2026-2027学年小升初数学奥数培优（通 用版）-立体几何问题（含答案）

/2026-2027学年小升初数学奥数培优（通用版）立体几何问题1．一个粮囤，上面是圆锥，下面是圆柱（如图）。圆柱的底面周长是12.56m，高是2m，圆锥的高是0.6m。求这个粮囤的体积。2．一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块，现打开水龙头往容器中灌水3分钟时水面恰好没过长方体的顶面，再过18分钟水已灌满容器。已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体的底面面积和容器底面面积之比。3．一个长20厘米，宽15厘米，高16厘米的长方体水槽中装满了水，放入一石块浸没后溢出了一些水，再把石块拿出，水位下降了4厘米。石块的体积是多少立方厘米？4．学校把一个底面直径是6米，高4米的圆锥形沙堆，填铺到一个长15米，宽8米的沙坑里，可以铺多厚？5．把一块长方体铁块熔铸成一个底面半径为4dm的圆柱形铁块。这个圆柱形铁块的高是多少？6．实验、操作的方法在数学学习中很有用！一个数学社团活动小组测量一个圆锥体零件的高度，进行了如下实验。⑴准备一个长方体玻璃缸，并从里面测出长、宽分别是50cm、30cm，缸中水的深度是12cm；⑵将一个底面积是900cm2的圆锥体零件全部浸没在水中；⑶发现此时水的深度是15cm。根据实验结果，这个零件的高度是多少厘米？7．这个箱子的下半部分是一个棱长为20厘米的正方体。这个箱子的体积是多少？8．把一块棱长10cm的正方体铁块熔铸成一个底面直径是20cm的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？（得数保留一位小数）9．一个底面长为30分米，宽为10分米，高为12分米的长方体水池，存有3410．在底面是边长为60厘米的正方形的一个长方形容器里，直立放着一个长100厘米、底面边长为15厘米的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水50厘米深。现在把铁棍轻轻地向上方提起24厘米，露出水面的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米？11．A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一水龙头单独向A注水，一分钟可注满，现将两容器在它们的高度的一半处用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求：（1）2分钟时容器A中的水有多高？（2）3分钟时容器A中的水有多高？12．A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一水龙头单独向A注水，一分钟可注满．现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求（1）2分钟容器A中的水有多高？（2）3分钟时容器A中的水有多高．13．一个圆柱形铁砂袋高2m，底面直径为60cm，里面填满铁砂。若将这些铁砂在地上堆成一个高0.9m的圆锥，则占地面积是多少平方米？14．一个长方体容器的底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面是边长15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深是0.5米，如果只把铁块向上提起24厘米，则水面下降多少厘米?15．将一个底面直径是6厘米、高是5厘米的圆锥形铅坠放入装有水的圆柱形容器（完全浸没），发现水面上升了5厘米且没有水溢出。取出铅坠后，又将一石块放入圆柱形容器（完全浸没），水面上升了4厘米，石块的体积是多少立方厘米？16．这是一个玩具陀螺，请根据图中的条件求出它的体积。如果想把陀螺的圆柱部分涂上油漆，涂漆部分的面积是多少？（单位：厘米）17．科技小组准备鉴定一项皇冠是否为纯金制造。​第一步：称得皇冠的质量是960.2g。第二步：如图，圆柱形玻璃缸的内直径是20cm，它里面装有一定量的水。把皇冠完全浸入水中，水面上升了0.2cm。（1）算一算，皇冠的体积是多少立方厘米？（2）已知每立方厘米纯金的质量约是20g，通过计算说明这个皇冠是否为纯金制造。18．在嵩县第三届科技文化节中，为丰富学校创新活动，培养学生的创新精神和实践能力，实验小学科技手工制作小组制作了神舟飞船模型。右图是模型的一部分，它的体积是多少？19．一个圆柱形玻璃杯，底面直径12厘米，高10厘米，里面装了一些水，然后把一个钢块完全浸没于这个水杯中，杯中的水面上升了3厘米，这个钢块的体积是多少？20．如图：把一个圆锥形谷堆里的谷子全部放到一个1.5米高的圆柱形粮囤里，正好装满。这个圆柱形粮囤的占地面积约是多少？（保留整数）

答案解析部分1．解：底面半径：12.56÷3.14÷2=2（米）

底面积：3.14×2×2=12.56（平方米）

12.56×2+13＝25.12+2.512＝27.632（立方米）答：这个粮囤的体积是27.632立方米。底面周长÷π÷2=底面半径，π×底面半径的平方=底面积，底面积×高=圆柱的体积，底面积×高÷3=圆锥的体积，圆柱的体积+圆锥的体积=粮囤的体积。2．解：18分钟的时间正好是水从没过长方体到灌满容器的时间，所以：

18分钟的灌水量是3÷20×(50-20)=4.5个长方体体积

那么圆柱体与长方体的底面积之比为：4.5×20÷(18×50)=3：4。

答：长方体的底面面积和容器底面面积之比3：4。本题考查等积变形，解题关键是求出18分钟的灌水量，就是灌一个高为20厘米的圆柱体积。根据题意知道，圆柱形容器的高是50厘米，长方体的高是20厘米，灌水到没过长方体上面用了3分钟，灌满容器用时18+3=21分钟，水从没过长方体到灌满容器其实也就是灌一个高为20厘米的圆柱体积，求出18分钟的灌水量，就可以求出容器的高，然后就可以求出长方体底面和容器底面之比。3．解：20×15×4＝300×4＝1200（立方厘米）答：石块的体积是1200立方厘米。石块的体积=长方体水槽的长×宽×水位下降的高度。4．解：3.14×（6÷2）×（6÷2）×4÷3÷15÷8＝37.68÷15÷8＝0.314（米）答：可以铺0.314米厚。本题考查的是圆锥的体积，熟记公式是解答关键。根据圆锥的体积=底面积×高÷3，求出圆锥的体积，再根据长方体体积=长×宽×高，高=长方体体积÷长÷宽，据此解答。5．解：18.84×8×6÷（3.14×42）＝904.32÷50.24＝18（分米）答：这个圆柱铁块的高是18分米。这个圆柱铁块的高=圆柱的体积÷圆柱的底面积；其中，圆柱的体积=长方体的体积=长×宽×高。6．解：50×30×（15-12）×3÷900＝1500×3×3÷900＝4500×3÷900＝13500÷900＝15（厘米）答：这个零件的高度是15厘米。这个零件的高度=长方体玻璃缸的长×宽×（放入零件后的水深-放入零件前的水深）×3÷圆锥零件的底面积。7．解：3.14×（20÷2）2×20÷2+20×20×20＝3.14×100×20÷2+8000＝3140+8000＝11140（立方厘米）答：这个箱子的体积是11140立方厘米。这个箱子由两部分组成，下面是一个正方体，上面是半个圆柱，而且这个圆柱的底面直径是20厘米，因此箱子的体积=正方体的体积+半个圆柱的体积，正方体的体积=棱长×棱长×棱长，半个圆柱的体积=底面积×高÷2。8．解：10×10×10＝1000（立方厘米）1000÷13＝1000×3÷[3.14×100]＝3000÷314≈9.6（厘米）答：这个圆锥形铁块的高是9.6厘米。正方体体积等于圆锥的体积，h=3V÷S，代入数据计算即可。9．解：①若不完全浸没，根据题意可知原长方体水的体积为30×10×9=2700(立方分米)，

而现在放入的圆柱的底面积为330÷11=30（平方分米)．

将圆柱放入后，除去现在的圆柱即为有水部分，

则水面高度为2700÷（300-30)=10(分米)。

10<11因此符合题意。②若不完全浸没，再放入一个同样的圆柱，

则除去两个圆柱即为有水部分，有水部分的底面积为300-30×2=240(平方分米)．

则水面高度为2700÷240=11.25(平方分米)．

由于在这种情况下，已超过，可知圆柱被完全浸没，

因此现在的新体积为2700+330×2=3360(立方分米)，

则高应为3360÷300=11.2(分米).③再放入一个同样的圆柱，

2700+330×3=3690(立方分米)

30×10×12=3600(立方分米)

显然水面高度已经超过12分米，有水溢出．此时水面高度应为12分米

答：水的高度为10分米，水面高度又变成了11.25分米，水面高度又变成了12分米。①由于不知道是否被浸没，假设不完全浸没，先求出水池中水的体积，求出圆柱底面积，用水池底面积减去圆柱底面积，则为水占的面积，体积不变，体积除以现在的面积则为水的高，计算发现结果符合设想；

②先假设不完全浸没，根据①的方法计算出水的高度，发现超过圆柱高，不符合题意，则假设不成立，所以可知圆柱被完全浸没，这时水的体积等于水体积加上两个圆柱体积，体积除以底面积即为水高；

③由于放两个圆柱被完全浸没，所以三个圆柱也会被完全浸没，计算出的体积大于水池容积，所以水面高度已经超过12分米，有水溢出．此时水面高度应为12分米。10．解：(602-152)×50

=(3600-225)×50

=3375×50

=168750(立方厘米)

(168750-602×24)÷(602-152)

=(168750-86400)÷3375

=82350÷3375

=24.4(厘米)

50-24.4=25.6(厘米)

答：露出水面的四棱柱铁棍浸湿部分长25.6厘米。立柱体积=底面积×高，由题意可知，水的体积=(容器底面积-铁棍底面积)×50，据此计算出水的体积；铁棍向上提起24厘米后，水面下降部分水的体积=水的体积-容器底面积×24，用水面下降部分水的体积除以(容器底面积-铁棍底面积)可以求出提起24厘米后水中铁棍的长度，最后再用铁棍的长度减去水中部分的长度即可解答。11．（1）解：2÷1=2

2×2=4

1x4=4(分钟)

1+4=5(分钟)

5÷2=2.5(分钟)

2<2.5

12÷2=6(cm)

答：2分钟时容器A中的水6(cm)（2）解：3>2.5

3÷5=35

12×35=715（1）B的半径是A的2倍，则B的底面积是A的4倍，B的体积也是A的4倍

（2）水面到细管位置需2.5分钟。2分钟时水面高度还没到细管位置，A的水有6cm高。3分钟时水面高度超过细管位置，水深是12cm的312．（1）解：A容器的容积是：3.14×12=3.14×1=3.14(立方厘米)，B容器的容积是：3.14×22=3.14×4=12.56(立方厘米)，12.56÷3.14=4，即B容器的容积是A容器容积的4倍，因为一水龙头单独向A注水，一分钟可注满，所以要注满B容器需要4分钟，因此注满A、B两个容器需要1+4=5(分钟)，已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，2分钟后A中的水位是容器高的一半，即12÷2=6(厘米)答：2分钟容器A中的水有6厘米高.（2）解：因为注满A、B两个容器需要1+4=5(分钟)，所以5÷2=2.5(分钟)时，A、B容器中的水位都是容器高的一半，即6厘米，2.5分钟后两容器中的水位是同时上升的，3分钟后，实际上3﹣2.5=0.5(分钟)水位是同时上升的，0.5÷5=11012×1106+1.2=7.2(厘米)；答：2分钟时，容器A中的高度是6厘米，3分钟时，容器A中水的高度是7.2厘米.已知容器的底面半径是A容器的2倍，高相等，B容器的容积就是A容器的4倍；因此，单独注满B容器需要4分钟，要把两个容器都注满一共需要1+4=5分钟，已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，2分钟后A中的水位是容器高的一半，即12÷2=6(厘米)(其余的水流到B容器了)；由此可知用2.5分钟的时间两个容器中的水的高度相等，都是6厘米，以后的时间两个容器中的水位同时上升，用3-2.5=0.5(分钟)注入两个容器的高度加上6厘米即是3分钟后的高度.13．解：底面半径：60厘米÷100=0.6米，0.6米÷2=0.3米；

3.14×0.3×0.3×2×3÷0.9

=0.5652×3÷0.9

＝1.6956÷0.9

＝1.884（平方米）

答：则占地面积是1.884平方米。本题属于等积变形，圆柱的体积=圆锥的体积；π×底面半径的平方×高=圆柱的体积，圆柱的体积=圆锥的体积，圆锥的体积×3÷圆锥的高=圆锥的底面积。14．解：水体积为0.5×100×(60×60−15×15)=168750（立方厘米）提高24厘米后底部水体积：60×60×24=86400(立方厘米)含铁块高度：(168750−86400)÷(60×60−15×15)=24.4(水总高度：24.4+24=48.4(水面下降：50−48.4=1.6（答：水面下降1.6厘米。本题将水的体积和铁块的体积单独分析。因此体积=底面积×高。因此水的底面积是60×60-15×15，水的体积就是0.5×100×(60×60−15×15)=168750（立方厘米）。

铁块提高24厘米之后，铁块下方就被水注满，因此铁块下方就是一个规则长方体的水的体积，体积是60×60×24=86400(立方厘米)。

这样铁块底部往上，水的体积就是(168750−86400)，而这块水的底面积仍是60×60-15×15，所以对应的高为(168750−86400)÷(60×60−15×15)=24.4(厘米)，这样整个水面高度就是24.4+24=48.4(厘米15．解：6÷2＝3（厘米）13×3.14×32＝47.1÷5×4＝9.42×4＝37.68（立方厘米）答：石块的体积是37.68立方厘米。石块的体积=13×π×半径216．解：3.14×（6÷2）2×5+3.14×（6÷2）2×3×1＝3.14×9×5+3.14×9×（3×13＝141.3+28.26＝169.56（立方厘米）3.14×6×5+3.14×（6÷2）2＝94.2+3.14×9＝94.2+28.26＝122.46（平方厘米）

答：玩具陀螺的体积是169.56立方厘米；涂漆部分的面积是122.46平方厘米。π×底面半径的平方×高=圆柱的体积，π×底面半径的平方×高÷3=圆锥的体积，圆柱的体积+圆锥的体积=陀螺的体积；

底面直径×π=底面周长，底面周长×高=圆柱的侧面积，π×半径的平方=圆柱的底面积，圆柱的侧面积+圆柱的底面积=涂漆部分的面积。17．（1）解：3.14×（2