2026-2027学年小学奥数思维训练-容斥原理（拓展训练）（含答案）

/小学奥数思维训练容斥原理（拓展训练）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．边长为6、5、2的三个正方形，如图所示，求它们的盖住部分的面积．2．在1到1000的自然数中，既不是平方数也不是立方数的数有多少个？3．求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？4．某校有28名学生参加市运动会，参加跑步类项目的有15人，参加跳类项目的有13人，参加投掷类项目的有14人，既参加跑又参加跳项目的有4人，既参加跑又参加投掷项目的有6人，既参加跳又参加投掷项目的有5人，三种项目都参加的有2人，试说明：这个报名表有误．5．分母是1001的最简真分数，共有多少个？6．学校六年级竞赛班有50人，共有三个科技兴趣小组：天文、无线电和计算机，参加天文组的有38人，参加无线电组的有35人，参加计算机组的有31人，既参加天文组又参加无线电组的有29人，既参加天文组又参加计算机组的有28人，既参加无线电又参加计算机组的有26人，三个小组都参加的有24人，试求三个小组都没有参加的人数．7．不超过201的自然数中，至少有两个数字相同的奇数有多少个？8．某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日语，有3人既会英语又会俄语，有2人既会俄语又会日语，有2人既会英语又会日语，有1人英、日、俄这三种语言全会，只会一种外语的人比一种外语也不会的人多多少人？9．48人中无弟弟的有38人，有弟弟无妹妹的有8人，无弟弟有妹妹的人数是有弟弟有妹妹人数的2倍，试问：这48人当中是独生子女的有几个？10．学校举行各年级学生画展，其中18幅不是六年级的，20幅不是五年级的，现在知道五、六年级共展出22幅画，问：其他年级共展出多少幅画？11．如图，5条同样长的线段拼成了一个五角形。如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角形上红色点最少有多少个？参考答案：1．53【解析】【分析】直接利用三者容斥原理的公式进行计算，首先应该分别算出各相应部分面积．①三个正方形的面积；②两两重复部分的面积；③三个正方形均重复的部分面积．进而求出它们的盖住部分的面积．【详解】三个正方形的面积：5×5=25

6×6=36

2×2=4两两重复部分的面积：3×3=9

1×2=2

1×2=2三个正方形均重复的部分面积：1×1=1盖住部分的面积是：25+36+4-9-2-2+1=53答：它们的盖住部分的面积是53．2．962【解析】【分析】如图，直接利用二者容斥原理的公式进行计算，首先应该分别算出各相应部分个数．【详解】1-1000中，312＜1000＜322，所以平方数个数为31个．103=1000，所以立方数个数为10个．即是平方数也是立方数则应该是六次方数，36＜1000＜46，所以个数为3个．不是平方数也不是立方数的个数是：1000－（31+10-3）=962（个）．答：1到1000的自然数中，既不是平方数也不是立方数的数有962个．3．67个【解析】【分析】先求出100以内5的倍数个数和6的倍数个数两者相加，再减去5和6共同的倍数个数。最后100减去前者，就是所要求的数。【详解】5的倍数个数：100÷5＝20（个）6的倍数个数：100÷6＝16（个）…430的倍数个数：100÷30＝3（个）…10不是5，6倍数的数有：100－（20＋16－3）＝67（个）答：1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有67个。【点睛】此题为两者关系的容斥原理与数论倍数相结合题型，求出各部分个数，利用公式计算。4．通过计算，总人数为29人，与已知条件为28人相互矛盾，所以报表有误．【解析】【分析】可以根据其他数据计算学生总人数，看是否等于已知条件，利用容斥原理公式．【详解】由题意可计算总人数为：15+13+14-4-6-5+2=29（人）．与已知条件为28人相互矛盾，所以报表有误．5．720【解析】【分析】此题为容斥原理与数论知识的结合考察．【详解】解法一：1001=7×11×13，所以分子不能是7，11，13的倍数．7的倍数有143个，11的倍数有91个，13的倍数有77个，7×11的倍数有13个，13×7的倍数有11个，11×13的倍数有7个，只有1001是7、11、13的倍数．最简真分数个数为：1001-（143+77+91-7-13-11+1）=720（个）解法二：（7-1）×（11-1）×（13-1）=720（个）答：以1001为分母的最简真分数共有720个．6．5人【解析】【分析】容斥原理基本题型，可列出方程，也可进行公式变形．【详解】解法一：设三个小组都没有参加的人数是X（38+35+31-29-28-26+24）+x=50解得x=5解法二：50-（38+35+31-29-28-26+24）=5（人）答:三个小组都没有参加的人数有5人．7．23个【解析】【分析】此题较为复杂，是容斥原理与排列组合知识的综合题型．首先按数位分两大类：两位数与三位数．两位数中：只有5个（11、33、55、77、99）符合要求．三位数的个数必须利用容斥原理公式计算：至少两个数字相同的反面是三个数字都不相同，奇数的反面是偶数，所以设计韦恩图为：可看出外围部分即为所求至少有两个数字相同的奇数．【详解】两位数中：只有11、33、55、77、99共5个符合要求．三位数中：三个数字都不相同的数字个数为9×8=72（个）偶数有50个三个数字都不相同的偶数为5×8=40个至少有两个数字相同的奇数为100-（72+50-40）=18（个）所以不超过201的自然数中，至少有两个数字相同的奇数有18+5=23（个）．答：不超过201的自然数中，至少有两个数字相同的奇数有23个．8．3人【解析】【分析】此题为基本计算题，一种外语也不会的人可以直接利用公式变形算出，只会一种外语的人数应该要用间接法求出．【详解】解法一：只会一种外语的人数为：6+5+5-（3+2+2）×2+1×3=5（人）一种外语也不会的人数为12-（6+5+5-3-2-2+1）=2（人）所以只会一种外语的人比一种外语也不会的人多5-2=3（人）．解法二：用分块计数法如下图可知，只会一种外语的有2+2+1=5人，一种也不会的有2人．所求答案是5-2=3人．9．34个【解析】【分析】无弟弟的有38人，有弟弟无妹妹的8人，剩下的就是有弟有妹的，所以，有弟有妹的人数为：48－38－8＝2人，则无弟有妹的人数为：2×2＝4人，所以独生子女的人数＝无弟弟的人数－无弟有妹的人数为：38－4＝34人。【详解】48－38－8＝10－8＝2（人）38－2×2＝38－4＝34（人）答：独生子女的有34个。【点睛】此题主要考查学生对容斥问题的理解与应用。10．8幅【解析】【分析】其中18幅不是六年级的，换句话说，一至五年级共展出18幅；20幅不是五年级的，就是说一、二、三、四、六年级共展出20幅，从中可以看出一、二、三、四年级总张数的2倍加上五、六年级张数的和，一共是18+20=38幅，又因为五、六年级共展出22幅画，因此一至四年级张数和的2倍是38-22=16幅．从而可以求出一至四年级共展出16÷2=8幅．【详解】解：18+20=38（幅）

38-22=16（幅）

16÷2=8（幅）答：其他年级共展出8幅．11．9960个【解析】【分析】此题属于容斥原理与最值问题相结合题型，由于未知条件仅为红色点总数和重复