2027年高考数学一轮复习(创新设计)第13节　函数模型及其应用

第13节函数模型及其应用课标要求1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异,理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,了解函数模型在社会生活中的广泛应用.1.三种函数模型的性质比较函数性质

y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0,＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a,b,n为常数,a≠0)1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长量越来越小.2.充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)不存在x0,使ax0<x0n<log(4)在(0,＋∞)上,随着x的增大,y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×910＝99(元∴每件赔1元,(1)错误.(2)当x＝2时,2x＝x2＝4.(2)不正确.(3)如a＝x0＝12,n＝14,不等式成立,因此(3)2.(人教A必修一P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是()A.40万元 B.60万元C.80万元 D.120万元答案D解析当甲商品的价格为6元时,该商人全部买入甲商品,可以买120÷6＝20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2＝40(万元);当乙商品的价格为4元时,该商人买入乙商品,可以买(120＋40)÷4＝40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2＝80(万元).故该商人共获利40＋80＝120(万元).3.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(1010A.1.5 B.1.2C.0.8 D.0.6答案C解析由题意知4.9＝5＋lgV,得lgV＝－0.1,得V＝10−1所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.4.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位:天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0<t≤30,t∈N),销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0<t≤30,t∈N),则这种商品的日销售金额的最大值是.

答案506解析日销售金额y＝(－t＋35)(t＋10)＝－t−252∵t∈N,∴t＝12或13时,ymax＝506.考点一利用函数图象刻画实际问题的变化过程例1(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:根据图中提供的信息,下列关于成人服用该药物的说法中正确的是()A.首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用B.每次服用1单位该药物,两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒C.首次服用1单位该药物,约5.5小时后第二次服用1单位该药物,可使药物持续发挥治疗作用D.首次服用1单位该药物,3小时后再次服用1单位该药物,不会发生药物中毒答案ABC解析从图象中可以看出,首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确;根据图象可知,首次服用1单位该药物,约1小时后血药浓度达到最大值,由图象可知,当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,B正确;服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确;首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误.感悟提升判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.训练1为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0,某运输公司提出了四种运输方案,每种方案的运输量Q与时间t的关系如图(四个选项)所示,其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是()答案B解析单位时间的运输量逐步提高时,运输量的增长速度越来越快,图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大,故函数的图象应一直是下凹的.考点二已知函数模型解决实际问题例2(1)(2025·北京卷)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位:小时),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时)()A.2 B.4C.20 D.40(2)(2026·北京石景山区调研)某食品的保鲜时长y(单位:时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y＝ekx＋b＋2(e为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时长是194小时,在22℃的保鲜时长是50小时,则该食品在33℃的保鲜时长是()A.20小时 B.22小时C.24小时 D.26小时答案(1)B(2)D解析(1)由题意可知klog2(1.024×109)－klog2106＝klog21.024×10910解得k＝2,所以2log2(4.096×109)－2log2(1.024×109)＝2log24＝4,所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4小时.(2)由题意可知194＝即b即y＝eln1当x＝33时,y＝eln1422×33＋ln192＋2＝eln感悟提升1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点:(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数;(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.2.利用函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.训练2(1)(2025·成都二诊)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度I0为标准,天体的星等m与亮度I满足m＝－52lgII0,已知北极星的星等为2,A.1052 C.101225 (2)(2026·驻马店重点高中联考)某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)间的关系为P＝P0e－kt(P0为初始的污染物含量),其中P0,k是正的常数,如果前10h消除了50%的污染物,那么从消除60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历()A.10h B.4hC.40h D.8h答案(1)D(2)A解析(1)设北极星与牛郎星的亮度分别为I1,I2,依题意,2＝−两式相减得－52lgI解得I1I2＝10(2)由题意可知,0.5P0＝P0e－10k,即0.5＝e－10k,即k＝ln210设消除60%的污染物对应时间为t1,则0.4P0＝P0e−k设消除80%的污染物对应时间为t2,则0.2P0＝P0e−k①②两式相除可得,2＝e−即ln2＝－k(t1－t2),所以t2－t1＝10,即从消除60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历10h.故选A.考点三构建函数模型解决实际问题例3李冶(1192—1279),真定栾城(今属河北石家庄市)人,金元时期的数学家、诗人,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题:如求圆的直径、正方形的边长等.其中一问:现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为y亩,若方田的四边到水池的最近距离均为20步,则y关于水池半径r(步)的函数关系式为y＝,水池的边缘与方田之间的面积与水池半径比值最小时,r＝(注:240平方步为1亩,圆周率按3近似计算).

答案1240r2＋23r＋解析已知水池的半径为r步,则方田的边长为(2r＋40)步,由题意得,(2r＋40)2－πr2＝y×240,得y＝1240r2＋23r＋yr＝r当且仅当r＝40取等号.感悟提升构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模:抽象出实际问题的数学模型.(2)推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解.(3)评价、解释:对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解.训练32024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务,其中,中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比,当空间站运行周期增加1倍时,其圆轨道半径增加的倍数大约是(参考数据:ln2≈0.693,e0.462≈1.587)()A.1.587 B.1.442C.0.587 D.0.442答案C解析设空间站运行周期为T,圆轨道半径为r,由题意得T2＝kr3(k≠0),当空间站运行周期为2T时,设圆轨道半径为R,则(2T)2＝kR3,即4T2＝kR3,整理得T2＝kR3所以R3＝4r3,R＝34r即圆轨道半径为原来的34,增加的倍数为34令t＝34,则lnt＝23ln因此t＝e0.462≈1.587,所以圆轨道半径增加的倍数大约是1.587－1＝0.587,故选C.一、单选题1.在一次实验中,某小组测得一组数据(xi,yi)(i＝1,2,…,11),并由实验数据得到散点图.由此散点图,在区间[－2,3]上,下列四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映x,y函数关系的是()A.y＝a＋bx B.y＝a＋bxC.y＝a＋logbx D.y＝a＋b答案B解析由散点图的定义域可排除C,D选项,由散点图的增长方式可知函数模型为指数函数模型.2.输血是救治外伤人员的重要手段,血液质量对提高救治成功率极为关键.血液质量的主要评判指标是血液中ATP含量.已知血液中ATP浓度S(单位:μmol/gHb)随温度λ(单位:℃)、时间t(单位:天)及起始浓度S0变化的近似函数关系式为S＝S0t1.08λe－1.30λ(e为自然对数的底数,e≈2.71828).由此可知,当血液在20℃恒温条件下,保存5天后的ATP浓度,大约相当于血液在4℃恒温条件下保存天后的ATP浓度.(参考数据:ln5≈1.6)()

A.16 B.20C.25 D.30答案C解析设所求为t天,把数据代入关系式得S051.08×20·e－1.30×20＝S0t1.08×4e－1.30×4,解得t4.32＝521.6取自然对数得lnt＝21.6ln5−20.84.32≈3.2＝2ln5所以t≈25.3.(2026·北京四中检测)点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时,衰减量ΔL(单位:dB)与传播距离r(单位:m)的关系式为ΔL＝10·lg(πr2)＋k,其中k为常数.当传播距离为r1时,衰减量为ΔL1;当传播距离为r2时,衰减量为ΔL2.若r2＝2r1,则ΔL2－ΔL1约为(参考数据:lg2≈0.3)()A.6dB B.4dBC.3db D.2dB答案A解析依题意,知ΔL2－ΔL1＝10·lg(πr22)＋k－10·lg(πr12)－k＝20lgr2r14.(2026·南通调研)在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以p%的增长率呈指数增长.若增长为原来的54倍经过了4天,A.6 B.12C.16 D.20答案B解析设原来蓝藻数量为a,则a(1＋p%)4＝54a,可得1＋p%＝5设经过n天后蓝藻增长为原来的2倍,则a(1＋p%)n＝2a,即54n可得n＝log5416＝lg16lg5−lg4＝4lg25.已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S＝f(x)的图象是()答案D解析依题意知,当0≤x≤4时,f(x)＝2x;当4<x≤8时,f(x)＝8;当8<x≤12时,f(x)＝24－2x.观察四个选项知D项符合要求.6.(2026·深圳统考)为了给地球减负,提高资源利用率,我国全面开展垃圾分类.某市2026年全年用于垃圾分类的资金为5000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是(参考数据:lg1.2≈0.079,lg2≈0.301)()A.2029年 B.2030年C.2031年 D.2032年答案D解析设2026年后第x年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元,则5000(1＋20%)x>12800,即1.2x>2.56,则x·lg1.2>lg2.56＝lg256100＝lg256－＝8lg2－2,即x>8lg2−2lg1.2≈8所以x＝6,即2032年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元.故选D.7.(2026·北京第八中学开学考)“学如逆水行舟,不进则退;心似平原跑马,易放难收”(明·《增广贤文》)是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%,那么一年后是(1＋1%)365＝1.01365;如果每天的“退步”率都是1%,那么一年后是(1－1%)365＝0.99365.那么大约经过几天后“进步”的是“退步”的2倍?请选出最接近的一项.(lg2≈0.301030,lg101≈2.004321,lg99≈1.995635)()A.25 B.30C.35 D.40答案C解析假设经过n天,“进步”是“退步”的2倍,则1.010.99n＝2,即101解得n＝log10199≈0.3010302.004321−1.995635≈35即经过约35天,“进步”是“退步”的2倍.故选C.二、多选题8.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系,下列结论正确的是()A.甲同学从家出发到乙同学家走了60minB.甲从家到公园的时间是30minC.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D.当0≤x≤30时,y与x的关系式为y＝115答案BD解析在A中,甲在公园休息的时间是10min,所以只走了50min,A错误;由题中图象知,B正确;甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长,而距离相等,所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢,C错误;当0≤x≤30时,设y＝kx(k≠0),则2＝30k,解得k＝115,D正确9.(2026·嘉兴模拟)半导体的摩尔定律认为,集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年,用f(t)表示从t＝0开始,晶体管数量随时间t变化的函数,若f(0)＝1000,则下面选项中符合摩尔定律公式的是()A.若t是以月为单位,则f(t)＝1000＋100024B.若t是以年为单位,则f(t)＝1000×(2)tC.若t是以月为单位,则lgf(t)＝3＋lg224D.若t是以年为单位,则lgf(t)＝3＋lg答案BC解析对于A,f(24)＝2000＝2f(0),f(48)＝3000≠2f(24),A不符合;对于B,f(2)＝2000＝2f(0),f(4)＝4000＝2f(2),f(2n)＝1000×2n,n∈N,B符合;对于C,lgf(t)＝3＋lg224t,则f(t)＝103＋lg224t＝1000×2t24,f(24)＝2×1000＝2f(0),f(48)＝4000＝2f(24),f(24n)＝1000×2n,对于D,lgf(t)＝3＋lg32t＋12,f(t)＝1000×32t＋112,f(2)＝2×1000＝2f(0),f(4)＝1000×7三、填空题10.(2026·青岛检测)一个动力船拖动载重量相等的小船若干只,在两个港口之间来回运货.若拖4只小船,则每天能往返16次;若拖7只小船,则每天能往返10次.已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正比例.为使得每天运货总量最大,则每次要拖只小船.

答案6解析设每天每次拖x只小船,每天往返y次,每只小船的载重量为M,每天的运货总重量为G.由题意设y＝kx＋b(k≠0),则4所以y＝－2x＋24,所以每天运货总重量G＝Mxy＝Mx(－2x＋24)＝－2M(x－6)2＋72M,所以当x＝6,y＝12时,G取得最大值为72M,即每次要拖6只小船.11.某商场为了实现100万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到5万元后,奖金y(单位:万元)随利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%,现有三个奖励模型:①y＝0.2x,②y＝log5x,③y＝1.02x,则符合该商场要求的模型为.(填序号)

答案②解析在同一平面直角坐标系中作出函数y＝0.2x,y＝log5x,y＝1.02x的图象,如图所示.观察图象可知,在区间[5,100]内,函数y＝0.2x,y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方,只有函数y＝log5x的图象始终在直线y＝3和y＝0.2x的下方,所以按模型y＝log5x进行奖励符合商场的要求.12.(2025·武汉四调)为了响应节能减排号召,某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板,该地区未来第x年年底光伏太阳能板的保有量y(单位:万块)满足模型y＝N1＋Ny0−1e−px,其中N为饱和度,y0为初始值,p为年增长率.若该地区2024年年底的光伏太阳能板保有量约为20万块,以此为初始值,以后每年的增长率均为10%,饱和度为1020万块,那么2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量约万块.(结果四舍五入保留到整数,参考数据:e－0.5≈0.61,e答案36解析由题意知y0＝20,p＝10%,N＝1020,x＝6,则2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量约10201＋102020−1e四、解答题13.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm,继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c12mt(c,(1)求c,m的值;(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常,问至少排气多少分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态?解(1)由题意可得64＝两式相除,解得c(2)由题意可得1281214所以1214t≤128,即14t故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.14.环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车在一段平坦的国道进行测试,国道限速60k