2026-2027学年小学奥数思维训练-排列组合（经典透析）（含答案）

/小学奥数思维训练排列组合（经典透析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．小明和小王从北京出发先到天津看海，然后再到上海东方明珠塔参观．从北京到天津可以坐火车或者坐公共汽车，坐火车有4种车次，坐公共汽车有3种车次；而从天津到上海可以坐火车，公共汽车，轮船或者飞机，火车有3种，汽车有5种，轮船有4种，飞机有2种．问小明和小王从北京到上海旅游一共有多少种走法？2．某公园有两个园门，一个东门，一个西门．若从东门入园，有两条道路通向龙凤亭，从龙凤亭有一条道路通向园中园，从园中园又有两条道路通向西门．另外，从东门有一条道路通向游乐场．从游乐场有两条道路通向水上世界，另有一条道路通向园中园．从水上世界有一条道路通向西门，另有一条道路通向小山亭，从小山亭有一条道路通向西门．问若从东门入园，从西门出园一共有多少种不同的走法（不走重复路线）？3．由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？4．如下图，A、B、C、D、E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？5．4名同学到照相馆照相。他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？6．从分别写有1、3、5、7、8五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：①有多少个不同的乘积？②有多少个不同的乘法算式？7．如下图，问：①下左图中，共有多少条线段？②下右图中，共有多少个角？8．从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？9．国家举行足球赛，共15个队参加．比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队．各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）．然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军．问：①共需比赛多少场？②如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？参考答案：1．98种【解析】【分析】首先看他们完成整个过程需要几个步骤，这是判断利用加法原理和乘法原理的依据．很明显整个过程要分两步完成，先从北京到天津，再从天津到上海，应该用乘法原理．我们再分开来看，先看从北京到天津，无论是坐火车还是汽车都是一步完成，所以要用加法原理，同样的道理，从天津到上海的走法计算也应该用加法原理．【详解】解：从北京到天津走法有：4+3=7种，从天津到上海走法有：3+5+4+2=14（种）．从北京到上海的走法有：7×14=98（种）．答：小明和小王从北京到上海旅游一共有98种走法．2．10种【解析】【详解】解法一：这个题的已知条件比较复杂．我们可将已知条件稍加“梳理”：1.从东门入园，从西门出园；2.从东门入园后，可以通向两个游览区，龙凤亭与游乐场；3.从龙凤亭经园中园可达到西门；4.从游乐场经水上世界可达到西门，或从游乐场经园中园可达到西门；5.从水上世界经小山亭可达到西门；根据以上五条可知，从东门入园经龙凤亭经园中园达到西门为一主干线．而东门到龙凤亭有两条不同路线；龙凤亭到园中园只有一条路线；园中园到西门又有两条不同的路线．由乘法原理，这条主干线共有2×1×2=4种不同的走法．再看从东门入园后到游乐场的路线．从东门到游乐场只有一条路，由游乐场分成两种路线，一是经园中园到西门，这条路线由乘法原理可知有1×1×2=2种不同走法；二是经水上世界到西门，从水上世界到西门共有两条路线（由水上世界直接到西门和经小山亭到西门），再由乘法原理可知这条路线有1×2×2=4种不同路线．最后由加法原理计算．从东门入园从西门出园且不走重复路线的走法共有2×1×2+1×1×2+1×2×2=10种．解法二：“枚举法”解题．如图，图中A表示东门，B表示西门，C表示龙凤亭，D表示园中园，E表示游乐场，F表示水上世界，G表示小山亭，线表示道路．不同的走法有10种．

答：不走重复路线，共有10种不同走法．【点睛】本题主要考察加法乘法原理．先分类利用加法原理，再对每一类进行分步利用乘法原理．建议可以利用加法与乘法原理的题型就没必要用枚举法，因为枚举法比较容易重复和遗漏．3．①48个②18个【解析】【分析】在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成，最后要用乘法原理来处理。【详解】解：①要求组成不相等的三位数。则每个位数上的数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法，由乘法原理，共可组成3×4×4＝48个不相等的三位数。②要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取0，有3种不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字，故有3种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法，由乘法原理，共有3×3×2＝18个没有重复数字的三位数。【点睛】在解题之前首先确定解题方法，然后各个击破就可以了。运用乘法原理时的分步时，应该先从限制条件最多的地方下手，比如此题中就应该从百位开始取，而不应该先从其他位取。另外特别要注意“是否重复”这个条件，因为这关系着后面每一步的方法数。4．360种【解析】【分析】首先确定解题方法，将染色这一过程分为依次给A、B、C、D、E染色五步，很明显要用乘法原理，现在只要算出各个量就行了．【详解】解：先给A染色，因为有5种颜色，故有5种不同的染色方法；第2步给B染色，因不能与A同色，还剩下4种颜色可选择，故有4种不同的染色方法；第3步给C染色，因为不能与A，B同色，故有3种不同的染色方法；第4步给D染色，因为不能与A，C同色，故有3种不同的染色方法；第5步给E染色，由于不能与A，C，D同色，故只有2种不同的染色方法．根据乘法原理，共有不同的染色方法5×4×3×3×2＝360（种）．【点睛】染色问题，一般用乘法原理．但要注意限制性条件，从限制条件最多的部分的开始分步．5．24种【解析】【分析】4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上。所以这是一个排列问题。我们的问题就是要从四个不同的元素中取四个，排在四个位置。这时n＝4，m＝4。【详解】解：由排列数公式知，共有种不同的排法。答：共有24种不同的排法。【点睛】这个问题也可以用乘法原理来做。一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化。6．①10个

②20种【解析】【分析】①要考虑有多少个不同乘积．由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，因为乘法的交换率，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题．②要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题．【详解】解：①由组合数公式得到，共有个不同的乘积．②由排列数公式，共有＝5×4＝20种不同的乘法算式．答：共有10个不同的乘积，20种不同的乘法算式．7．①21条

②55个【解析】【分析】①在线段AB上共有7个点（包括端点A、B）．注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，而与选这两个端点的顺序无关，所以，这是一个组合问题．②从O点出发的射线一共有11条，它们是OA，OP1，OP2，OP3，…，OP9，OB．注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角．显然，是组合问题．【详解】解：①由组合数公式知，共有条不同的线段；②共有种不同的取法，所以，可组成个角．由组合数公式知，共有个不同的角．【点睛】在几何计数当中也用到了很多排列组合的方法．8．31种【解析】【分析】首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理．当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理．由此可知这是一道利用两个原理的综合题．关键是正确把握原理．【详解】解：符合要求的选法可分三类：设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张．由乘法原理有5×3＝15种选法．第二类为：国画、水彩画各一幅，由乘法原理有5×2＝10种选法．第三类为：油画、水彩画各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法．这三类是各自独立发生互不相干进行的．因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有15＋10＋6＝31种．答：有31种选法．【点睛】我们讨论了加法原理、乘法原理、排列、组合等问题．事实上，这些问题是相互联系、不可分割的．有时候做某件事情有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成．在计算做这件事的方法时，既要用到乘法原理，又要用到加法原理．9．①55场

②110场【解析】【分析】①实行单循环赛，比赛的所有场次包括三类：第一组中比赛的场次，第二组中比赛的场次，决赛时比赛的场次．总的场次计算要用加法原理．②由于是实行主客场制，每两个队之间要比赛两场，比赛场次是①中的2倍．另外，由于主客场制不仅与参赛的队有关，而且与比赛所在的城市（即与顺序）有关．还可以用排列的知识来解决．【详解】解：①第一组中8个队，每两队比赛一场，8个