2027新高考数学复习53A版3-高考热点8　截面与翻折问题

高考热点8截面与翻折问题类型1空间几何体的截面问题1.★★(2026届广东佛山质检,4)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱A1B1,BC,DD1的中点,过点E,F,G作正方体的截面,则截面的形状为()A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形答案A2.★★★(2026届广东部分学校开学考,6)如图,在棱长为2的正方体中,A,B,C均为顶点,P为所在棱的中点,若PC∥平面α,且A,B均在平面α内,则平面α截正方体所得图形的面积为()A.22答案C3.★★★(2026届江苏如皋中学开学考,6)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是棱AA1和CC1上的点,PA=13AA1,CQ=13CC1,那么正方体中过点D,P,Q的截面形状为(A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形答案B4.★★★(2026届广东八校联盟开学考,8)如图,在外接球体积为3π2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是线段DD1上的动点(不包括端点),过A,B1,E三点的平面将正方体截为两个部分,且交C1D1于点F,当截得的较小部分的几何体的体积为732时,D1EA.1答案B5.★★(2026届河北邯郸调研监测,13)已知三棱锥P-ABC中,PA=PC=PB=BA=BC=2,AC=22,D为PB的中点,过点D作三棱锥P-ABC外接球的截面,则截面面积的最小值为.

答案π类型2空间几何体的翻折问题1.★★★(2025届重庆九龙坡三模,5)如图,矩形ABCD中,AB=23,BC=26,将△ABD沿BD翻折,得到三棱锥A'-BCD(A'是A在翻折后的对应点),则三棱锥A'-BCD体积的最大值为()A.42B.62答案C2.★★★(2026届安徽六校测试,16)如图1,在边长为4的等边△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=2,AE=1,连接DE,沿DE将△ADE折起得到四棱锥A-BCDE(图2),使AC=14.(1)求证:平面ACE⊥平面BCDE;(2)求平面ACE与平面ACD夹角的余弦值.解析(1)证明:在△ADE中,由余弦定理得DE2=AD2+AE2-2AD·AE·cos∠EAD=4+1-2×2×1×12=3所以DE2+AE2=AD2,于是DE⊥AE,如题图1,连接CE(图略),在△ACE中,由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC·AE·cos∠EAC=42+1-2×4×1×12=13所以在题图2中,CE2+AE2=14=AC2,于是EC⊥AE,因为DE∩EC=E,且DE⊂平面BCDE,EC⊂平面BCDE,所以AE⊥平面BCDE,又AE⊂平面ACE,所以平面ACE⊥平面BCDE.(2)如图,以点E为原点,分别以EB,ED,EA所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则D(0,3,0),A(0,0,1),C(1,23,0),所以EC=(1,23,0),EA=(0,0,1),设平面ACE的法向量为m=(x,y,z),则m·EC=x+23y=0,m·EA=z=0,取y=1,则x=-23,则平面ACE的一个法向量为m=(同理可得平面ACD的一个法向量为n=(-3,1,3),所以cos<m,n>=m·n|m|·|n|所以平面ACE与平面ACD夹角的余弦值为91133.★★★(2024新课标Ⅱ,17,15分)如图,平面四边形ABCD中,AB=8,CD=3,AD=53,∠ADC=90°,∠BAD=30°,点E,F满足AE=25AD,AF=12AB.将△AEF沿EF翻折至(1)证明:EF⊥PD;(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.解析(1)证明:由题知AE=25AD=23,AF=12AB=4,∴EF=AE2∴EF2+AE2=AF2,∴AE⊥EF,∴EF⊥PE,又PE∩AE=E,PE,AE⊂平面PED,∴EF⊥平面PED,又PD⊂平面PED,∴EF⊥PD.(2)连接EC,∵CD=3,DE=AD-AE=33,∠ADC=90°,∴EC=DE2又PE=AE=23,PC=43,∴EC2+PE2=PC2,∴PE⊥EC,又PE⊥EF,EC∩EF=E,EC,EF⊂平面ABCD,∴PE⊥平面ABCD,又ED⊂平面ABCD,∴PE⊥ED,又PE⊥EF,EF⊥ED,∴PE,EF,ED两两垂直,∴以E为原点,EF,ED,EP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A(0,-23,0),F(2,0,0),C(3,33,0),D(0,33,0),P(0,0,23),∴PF=(2,0,-23),FB=AF=(2,23,DP=(0,-33,23),DC=(3,0,0).设m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2)分别为平面PBF,平面PCD的法向量,∴m·n·令x1=3,则m=(3,-1,1),令y2=2,则n=(0,2,3).∴cos<m,n>=15∴sin<m,n>=865∴所求正弦值为8654.★★★★(2025全国二卷,17,15分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.(1)证明:A'B∥平面CD'F;(2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值.解析(1)证明:在四边形ABCD中,AB∥CD,因为E,F分别在AB,CD上,所以FC∥EB,因为BE⊄平面CD'F,FC⊂平面CD'F,所以BE∥平面CD'F,同理可得,A'E∥平面CD'F,又BE∩A'E=E,BE,A'E⊂平面A'EB,所以平面A'EB∥平面CD'F,又A'B⊂平面A'EB,所以A'B∥平面CD'F.(2)由CD=2AD,F为CD的中点,得DF=DA=FC.又AB∥CD,EF∥AD,所以四边形EFDA为平行四边形,又∠DAB=90°,DF=DA,所以四边形EFDA为正方形,则EF⊥DC,即D'F⊥EF,FC⊥EF,所以∠D'FC是面EFD'A'与面EFCB所成的二面角的平面角,因为面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°,所以∠D'FC=60°.又D'F=FC,所以△CD'F为正三角形.由D'F⊥EF,FC⊥EF,D'F∩FC=F,得EF⊥平面CD'F.因为EF⊂面EFCB,所以面D'FC⊥面EFCB.取FC的中点O,连接D'O,则D'O⊥面EFCB,过O作OM∥EF,交BE于M,则以O为坐标原点,分别以OM,OC,OD'所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设FC=2,则F(0,-1,0),E(2,-1,0),C(0,1,0),B(2,3,0),D'(0,0,3),A'(2,0,3),则CB=(2,2,0),CD'=(0,-1,3),FE=(2,0,0),FD'=(0,1,3).设面BCD'的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1令z1=1,得x1=-3,y1=3,则平面BCD'的一个法