高考数学一轮复习 4.2 恒等变换

4.2恒等变换>考向1三角恒等变换基本公式知识点1基本公式1.两角和与差的正余弦与正切两角和与差的余弦公式:，两角和与差的正弦公式:，两角和与差的正切公式2.二倍角公式①;②;③;其他常用变式.3.半角公式 例已知,则()A.B.C.D.题型1基本恒等变换的应用例1(2023新高考I)已知,则()A.B.C.D.例2()A.B.C.D.例3(2024全国I卷)已知,则()A.B.C.D.例4(2024·全国·报卷)已知为第一象限角，为第三象限角，，则_____.例5(2022·新高考II)若，则()A.B.C.D.例6(2026届河南联考T7)已知,则A. B.C. D.或例7(2026届・广西摸底)定义:为一组数据，相对于常数的“正弦方差”.若,一组数据相对于的“正弦方差”为，则的取值可能是()A.B.C.D.知识点2辅助角公式第一类:一次辅助角:(辅助角由点决定,).例如: 第二类:二次辅助角:若遇到,则通过公式转化成注意:(1)(2)例(2024·甲卷文)函数在上的最大值是_____.题型2辅助角公式的应用例8(2025北京)设函数,若恒成立,且在上存在零点,则的最小值为()A.8B.6C.4D.3例9(2016·浙江)已知，则_____，_____。例10.(2021·全国)函数图像的对称轴是()A. B.C. D.例11(2025新高考II)已知，且.(1)求的值；(2)设，求的值域和单调区间.知识点3正切恒等式证明:因为所以故推论:(当时)证明:题型例_____.题型3正切恒等式的应用例12已知,则()A.2B.-2C.1D.-1例13(多选)若，则的值可能为()A.B.C.D.例14计算_____.例15(2016·江苏)在锐角三角形中,若,则的最小值是_____.考向2三角恒等变换求值知识点1利用角的拆分求值1.拆分角问题:;④⑤注意特殊的角也看成已知角,如.2.例已知,且,则()A.B.C.D.知识点2利用升降幂求值降幂公式与升幂公式:;.例公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割比约为0.618,这一数值恰好等于,则()A. B.C.D.1知识点3整体代换三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型,我们将其分为两类,第一类是最简单的,就是与之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是与之间的关系，我们逐类分析.第一类:关于与之间为二次函数关系第二类:关于与之间的关系,我们先进行整理.(1)若，则；(2)若，则.判断与的符号法则:(1).(2).例(2021·北京)函数是()A.奇函数，且最大值为2B.偶函数，且最大值为2C.奇函数，且最大值为D.偶函数，且最大值为知识点4三角恒等求值一些非特殊角的三角恒等变形求值题,由于最后得出的是一个具体的数值,故将其设为一个元,再利用恒等变形公式计算出结果.例利用三角公式化简:.题型4综合求值问题例16(2026·广东月考)若，且，，则的值是()A.B.C.或D.或例17设,则()A.B.C.D.例18(2018·新课标II)已知，则_____.例19求值_____.例20(2026·武汉月考)求值:()A.B.C.1 D.例21(2026·武汉模拟)(多选)设函数，则()A. B.在上单调递增C.在上有最大值 D.是的一条对称轴例题2设，则_____.拓展思维●拓展1和差化积与积化和差1.和化积公式(由和差公式可得)2.积化和公式(由和差公式可得)例1(2026·沈河区月考)求值例2计算的值是()A.1 B.C.D.例3在中,内角所对的边分别为,已知,且,则()A.1 B.C.1或D.●拓展２“n”倍角模型余弦的倍角公式:正弦的倍角公式:例4(多选)由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.一般地，存在一个次多项式,使得,这些多项式称为切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得()A. B.C. D.●拓展3三角与对偶式1.已知满足,求步骤:将替换为替换为,得到其对偶式,令,将两式平方得,将两式相加得,得,然后解方程,2.构造对偶式推导和差化积公式证:,设(其它公式推导同理),例5若,则()A.B.C.D.例6已知，求()例7已知,解方程:●拓展4三角换元的函数思想1.凡是涉及到类型问题,我们可以设,从而简化思考和计算.2.隐半圆类型隐半圆常常出现的结构为:;.隐半圆的结构特点:根式下为二次代数式,且二次项系数为-1.如表示以原点为圆心,为半径的圆的上半圆,表示以为圆心,为半径的圆的上半圆,必要的时候可以进行三角换元,上的任意一点可以表示为上的任意一点可以表示为,此时的范围为.例2已知函数的最大值为,最小值为,则的值为()A.B.C.D.例11函数的最小值为_____.例12若方程仅有一解，则实数的取值范围是_____.例13求函数的最大值和最小值.拓展5