2026-2027学年小升初数学奥数培优（通 用版）-逻辑推理（含答案）

/2026-2027学年小升初数学奥数培优（通用版）逻辑推理1．刘老师为学校购买运动会的奖品后，回到学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别是8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元。”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了。”（1）王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；（2）刘老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还购买了一个笔记本，但笔记本的单价模糊不清了，只能辨认出应为小于10元的整数，笔记本的单价可能是多少元？2．一些家长和老师陪同小学生参加某数学竞赛，家长为爸爸或者妈妈，他们都不是老师。已知家长、老师以及小学生的总人数为30，其中家长的人数超过一半，妈妈比爸爸多，小学生比妈妈多4人，至少有一个老师，那么在这30人中，爸爸有多少人?3．3个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌。第一局，甲输给了乙和丙，使他们每人的钱数都翻了一番。第二局，甲和乙一起赢了，这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了一倍。第三局，甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍。结果，这3位探险家每人都副了两局而输掉了一局，最后3人手中的钱是完全一样的。细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己的输掉了100元。你能推算出来甲、乙、丙3人刚开始各有多少钱吗4．将100个小球放入依次排列的36个盒子中，如果任意相邻的5个盒子中的小球总数均为14，且第1个盒中有2个小球，求第36个盆子中小球的个数．5．有2017个红球，2017个蓝球，2017个黄球，蓝球遇到红球或黄球遇到红球，就把红球吃掉，两个红球在一起只剩下一个红球，两个蓝球在一起变成一个黄球，两个黄球在一起变成一个蓝球，一个蓝球一个黄球在一起变成一个红球，直到剩下最后一个游戏结束。问游戏结束一共碰撞多少次，最后剩下来的球是什么颜色说明理由。6．从1、2、3、4……205共205个非零自然数中，最多能取出多少个数使得对于取出来的数中的任意三个数a、b、c（a<b<c），都有ab≠c。7．如图，7枚棋子围成一个圆圈，从①开始，每隔1枚取出1枚，依次取走①③⑤⑦➁④，最后剩下⑥，那么如果把100枚棋子围成一圈，从哪枚棋子开始，每隔一枚取走一枚，最后剩下一枚棋子是⑥？8．兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数饸好相同，问：兄弟三人的年龄各多少岁?9．老吴，老周、老杨分别是工程师、会计师和农艺师。还分别是业余作家，画家和音乐家。但不知道每人的职业及业余爱好、只知道：⑴业余作家、音乐家常和老吴一起看电影：⑵画家常请会计师讲经济学的道理：⑶老周一点也不爱好文学：⑷工程师埋怨自己对绘画、音乐一窍不通。请你指出每个人的职业和爱好。10．唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100米．唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第n次指令，米老鼠就以原速度的n×1011．一天，甲、乙、丙三人去钓鱼．他们将钓的鱼放在一个鱼篓中，然后躺下休息，结果都睡着了．甲先醒，将鱼分成三份多一条，甲将多的一条鱼放回河中，取其中一份走了．乙醒了，将剩下的鱼分成三份多一条，乙将多的一条鱼放回河中，取其中一份走了．丙醒后，将剩下的鱼分成三份，这时也多一条．问甲、乙、丙至少钓了多少条鱼？12．在“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组。在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场。根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方赛平，两队各得1分。已知：①这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数；②乙队总得分排在第一；③丁队恰有两场和对方踢平，其中一场是与丙队踢平的。根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是哪支队?13．小明将若干棋子放入如图3*3方格的小正方形内，每个小正方形内可以不放棋子，也可以放等于或多余1枚棋子，现在计算每一行，每一列的棋子总数，得到6个数，这6个数互不相同，那么最少需要放多少枚棋子。14．实验室里，水平萫面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的4cm高度处连通(即管子底离容器底4cm)，现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm（1）开始注水1分钟，丙的水位上升cm；（2）开始注入多少分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm15．已知四位数abcd是11的倍数，且有b+c=16．甲、乙、丙三人共有卡片48张。甲先拿出自己的一半平分给乙和丙，接着乙又拿出一半平分给甲和丙，最后丙又拿出一半平分给甲和乙，这时三人的张数一样多。原来三人各有卡片多少张?17．有15位同学，每位同学都有编号，分别为1号，2号……15号，1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”……依次下去，每位同学都说这个数能被它的编号整除，老师做了一一验证，发现编号中连续的两位同学说的不对，其余都对。（1）说得不对的是哪两位同学？（2）如果1号同学写的是一个六位数，请求出这个六位数的最小值。18．红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着放在桌子上一排。甲、乙、丙、丁、成五个人猜各包里的珠子的颜色。甲猜：“第二包紫色，第三包黄色。”乙猜：“第二包蓝色，第四包红色．”丙猜：“第一包红色，第五包白色。”丁猜：“第三包蓝色，第四包白色．”成猜：“第二包黄色，第五包紫色。”结果每个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子？第一包第二包第三包第四包第五包颜色19．如图，一副扑克牌的排列顺序为：第一张是大王，第二张是小王，然后按桃、红桃、梅、方四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，……，J2Q，K的顺序排列，将这54张牌按1~54编号，称如下操作为一次操作：取走所有编号为奇数的牌，将剩下的(如果有)牌从1开始重新编号.若干次操作后，全部的牌都被取走.请问：取走最后一张牌的是第几次操作?最后一张牌是什么?20．电车公司维修站有7辆电车需要维修，如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为(单位：分钟)12，17，8，18，23，30，14。每辆电车停开1分钟经济损失11元，现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独入作，要使经济损失降到最低，最少损失多少元？

答案解析部分1．（1）解：（1）设单价为8元的课外书为x本，则单价为12元的课外书为（105-x）本，

根据题意，得：8x+12（105-x）=1500-418，

解得：x=44.5（不符合题意）．

所以，王老师说他肯定搞错了；（2）解：（2）设单价为8元的课外书为y本，则单价为12元的课外书为（105-y）本，设笔记本的单价为b元，

根据题意，得：0＜1500-[8y+12（105-y）+418]＜10，

解得：0＜4y-178＜10，

即：44.5＜y＜47，

所以，y应为45本或46本．

当y=45本时，b=1500-[8×45+12（105-45）+418]=2，

当y=46本时，b=1500-[8×46+12（105-46）+418]=6，

即：笔记本的单价可能为2元或6元．（1）设单价为8元的课外书为x本，则单价为12元的课外书为（105-x）本，根据题意建立方程即可求解；

（2）设单价为8元的课外书为y本，则单价为12元的课外书为（105-y）本，设笔记本的单价为b元，根据题意建立不等式组，从而确定笔记本的单价．2．解：家长的人数超过一半，所以老师少于30÷2=15（人），即不超过14人；相应的，家长就不少于30-14=16(人）。

在至少16个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于16÷2=8（人），即不少于9人．

因为小学生比妈妈多4人，因此小学生至少9+4=13（人）。并且还至少有1个老师．那么，在30人中，爸爸有

30-9-13-1

=21-13-1

=8-1

=7（人）。

答：爸爸有7人。在30人中，家长的人数超过一半，所以老师少于15人，即不超过14人；相应的，家长就不少于16人，在至少16个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于8人，即不少于9人，因为小学生比妈妈多4人，因此小学生至少13人，并且还至少有1个老师，进而求出爸爸的人数。3．解：假设原来甲、乙、丙3人原来各有x元、y元、z元

则第一局后，乙有2y元，丙有2z元，甲有x-y-z元

则第二局后，甲有2（x-y-z）元，乙有4y元，丙有2z-（x-y-z）-2y=3z-x-y元

则第三局后，甲有4（x-y-z）元，丙有2（3z-x-y）元，乙有4y-2（x-y-z）-（3z-x-y）=7y-x-z元

所以4（x-y-z）=2（3z-x-y）=7y-x-z=13（x+y+z）

因为甲输掉了100元，所以4（x-y-z）+100=x

解得x=260，y=80，z=140

答：甲刚开始有260元，乙刚开始有80元，丙刚开始有140元。首先，设甲、乙、丙三人起始金额分别为x元、y元、z元。第一局后，甲输给乙和丙，乙丙金额翻倍，甲金额变为x-y-z；第二局后，甲和乙赢了，甲乙金额翻倍，甲金额变为2（x-y-z），乙金额变为4y，丙金额变为2z-（x-y-z）-2y=3z-x-y；第三局后，甲和丙赢了，甲丙金额翻倍，甲金额变为4（x-y-z），丙金额变为2（3z-x-y），乙金额变为4y-2（x-y-z）-（3z-x-y）＝7y-x-z；最后，三人金额相等，且甲输了100元，即4(x-y-z)=2(3z-x-y)=7y-x-z=13(x+y+z)；通过甲输掉100元的条件求解x、y、z的值，所以4（x-y-z）+100=x，解得x=260，y=80，z=140。4．解；因为任意相邻的5个盒子中的小球总数均为14，

所以依次排列的前35个盒子中的小球总数为14×（35÷5）＝98（个），

所以第36个盒子中小球的个数为100－98＝2（个）。

答：第36个盒子中小球的个数是2个。因为任意相邻的5个盒子中的小球总数均为14，所以依次排列的前35个盒子中的小球总数为14×（35÷5）＝98个，又已知依次排列中的36个盒子中共有100个小球，所以第36个盒子中小球的个数为100－98＝2个。5．解：（1）由于游戏开始时有蓝、红、黄各2017个球，总共是6051个球。

游戏结束时剩下一个球，意味着在开始到结束的过程中，每碰一次就减少一个球，所以总共需要碰撞6051-1=6050次。

（2）2017个蓝色球两两相碰，每三球为一组可以转换成一个黄色球，即2017÷3=672组余1个球，所以可以得到672个黄色球和1个蓝色球。

同理，2017个黄色球也按照此规则转换，可以得到672个蓝色球和1个黄色球。

最终，剩下的蓝色、黄色和红色球的数量都是1个，由于红色球与任何颜色相碰都会被吃掉，所以最后两个不同颜色的球（黄蓝或蓝黄）相遇会合并成一个红色球，使得所有球都被消耗掉，剩下唯一的红球。

答：一共碰撞6050次，最后剩下来的球是红颜色。该问题涉及到一种特殊的“游戏”机制，通过分析已知条件，可以得知每碰一次会减少一个球，而最终目标是确定在所有球都碰完之后，剩下的最后一个球的颜色以及总共的碰撞次数。通过观察和归纳，可以发现一些规律，如两个相同颜色的球相碰会变成另一种颜色，而红色球碰上其他颜色的球会被吃掉，只留下对方。6．解：首先，1，14，15，…，205这193个数，满足题设条件．

事实，设a，b，c(a<b<c）这三个数取自1，14，15，.…，205.

若a=1，则ab=b<c；

若a>1，则ab≥14x15=210>c.

另一方面，考虑如下12个数组：

(2，25，2x25)，

(3，24，3x24)，.……

(13，14，13x14)，

上述36个数互不相等，且其中最小的数为2，最大的数为13x14=182<205，

所以，每一个数组中的三个数不能全部都取出来，

于是，如果取出来的数满足题设条件，那么取出来的数的个数不超过205-12=193（个），

综上所述，从1，2，3，…，205中，最多能取出193个数，满足题设条件．

答：最多能取出193个数.根据假设1，14，15，.…，205这193个数，满足题设条件，再验算可知，a=1与a>1时，ab≠c，于是再考虑（2，25，2x25)，(3，24，3x24)，(13，14，13x14)组合，验算即可．7．解：100枚棋子是偶数个，根据规律，最后剩下的应该是一个偶数，且是最大偶数，即100。但题目要求最后剩下的棋子是⑥，这意味着我们需要通过某种方式将原来的规律变换，使得最后剩下的棋子是⑥。

由于100枚棋子的取法应该是从第一个开始，每隔一个取一个，最后剩下100。为了改变这个结果，使最后剩下的棋子变成⑥，我们可以尝试从⑥的后面开始取，即从⑦开始。因为按照规则，每隔一个取一个，这样就会导致⑥被跳过，不会被取走，而⑦则会作为取棋子的起始点。

按照这样的思路，从⑦开始，依次取⑨、⑪、…直到最后一枚，这时最后剩下的棋子将会是⑥。规律：偶数个棋子按1、3、5取，最后剩下的一个是最大偶数；奇数个棋子剩最大奇数前一个数，也就是最大的那个偶数。据此推理解答。8．解：最后每人有：24-3=8个

则老大没分之前有：8×2=16个，最后分给老二、老三各16-2-2=4个，

则老大分之前，两人原各有8-4=4个：

老二没分之前为4×2=8个，老大14个，老三2个

老三没分之前为4个，老大13个，老二7个

今年老大13+3=16岁，老二7+3=10岁，老三4+3=7岁

答：现在兄弟三人的年龄各是16岁、10岁、7岁由题意可知，兄弟三人三年前的年龄和是24岁，我们可以根据题意，根据他们所得的桔子个数，利用逆推的方法分别求出三年前兄弟三人每人得到的桔子数，就可以求得他们现在各自的年龄。9．解：由表（2）得出：老吴是业余画家，老周是业余音乐家，老杨是业余作家；

由（3）得出：工程师是老杨，会计师是老周，农艺师是老吴。

答：老吴，业余画家，农艺师；老周，业余音乐家，会计师；老杨，业余作家，工程师。由表2得出：老吴是业余画家，老周是业余音乐家，老杨是业余作家；由表3得出：工程师是老杨，会计师是老周，农艺师是老吴。

10．解：米老鼠跑完全程用的时间为：10000÷125=80（分钟），

唐老鸭跑完全程用的时间为：10000÷100=100（分钟），

唐老鸭比米老鼠多花：100-80=20（分钟)，

唐老鸭通过这种遥控器发出第n次指令浪费米老鼠的时间为：1+125×n×10125=1+0.1n，

当n为1时，浪费米老鼠的时间为：1.1分钟，

当n为2时，浪费米老鼠的时间为：1.1+1.2分钟，

当n为3时，浪费米老鼠的时间为：1.1+1.2+1.3分钟，用n表达出唐老鸭通过这种遥控器发出第n次指令浪费米老鼠的时间，再计算出唐老鸭比米老鼠多花的时间，只需要让n最小时，浪费米老鼠的时间大于唐老鸭比米老鼠多花的时间即可。11．解：设原来有x条鱼，丙拿走y条鱼，

第一次分鱼后剩：x−1×23

第二次分鱼后剩：x−1×23−1×23设原来有x条鱼，用x表示每次分鱼的条数，再设丙拿走y条鱼，列出等式，当y最小时，x则为最小，由于x为整数，只需要推出y为最小时，x为最小整数即可。12．解：根据题意，这4支队伍的得分分别为1分，3分，5分，7分；

它们的总得分为16分，比18分少了2分，说明全部比赛中有2场平局，其他场次都分出了胜负；

由于丁队恰有两场同对方踢平，说明甲、乙、丙三支队之间的比赛没有平局。

根据题意可知乙得了7分，只能是两胜一平，所以乙胜了甲、丙，平了丁；

丁平了乙、丙，则丁与甲的比赛丁胜了，丁共得5分（丁如果负了则得2分，分数与前面的分析不符）；

所以最后剩下的一场比赛只能是甲胜了丙，甲共得3分，丙共得1分；即总得分排在第四的是丙队。

答：总得分排在第四的是丙队。由于每场比赛的两支队伍的得分之和不是3分就是2分，而4支队伍共要打6场比赛，所以最后4支队伍的得分总和在12到18之间。由于这4支队伍的得分是4个连续奇数，只可能是1，3，5，7（因为3，5，7，9的和已超过18），也就是说4支队伍的得分分别为1分，3分，5分，7分，再结合比赛情况进行推理即可。13．解：尝试最小的和：0+1+2+3+4+5=15，由于三行之和=三列之和=总和，15不是偶数，所以，16÷2=8（枚），经试验，如图所示正好符合题意：

答：最少需要放8枚棋子。要使放的棋子数最少，那么就要使6个数的和最少，尝试最小的和：0+1+2+3+4+5=15，由于三行之和=三列之和=总和，15不是偶数，所以，再增加1枚，是15+1=16，则16÷2=8，所以3行，3列的棋子总数是8，据此解答即可。14．（1）10（2）解：设开始注入t分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm，有两种情况：

①甲的水位不变时：

由题意得：56t-1=0.5，

解得：t=95，

103×95=6＞4，

所以此时丙容器已向乙容器溢水，

4÷103=65分钟，56×65=1cm，

即经过65分钟时丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升1cm，

1+2×56(t-65)-1=0.5，

解得：t=32；

②当乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时：

因为乙的水位到达管子底部的时间为：65+(4-1)÷56÷2=3分钟，

4-1-2×103(t-3)=0.5，

(1)解：因为甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升56cm，得到注水1分钟，丙的水位上升56cm×4=103cm。

故答案为：103。

(1)由甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升号5615．解：∵bc是完全平方数，只可能是16，25，36，49，64，81这六种可能，由b+c=a，此时相应的a为7，7，9，13，10，9，其中13和10显然不能作为四位数的首位数字

∴满足要求的四位数可能是716d，725d，936d，981d这四种可能性，根据整除的特征：11|abcd，应有11|（b+d）-（a+c），上面四个数经试验有：11|（d+1）-（7+6）时，d可以为1

11|（d+2）-（7+5）时，d不存在

11|（d+3）-（9+6）时，d可以为1

11|（d+8）-（9+1）时，d可以为2

故满足条件的四位数有7161，9361，9812

答：满足条件的四位数有7161，9361，9812。解：在三个已知条件中，b+c=a说明给出b和c，a就随之确定，再由11|abcd，可定d，而bc完全平方数，将b，c的取值定在两位平方数的十位和个位数字范围内，只要从这个范围内调出符合要求的数就可以了。同时应注意：bc为完全平方数，表示bc是两位整数，6≠0，因此不考虑00，01，04，09这四种情况，否则还应加上1012，4048，9097这三个四位数。16．解：48÷3＝16张

丙拿出一半平分给甲和乙后得到每人各16张的结果，

则丙原来是：16×2=32张

甲、乙各有16÷2=8张

甲、乙原有16-8=8张

乙拿出一半平分给甲和丙得到甲8张，乙8张，丙32张的结果，

则乙原来有：8×2=16张

甲、丙各有：8÷2=4张

甲原有8-4=4张

丙原有32-4=28张

甲先拿出自己的一半平分给乙和丙得到甲4张，乙16张，丙28张的结果，

则甲原来有：4×2=8张

乙、丙各有：4÷2=2张

乙原有：16-2=14张

丙原有28-2=26张

答：甲原来有8张，乙原来有14张，丙原来有26张．此题可用逆推的方法解答，从最后的条件入手，一共有48张，最后三人的数量相同，用48除以3，即可求出最后最后各有16张；然后逆着变化的情况，从结果出发，列表逐步得出原来三人的张数．17．（1）解：①1是所有自然数的因数，所以1正确。

②假设2和3不是这个数的因数，那么6也不是这个数的因数，矛盾，所以2和3肯定都是这个数的因数。

③3是，那么4肯定也是。如果4不是，那么3和4的最小公倍数12也就不是这个数的因数，所以4是正确的。

④因为2和3都是它的因数，所以6肯定也是它的因数。由于有一组相邻的数不是这个数的因数，所以5只能也是，因为它左右相邻的都是。

⑤7也是正确的。因为如果7不正确，那么2和7的公倍数14也就不正确。由此推算，7是正确的。

⑥由于2和5，3和4，2和7，3和5都是正确的，所以它们的最小公倍数10，12，14，15都是正确的。所以它们之间的数11，13也是正确的。

⑦最后只剩下8和9，所以不正确的是8和9。（2）解：8和9以外的1~15所有自然数的最小公倍数是：2×2×3×5×7×11×13=60060，所以要求出这个最小公倍数60060的倍数。

60060×2不符合，因为再添一个质因数2，这个数就是8的倍数了；

60060×3不符合，因为再添一个质因数3，这个数就是9的倍数了

60060×3不符合，因为再添加一个质因数3，这是就是9的倍数；

60060×5=300300，符合题意。

所以，这个六位数的最小值是300300。本题（1）问需要运用最小公倍数和因数来依次分析讨论，最后发现只有8和9无法分析得出，故而得出结论；

（2）问需要运用质数来先确定最小公倍数，然后分别试算，最后得出答案。18．第一包第二包第三包第四包第五包颜色红色蓝色黄色白色紫色根据题意，假设甲猜的“第2