF=BE=EF=CD=yBC,

：.AD=2CD,

・•・四边形4BCQ符合题意.

【点睛】本题考查了尺规作图一作三角形的外接圆，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，圆内接

四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

24.如图，△A8D内接于。。，AA是直径，E是BO上一点，且OE=DA，连接AE交8。于E在8。

E

(1)试判断直线4c与。。的位置关系，并说明理由；

3

(2)若AE=24，tanZE=->求。。的半径长.

4

【答案】(1)相切，见解析

(2)12.5

【解析】

【分析】(1)证得NB=ND4C,进而由角的互余关系可证得NRAC=90。，即AC与。。相切.

(2)作先求得。，的长，然后求得人。的长，接着求得8D的长，进而求得人8长，求得半

径.

【小问1详解】

解：AC与。。相切

•：DE=DA

：.NEAD=NE,

*：^EAD=ZDAC,/B=NE

・・.N8=NO4C,

・・・A8是。。直径

・•・ZADB=90°

••・N4+N84Q=90°

，ND4C+/胡。=90唧N8AC=90°

，4C切。。于8

【小问2详解】

解：作O〃_LAE

•:AD=ED,4E=24

:・AH=HE=12

「DH3

tanE=------=—

EH4

：.DH=9

：,ED=AD=\5

•••NB=NE,NAQB=90°

.AD八3

..tanZ/.DB=-----=tanZ.E=—

BD4

.\BD=20

：.AB=25,0。的半径长为12.5

【点睛】本题考查圆与三角形的综合问题，熟练掌握圆的相关性质定理是解题的关键.

3

25.如图，国家会展中心大门的楹面图是由抛物线AD8和矩形33。构成.矩形。43c的边。4=一米，

4

OC=9米，以0C所在的直.线为X轴，以3所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点。的坐

924

标为（,三）•

(1)求此抛物线对应的函数表达式；

(2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM,点M正好在抛物线上，支撑MV_Lx轴，

QV=7.5米，点上是0M上方抛物线上一动点，且点石的横坐标为加，过点E作x轴的垂线，交OM于

点R.

12

①求EF的最大值.②某工人师傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是一米，求他不能刷到大门顶

5

部的对应点的横坐标的范围.

【答案】⑴二」「一27十丝；

512)5

71zo11

(2)①当"2=一时，上户有最大值--；②—一.

2522

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法即可求出函数表达式；

(15、9

(2)①先求出点”坐标为［爹,3j,再求出直线0M的解析式为)，=§x,进而求出“?

=-1/n2+J/H+4=--f/n--l+3，根据二次函数性质即可求出当〃?二:时，所有最大值学；

5545(2)525

121212

②根据师傅能刷到的最大垂直高度是一米，得到当Eb>一时，他就不能刷到大门顶部，令EF=一，得

555

到一，一11+3=U,解得叫结合二次函数性质即可得到他不能刷到大门顶部的对应

512)552-2

311

点的横坐标川的范围是一<m<-.

22

【小问1详解】

解：由题意知，抛物线顶点。的圣标为

24

设抛物线的表达式为

将点代入抛物线解析式得。=4(0-2、24

(44I2)T

解得4=一]，

24

・•・抛物线对应的函数的表达式为》=

T

【小问2详解】

解：①将1=7.5代入y=—g924.

x————中，得y=3,

25

・••点加(印3),

••・设直线OM的解析式为y=依(4w0),

将点3〕代入得?4=3,

12)2

・•・七=2,

5

2

・•・直线OM的解析式为y=gx,

.e\(9?242_1^73If7?16

・・EF=—tn—H------m=――fn2+—m+—=—m—H—

512J55554512)5

V-1<0,

71

当〃?=—时，EF有最大值，为—：

25

12

②;师傅能刷到的最大垂直高度是一米，

5

1?

・••当E产〉一时，他就不能刷到大门顶部，

人“12Hn«7?1612

令EF=丁,即—m—十—=一,

55(2>155

311

解得肛=]"%=5，

又•.，放是关于加的二次函数，且图象开口向下，

311

，他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标）的范围是一<，〃<一.

22

【点睛】本题考杳为二次函数的实际应用，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知识,

熟知二次函数的性质并灵活应用是解题关键.

26.如图，矩形A4CO中，A8=5,8C=4.点P在AO上运动（点P不与点A、。重合）将的沿直

线翻折，使得点人落在矩形内的点M处（包括矩形边界）.

（1）求人户的取值范围;

（2）连接。M并延长交矩形ABC。的AB边于点G,当NA3M=2NADG时，求4P的长.

【答案】（1）0<4P<-

2

（2）25-5万

一2~

【解析】

【分析】（1）根据点。在A。上运动可判断出，点M落在C。上时，AP长度达到最大.利用翻折的性质

和勾股定理求出CM和0M长度，再利用〜△MCB,即可推断出AP最大长度，从而求出AP取值

范围.

AP5

（2）利用已知条件和翻折性质推出NA3P=NADG,从而证明△AQG得出一二一，再根据

AG4

翻折性质、矩形性质和等腰三角形性质推出=,MH=-AG.在RlAPHM中，

2

PM2=PH2+即可求出”长度•

【小问1详解】

解：当M落在CQ上时，4P的长度达到最大，如图所示，

•.•四边形ABCD是矩形,

AB=CD=5»BC=AD=4,ZA=ZC=ZD=90»

•••aABP沿直线翻折，

••N尸M8=NA=90，BM=AB=5,

••CM=\lBM2-BC2=V52-42=3，/PMD+/BMC=90.

DM=5-3=2.

•••NPMD+NMPD=90，

・••4BMC=/MPD.

・・・ZD=ZC=90°,

:^PDM〜AMCB.

•PD—DM

PD2

----=—.

34

3

：.PD=-.

2

：.AP=AD-AP=-.

2

・•/0的取值范围是

2

故答案为：

2

【小问2详解】

由折叠性质得：ZABP:ZMBP，

•••ZABM=2ZABP,

・・・ZABM=2ZADG.

ZABP=ZADG,

•••/DAG=NBAP,

A/AZX7—△ABF*，

AP-AB-5

~AG~~AD~4'

设AP=5x,AG=4x过M作M”_LAE)于从连接AM,

由折叠性质得：AP=MP=5x,AMLBP，

••/DAM=90-ZBAM=ZABP=/ADG.

AM=DM,

/.DH=AH=-AD=2.

2

:.HP=2-5x.

2BAD=NMHA=90，

・•・MN//AG.

•・•DH=AH，

为△4QG的中位线，则A4N=一人G=2Y,

2

在中，PM?=PH〜HM?，

■-(5x『=(2x『+(2-5x『,

.5±>/21

••x=------

2

AP<A£>=4.

"="叵(舍去).

二."=25-5历

2

故答案沏生警

【点睛】本题考查的是矩形的综合题，涉及到的知识点有翻折性质、三角形相似、中位线定理和勾股定

理.解题的关键在于是否能判断由”落在C。上时，AP的长度达到最大.解题的难点在于是否能正确画

出图形，解题的易错点在于是否能排除”的其中•个值.

27.如图，在平面百角坐标系/Qy中,二次函数y=a2+/>-2的图象经过点A(—1,0).5(3,0).与V

轴交于点C,连接3C、AC.

（1）求二次函数的函数表达式；

（2）设二次函数的图象的顶点为。，求直线8。的函数表达式以及sM/CBQ的值；

（3）若点M在线段A8上（不与A8重合），点N在线段8C上（不与乐C重合），是否存在△CMN与

△AOC相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=^x2-^x-2

33

⑵）,=?丫一4：sinZCBD=^^-

365

一“54、f126、<33］

⑶存在，点N的坐标为：［亍，-亍）或［亍，一句或［屋一不

【解析】

【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的函数表达式为y=-2；

OQ