2027年高考数学一轮复习(创新设计)第10节　指、对、幂的大小比较方法

第10节指、对、幂的大小比较方法题型分析指数与对数是高中一个重要的知识点,也是高考必考考点,其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点,主要考查指数、对数的互化、运算性质,以及指数函数、对数函数和幂函数的性质.题型一求同存异例1(1)设a＝0.60.3,b＝0.30.3,c＝0.30.6,则a,b,c的大小关系为()A.b<a<c B.b<c<aC.a<b<c D.c<b<a(2)若a＝log37,b＝log940,c＝4.05,则()A.c<a<b B.b<c<aC.a<b<c D.b<a<c答案(1)D(2)D解析(1)因为指数函数y＝0.3x在R上为单调递减函数,所以0.30.3>0.30.6,即b>c,又幂函数y＝x0.3在[0,＋∞)上为增函数,所以0.60.3>0.30.3,即a>b,所以a>b>c.(2)依题意,a＝log37＝log949,故a>b;而a<log39＝2<c,故b<a<c,故选D.感悟提升求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同,则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系,要熟练运用指数、对数公式、性质,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.训练1(1)(2026·杭州段测)已知a＝40.6,b＝21.3,c＝2,则()A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.b>a>c(2)(2026·北京海淀区调研)设a＝log32,b＝log96,c＝12,A.a>b>c B.c>b>aC.b>c>a D.b>a>c答案(1)D(2)D解析(1)a＝40.6＝21.2,b＝21.3,c＝212＝2由于y＝2x是增函数,故21.3>21.2>20.5,即b>a>c.(2)因为b＝log96＝log32(6)2＝log3且c＝12＝log33又3<2<6,函数y＝log3x在(0,＋∞)上单调递增,则log33<log32<log36,所以c<a<b.题型二用特殊值作中间变量例2(1)设a＝20.7,b＝130.7,c＝log213,则a,bA.a<b<c B.c<a<bC.b<c<a D.c<b<a(2)(2026·苏州部分学校联考)已知a＝log32,b＝log43,c＝3234,则a,bA.a<b<c B.b<a<cC.a<c<b D.c<b<a答案(1)D(2)A解析(1)由题意知,a＝20.7>20＝1,b＝130.7＝3－0.7<30又b>0,所以0<b<1,c＝log213<0所以c<b<a.(2)易知0<a＝log32<log33＝1,0<b＝log43<log44＝1,c＝3234>因为3a＝3log32＝log38<log39＝2,3b＝3log43＝log427>log416＝2,所以3a<3b,所以a<b,所以a<b<c.故选A.感悟提升利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“－1,0,12,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如log23,可知1＝log22<log23<log24＝2,进而可估计log23是一个1~2之间的小数,训练2(1)(2026·河北邢襄联盟联考)若a＝0.30.4,b＝0.40.3,c＝2log83,则a,b,c的大小关系为()A.c<a<b B.b<a<cC.a<b<c D.a<c<b(2)设a＝log2π,b＝log12π,c＝π－2A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.c>b>a答案(1)C(2)C解析(1)因为y＝0.3x在定义域上单调递减,所以a＝0.30.4<0.30.3.因为y＝x0.3在区间(0,＋∞)上单调递增,所以0.30.3<0.40.3＝b<1,故a<b<1.又c＝2log83＝log89>1,所以c>b>a.故选C.(2)依题意,a＝log2π>log22＝1,b＝log12π<log121＝0,0<c＝π－2<π0＝1,所以a>题型三构造函数比较大小例3(2026·四川阶段检测)已知a－12a＝0,b＝12a,c＝A.a<b<c B.b<c<aC.b<a<c D.c<b<a答案C解析令f(x)＝x－12x,易知f(x)在R由f(1)>0,f12<0,得∃x∈1使得f(x)＝0,故a∈12因为b＝12a,a＝12a,且a<a,所以由指数函数y＝1可得a>b,又由指数函数y＝ax在R上单调递减,可得aa>a1,所以c＝aa>a,故b<a<c.故选C.感悟提升如果要比较大小的数或式子,或题目中所给的条件具有相同的结构特征,则可根据这种结构特征构造函数,然后利用该函数的单调性或其他性质比较大小.训练3(2026·烟台质检)若2a＋log2a<22b＋log2b＋1,则()A.ln(2b－a＋1)<0 B.ln(2b－a＋1)>0C.ln|a－2b|>0 D.ln|a－2b|<0答案B解析对已知不等式变形可得2a＋log2a<22b＋log22b,令f(x)＝2x＋log2x,x>0.易知函数y＝2x与y＝log2x在(0,＋∞)上均为增函数.所以函数f(x)＝2x＋log2x在(0,＋∞)上为增函数,2a＋log2a<22b＋log22b,即f(a)<f(2b),故a<2b,即2b－a>0,所以2b－a＋1>1,则ln(2b－a＋1)>0,故A错,B正确.无法确定|a－2b|与1的大小,故无法确定ln|a－2b|与0的大小,C,D都错,故选B.对数型糖水不等式1.教材母题(人教A必修一P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立.本题得到的不等式称为糖水不等式:(1)设b>a>0,m>0,则有ab<a(2)糖水不等式的倒数形式:设a>b>0,m>0,则有ab>a2.对数型糖水不等式(1)设n∈N*,且n>1,则有log(n＋1)n<log(n＋2)(n＋1);(2)设a>b>1,m>0,则有logab<log(a＋m)(b＋m);(3)上式的倒数形式:设a>b>1,m>0,则有logba>log(b＋m)(a＋m).典例已知a＝3log83,b＝－12log1316,c＝log45,则a,bA.a>b>c B.c>a>bC.a>c>b D.c>b>a答案A解析法一a＝3log83＝log827＝log2333＝log2b＝－12log1316＝12log对任意x>y>0,m>0,x＝(x−y)my(所以a＝log23＝lg3lg2>＝log392>log34,即a>bb＝log34＝lg4lg3>lg4＋lg43lg3＋lg43＝lg163lg4＝log4163>log45,法二a＝3log83＝log827＝log2333＝log2b＝－12log1316＝12log316＝log34,c利用对数型糖水不等式得log23>log34>log45,即a>b>c.一、单选题1.已知a＝20.3,b＝30.2,c＝log0.20.3,则()A.b>c>a B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>c答案D解析依题意,b＝30.2＝90.1>80.1＝20.3＝a>1,c＝log0.20.3<log0.20.2＝1,所以b>a>c.2.已知a＝0.734,b＝log834,c＝A.b<a<c B.a<c<bC.b<c<a D.a<b<c答案A解析由于y＝0.7x是R上的减函数,则0<0.734<0.70＝1,所以0<a由于y＝log8x是(0,＋∞)上的增函数,则log834<log81＝0,所以b<0由于y＝4x是R上的增函数,则434>40＝1,所以c所以b<a<c.3.(2026·黑龙江六校联合体模拟)下列不等关系中a<b的充分条件是()A.log0.3a<log0.3bB.a＝(－1.4)3,b＝(－1.5)3C.a＝1.70.3,3bD.log64a＝－23,b5答案D解析由log0.3a<log0.3b,可得a>b>0,故不是a<b的充分条件,A错误;由a＝(－1.4)3＝－1.43,b＝(－1.5)3＝－1.53,1.43<1.53,可得a>b,故不是a<b的充分条件,B错误;因为a＝1.70.3>1.70＝1,又由3b＝0.9,可得b＝0.93<1,所以a>b,故不是a<b的充分条件,C错误由log64a＝－23,可得a＝64−23＝43×−23＝所以a<b,故是a<b的充分条件,D正确.故选D.4.(2026·铜仁质监)已知0<m<n<1,x＝lognm,y＝mn,z＝nm,则()A.x<y<z B.y<x<zC.z<y<x D.y<z<x答案D解析因为0<m<n<1,所以x＝lognm>lognn＝1,0<y＝mn<m0＝1,0<z＝nm<n0＝1,易知函数f(x)＝mx(0<m<1)单调递减,则y＝mn<mm,函数g(x)＝xm(0<m<1)单调递增,则mm<nm＝z,所以y<z,因此y<z<x.故选D.5.已知实数a,b满足2a＋2a<2b＋2b,则a,b的大小关系为()A.a>b B.a＝bC.a<b D.不能确定答案C解析设f(x)＝2x＋2x,x∈R,则f(a)<f(b),因为函数y＝2x和y＝2x在R上都为增函数,所以函数f(x)在R上为增函数,所以a<b.6.(2026·白银模拟)若a＝log53,b＝log5018,c＝lg6,则()A.b<c<a B.a<c<bC.c<a<b D.a<b<c答案D解析a＝log53＝log23log25c＝log26log210所以a<b<c.7.(2025·赣州三模)已知a＝log23＋log32,b＝log45＋log54,则下列结论正确的是()A.a>b>2 B.a>2>bC.b>a>2 D.2>a>b答案A解析设f(x)＝x＋1x,x>0由对勾函数单调性,f(x)在(0,1)上递减,在(1,＋∞)上递增,f(x)min＝f(1)＝2,且a＝log23＋log32＝log23＋1log23＝fb＝log45＋log54＝log45＋1log45＝f因为log23>log25＝log45>1,所以f(log23)>f(log45)>f(1),即a>b>2.8.(2026·武汉质检)若b>1,a∈R,且1ea＋2lnb＝a＋1A.2a<b B.a>2bC.ea<b2 D.ea>b2答案C解析由1ea＋2lnb＝a＋得1ea－a＝1b－2ln即e－a－a＝1b＋2ln1即e－a－a＝1b＋ln1因为b>1,所以1b＋ln1b2>1从而e－a－a>1b2＋ln法一令f(x)＝ex＋x,上述不等式可化为f(－a)>fln1易知f(x)在R上单调递增,所以－a>ln1b2,即－a>－lnb2,a<lnb所以ea<b2.故选C.法二令g(x)＝x＋lnx,不等式e－a－a>1b2＋ln1b2可化为g(e－a易知g(x)在定义域内单调递增,所以e－a>1b2,所以ea<b二、多选题9.(2025·重庆模拟)若b>c>1,0<a<1,则下列结论正确的是()A.ba<ca B.logba>logcaC.cba<bca D.blogca>clogba答案BC解析对于A,∵0<a<1,幂函数y＝xa在(0,＋∞)上单调递增,且b>c>1,∴ba>ca,故A错误;对于B,∵0<a<1,∴函数y＝logax在(0,＋∞)上单调递减,又∵b>c>1,∴logab<logac<loga1＝0,∴0>1loga即0>logba>logca,故B正确;对于C,∵0<a<1,则a－1<0,∵函数y＝xa－1在(0,＋∞)上单调递减,且b>c>1,∴ba－1<ca－1,∴cba<bca,故C正确;对于D,由选项B可知0>logba>logca,∴0<－logba<－logca,∵b>c>1,∴c(－logba)<b(－logca),∴blogca<clogba,故D错误.10.(2026·宜昌模拟)若3x＋5－y<3y＋5－x,则下列关系正确的是()A.x<y B.x3<y3C.lnx>lny D.2－x>1答案ABD解析对于A,因为3x＋5－y<3y＋5－x,所以3x－5－x<3y－5－y,令f(x)＝3x－5－x,易得f(x)为增函数,又f(x)<f(y),故x<y,故A正确;对于B,因为x<y,函数y＝x3在定义域R上单调递增,则x3<y3,故B正确;对于C,令x＝－2,y＝－1,则满足x<y,但lnx,lny无意义,故C错误;对于D,因为x<y,故2－x＝12x>12y,11.设a＝ln4,b＝lg4,c＝20.6,则()A.b>a B.c>aC.a－b>ab D.a＋b>ab答案BD解析因为a＝ln4>lne＝1,b＝lg4<lg10＝1,所以b<a,故A错误;因为42<e3,所以ln42<lne3,即ln4<32又325＝24332,(20.6)5＝(2所以32<20.6,则ln4<20.6,即a<c,故B正确因为a－b－ab＝ln4－lg4－ln4·lg4＝lg4lge－lg4－(lg4)而lg(4e)>1,lg4>0,lge>0,所以a－b－ab<0,即a－b<ab,故C错误;由a＋b－ab＝lg4lge＋lg4－lg4lge·lg＝lg4·lg5