2021年陕西省汉中市高考数学一模试卷（文科）

单选题1.(5分)已知集合A={z|x²+x-2>0},B={-1,0,2},则(CRA)∩B=()A.{2}B.{-1,0}C.{0,2}D.{-1,0,2}2.(5分)设复,则复数2在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(5分)设x=θ是函数f(x)=3cosx+sinx的一个极值点，则tanθ=()4.(5分)埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国.古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂，采用的思路可以说是世界上独一无二的.古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数.埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确的是()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(5分)直线ax+y-1=0被圆x²+y²-2x-8y+13=0所截得的弦长为2√3,则a=()7.(5分)五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”,中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为()8.(5分)设1,m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是()A.若lIm,mCα,则l⊥αB.若l⊥α,llm,则m//D.若l//α,m//α,则I//m9.(5分)若a<b<0,则下列不等式成立的是()A.B.a²b>ab²C.-ab<-a²BC=√3,AA₁=2,则三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的表面积为()11.(5分)已知向量a=(az,ay,az),b=(bz,by,b₂),{,j,}是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：,其中行列式计算表示若向量AB=(2,1,4),AC=(3,1,2),则AB×AC=()A.(-4,-8,-1)B.(-1,4,-8)C.(-2,8,-1)D.(-1,-4,选择题1.(5分)设F₁、F₂分别为双曲1(a>0,b>0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P,满足|PF₂|=|F₁F₂|,且F₂到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为()填空题2.(5分)设实数x,y满足约束条件3.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=3-2an,则S₅·单空题1.(5分)已知函数y=f(z)是R上的偶函数，对任意的x∈R都有f(z+8)=f(z)+f(4),当x1,Tz∈[0,4]且z1≠T都有(x1-T2)[f(x1)-f(x2)]>0.给出下列命题：②函数y=f(x)在[-12,-8]上是递增的；③函数y=f(x)的图象关于直线x=-8对称；④函数y=f(x)在[-12,12]上有四个零点.其中所有真命题的序号是解答题(其中第6题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看)1.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2c=a+2bcosA.2.2.(12分)为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车.生产前，厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查.在20～60岁的人群中随机抽取了100人，调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示：数6组距X年龄(1)求频率分布直方图第二组中x的值，并根据频率分布直方图，求这100位被调查者年龄的中位数m;(2)由以上统计数据填2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以m岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异?总计总计3.(12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD,E为PB的中点.(2)若AB=2,PD=√2AB,求三棱锥E-PAD的体积.4.(12分)在平面直角坐标系zOy中，已知A(-1,0),B(1,0),动点M满足|MA|=4-|MB|,记动点M的轨迹为曲线C,直线l:y=kx+2与曲线C相交于不同的两点P,Q.(1)求曲线C的方程；5.(12分)已知函数f(x)=Inx-ax+1(a∈R).(1)当a=4时，求f(x)在(1,f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围.6.(10分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为内参数),以原点○为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为psin²θ=2acosθ(a>0),直线l交曲线C于A,B两点.(1)写出直线的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(-1,-2),若点M到A,B两点的距离之积是16,求a的值.7.(12分)已知函数f(x)=|2x-4|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥6的解集；(2)若不等式f(x)≥a²+2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.2021年陕西省汉中市高考数学一模试卷(文科)(答案&解析)单选题【解析】解：∵A={z|x<-2或x>1},B={-1,0,2},可求出集合A,然后进行补集和交集的运算即可.本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础故复数z在复平面内对应的点位于第一象限，化简z,求出z在复平面内对应的点位于的象限即可.本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题.【解析】解：由已知可得f'(θ)=-3sinθ+cosθ=0,利用连续光滑曲线的极值点处的导数为0即可求出tanθ的值.本题考查极值点的概念，考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.【解析】解：对于A对于B,,故B不正确；对于D,∵1+2+3+…对于A利用等比数列的求和公式即可求出；对于B,利用裂项相消法即可求出；对于C,直接计算即可；对于D根据等差数列的求和公式和裂项相消法即可求出.本题考查了新定义的用法，实质考查了数列求和的方法，考查了转化思想，属于中档题.分条件，根据题意，将a=2代入直线方程，分析可得l1//l2,反之由直线平行，分析可得a的值，结合充分必要条件的定义分析可得答案.本题考查充分必要条件的判断，涉及直线平行的判断的判断，属于基础题.【解析】解：圆x²+y²-2x-8y+13=0可化为(x-1)²+(y-4)²=所以圆心坐标为(1,4),半径为2,直线ax+y-1=0被圆x²+y²-2ax-8y+13=0所截得的弦长为2√3,由点到直线的距离公式得,解得由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求解即可.本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，正确运用勾股定理是解题的关键.【解析】解：中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，这个音序中宫和羽至少有一个包含的基本事件个数m=C2+C₂C3=7.则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为基本事件总数n=C弓²=10,这个音序中宫和羽至少有一个包含的基本事件个数m=C2+C₂C₃=7.由此能求出这个音序中宫和羽至少有一个的概率.本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.【解析】解：对于A:若l⊥m,mCα,则1⊥α也可能lCα,故A错误；对于B:若l⊥α,l⊥m,则m//α或mCα,故错误；对于D:若l//α,m//α,则L//m或异面也可能相交，故错误.直接利用线面平行和线面垂直，面面平行的判定和性质的应用判定A、B、C、D的结论.本题考查的知识要点：线面平行和线面垂直，面面平行的判定和性质，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基【解析】解：对于A:由于a<b<0,所以-a>-b,两边乘以a,得到-a²<-ab,故C错误；直接利用不等式的运算和关系式的变换判断A、B、C、D的结论.本题考查的知识要点：不等式的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.【解析】解：把三棱柱ABC-A₁B₁C1放入长方体【解析】解：把三棱柱ABC-A₁B₁C1放入长方体如图所示：所以长方体的外接球即是三棱柱ABC-A₁B₁C1的外接球，∴长方体的外接球的半径的外接球半径为√2,的外接球的表面积为A₁由三棱柱ABC-A由三棱柱ABC-A₁B₁C₁的结构特征，把三棱柱ABC-A₁B₁C₁放入长方体中，则长方体的外接球就是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球，利用长方体的体对角线求出长方体的外接球的半径，从而得到三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球半径，再利用球的表面积公式求出棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的表面积即可.本题主要考查了三棱柱外接球半径问题，放入长方体中是本题的解题关键，是基础题.【解析】解：由题意得：AB×AC=(1×2-4×1)注+(4×3-2×2)3+(2×1-1×3)k=-27+8-k=(-2,8,-1),根据向量的坐标公式代入计算即可得出.熟练掌握向量的坐标意义是解题的关键.选择题【解析】解：依题意|PF₂|=|F₁F₂|,可知三角形PF₂F₁是一个等腰三角形，F₂在直线PF₁的投影是其中点，由勾股定理知根据双曲定义可知4b-2c=2a,整理得c=2b-a,代入c²=a²+b²整理得3b²-4ab=0,求利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率.本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题.填空题【解析】解：根据题意，向,则a=1,故答案为：3.根据题意，由a的坐标求出a的值，由数量积的计算公式计算可得答案.本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题.【解析】解：由约束条件作出可行域如图，yybx联立,解得A(4,5),由图可知，当直线y=3x-z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为7.故答案为：7.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题.数列{an}是首项为1,公比为·的等比数列，故答案为：先由题设：-1,n≥2,然后求得a1,进而说明数列{an}是等比数列，再利用等比数列的前n项和公式求得结本题主要考查等比数列的定义及前n项和的应用，属于基础题.单空题【解析】解：因为f(x)对任意的x∈R都有f(x+8)=f(z)+f(4),又函数y=f(x)是R上的偶函数，所以f(4)=0,故选项①正确；因为当x1,T2∈[0,4]且x1≠x2时，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,所以f(x)在[0,4]上单调递增，因为f(x)是偶函数，所以f(x)在[-4,0]上单调递减，因为f(x+8)=f(x)+f(4),则有f(æ+4)=f(x-4)+f(4)又f(x)是偶函数，则有f(x+4)=f(-x-4),所以有f(x-4)=f(-x-4),则函数f(x)关于x=-4对称，所以f(x)在[-8,-4]上单调递增，在[-12,-8]上单调递减，故选项②错误；又f(x)为偶函数，所以f(-x-8)=f(x),再根据f(x+8)=f(x)+f(4),可得f(-x+8)=f(-x)=f(x),所以f(x-8)=f(-z-8),所以f(z)关于x=-8对称，故选项③正确；因为f(x)为偶函数，所以f(-12)=0,所以f(-4)=f(4)=f(-12)=f(12)=0,所以函数y=f(x)在[-12,12]上有四个零点，故选项④正确.故答案为：①③④.利用赋值法，令x=-4再结合偶函数的定义，即可判断选项①,利用单调性的定义以及偶函数在对称区间上单调性，判断选项②,利用所给的恒等式进行变形，再结合偶函数的性质推出f(z-8)=f(-z-8),即可判断选项③,利用赋值法分别求出[-12,12]上f(x)=0的x的个数，即可判断选项④.本题考查了抽象函数性质的综合应用，涉及了函数单调性的定义、函数奇偶性的应用、函数的周期性以及函数的对称性，对于抽象函数的求值问题，常选择运用赋值法求解，解题时要注意对称性、奇偶性和周期性之间的关系，属中档解答题(其中第6题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看)1.解：(1)由正弦定理可得2sinC=sinA+2sinBcosA,由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得b²=a²+c²-ac=(a+c)²-3ac.【解析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式可求cosB,进而可求B,(2)由已知结合三角形的面积公式可求ac,然后结合余弦定理可求a+c,进而可求.本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.解得x=0.0125.由前三个矩形的面积和为(0.0250+0.0125+0.0250)×8=0.5,所以100位被调查者年龄的中位数为m=44;(2)由题可得2×2联表如下：总计不接受5总计计算所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异.【解析】(1)由频率和为1列方程求出x的值，利用中位数对应的频率值为0.5求出m的值；(2)由题意填写联表，计算K²,对照附表得出结论.本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.3.证明：(1)连接BD交AC于点0,连接OE,A【解析】(1)连接BD交AC于点0,连接OE,由已知可得OE//PD,再由直线与平面平行的判定可得PD//平面AEC.(2)由E为PB的中点，结合已知利用等体积法求三棱锥E-PAD的体积.本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题.4.解：(1)由已知可得|MA|+|MB|=4,根据椭圆的定义，点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，设椭圆的方程为因为2a=4,c=1,所以曲线C的方程为,得(3+4k²)x²+16kx+4=0,因为△=16(12k²-3)>0,所以4k²>1,设P(x₁,y₁),Q(x₂,V₂),N(xn,yn),所以又因为点N在椭圆上，所以3x²+4y²=12,因为4k²>1,所以4k²+3>4,,即0<λ²<4,所以λ的取值范围为(-2,0)u(0,2).【解析】(1)由已知可得|MA|+|MB|=4,由椭圆的定义，点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，进而可得2a=4,c=1,b=√a²-c2,进而可得答案.(2)联立直线与椭圆的方程，由△>0,得4k²>1,设P(z1,y₁),Q(z₂,y₂),N(zN,yN),由韦达定理可得x1+T2,T1C2,y1+y₂,由OP+oQ=λON,所以入≠0,得N的坐标，代入椭圆的方程，解得),进而可得λ的取值范本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.∴切线方程为y+3=-3(x-1)即3x+y=0.(2)函数的定义域是(0,+∞),令f(x)=0,则的图象在(0,+∞)上有两个交点，∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减.∴a的取值范围是(0,1).【解析】(1)求出切点坐标，切