2027年高考数学一轮复习(创新设计)第10节　解三角形中的最值(范围)、证明问题

第10节解三角形中的最值(范围)、证明问题题型分析1.解三角形中的最值(范围)问题主要涉及三角形的面积、周长、边长等的最值或范围，解决的方法一般利用基本不等式或三角函数的性质求解.2.三角形中的证明问题主要涉及边、角、三角函数式等恒等式.题型一三角形中的最值(范围)问题角度1利用基本不等式求最值(范围)例1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足acos(1)求角A;(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.解(1)由acos结合正弦定理asin得sinA所以tanA＝3，又因为A∈(0，π)，所以A＝π3(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，所以S△ABC＝12bcsinA≤12×4×即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为3.角度2转化为三角函数求最值(范围)例2(2026·南京模拟节选)如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AB＝BC＝2，∠ABC＝θ，120°≤θ<180°.若CD＝6，求四边形ABCD面积的最大值.解在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝θ，S△ABC＝12AB·BC·sin∠＝12×2×2×sinθ＝sinθ由AC2BC＝sinθ2，得AC＝22在△ACD中，∠ACD＝90°－∠ACB＝90°－180°−θ又CD＝6，所以S△ACD＝12AC·CD·sin∠ACD12·22sinθ2·6·sinθ2＝所以四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ACD＝sinθ＋3－3cosθ＝3＋2sin(因为120°≤θ<180°，所以60°≤θ－60°<120°，所以当θ－60°＝90°，即θ＝150°时，Smax＝3＋2，故四边形ABCD面积的最大值为3＋2.角度3转化为其他函数求最值(范围)例3已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin(A(1)若A＝π3，求B(2)若asinC＝1，求1a解(1)由题意知sin(A所以sin(A－B)cosC＝sin(A－C)cosB，所以sinAcosBcosC－cosAsinBcosC＝sinAcosCcosB－cosAsinCcosB，所以cosAsinBcosC＝cosAsinCcosB，因为A＝π3，所以sinBcosC＝sinCcosB所以tanB＝tanC，因为B，C∈0,π2，所以B＝由A＝π3，所以B＝π(2)由(1)知B＝C，所以sinB＝sinC，b＝c，因为asinC＝1，所以1a＝sinC由正弦定理得asinC＝csinA＝bsinA＝1，所以1b＝sinA因为A＝π－B－C＝π－2C，所以1b＝sinA＝sin2C所以1a2＋1b2＝sin2C＋sin22C＝1−cos2C2＋(1－cos22C)＝－cos22C－因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，则有π4<C<π2，得π2所以－1<cos2C<0，由二次函数的性质可得，当cos2C＝－14时1a所以1a感悟提升三角形中的最值、范围问题的解题策略(1)定基本量:根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.(2)构建函数:根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式.(3)求最值:利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值.训练1已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝sin2A.(1)求角A的大小;(2)若a＝3，求△ABC解(1)由正弦定理asin得b2＋c2＋bc＝a2，即b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理得cosA＝b2+c又0<A<π，所以A＝2π3(2)由a＝3和(1)可知b2＋c2＋bc则3＝(b＋c)2－bc≥(b＋c)2－(＝3(得4≥(b＋c)2，即b＋c≤2，所以a＋b＋c≤2＋3，当且仅当b＝c＝1时取得等号所以△ABC周长的最大值为2＋3题型二三角形中的证明问题例4设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).(1)若A＝2B，求C;(2)证明:2a2＝b2＋c2.(1)解由A＝2B，A＋B＋C＝π，可得A＝2π−2C将A＝2B代入sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsinB＝sinBsin(C－A).因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以sinC＝sin(C－A).又A，C∈(0，π)，所以C＋C－A＝π，即A＝2C－π，与A＝2π−2C3解得C＝5π8(2)证明法一由sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA，结合正弦定理可得，accosB－bccosA＝bccosA－abcosC，即accosB＋abcosC＝2bccosA(*).由余弦定理的推论得，accosB＝a2+c2−b222bccosA＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式并整理，得2a2＝b2＋c2.法二因为A＋B＋C＝π，所以sinCsin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sinBsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.感悟提升对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程.训练2(2026·济宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a(2－cosB)＝b(1＋cosA).(1)证明:b＋c＝2a;(2)若△ABC的面积为34bc，证明:△ABC证明(1)由正弦定理得sinA(2－cosB)＝sinB(1＋cosA)，即2sinA－sinAcosB＝sinB＋sinBcosA，所以2sinA＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，所以2sinA＝sinB＋sin(A＋B)，所以2sinA＝sinB＋sinC，由正弦定理得2a＝b＋c.(2)因为12bcsinA＝34bc，所以sinA＝因为2a＝b＋c，所以A为锐角，所以A＝π3由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，又a＝b+c2，代入化简得b＝c，所以a＝b所以△ABC为等边三角形.

1.(2026·北京东城区模拟)在△ABC中，a＝6，b－c＝1，sinC＝74(1)求b的值及△ABC的面积;(2)求证:A＝2C.(1)解在△ABC中，b－c＝1，得b＝c＋1>c，所以C是锐角，由sinC＝74，可得cosC＝3而c2＝a2＋b2－2abcosC，所以c2＝36＋(c＋1)2－9(c＋1)，可得c＝4，则b＝5，故S△ABC＝12absinC＝12×6×5×(2)证明由(1)易知cosC＝34则cos2C＝2cos2C－1＝18由(1)及余弦定理有cosA＝b2所以cosA＝cos2C，又A，C∈(0，π)，A＋2C<π，则A＝2C.2.(2026·宁波质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2sinB＝sinA＋cosAtanC.(1)求C;(2)若2(a＋b)＝c2，求△ABC的边c的最大值.解(1)由2sinB＝sinA＋cosAtanC，得2sinBcosC＝sinAcosC＋cosAsinC，即2sinBcosC＝sin(A＋C)，又A＋B＋C＝π，则sin(A＋C)＝sinB≠0，于是cosC＝12，又0<C<π，所以C＝π(2)由(1)知C＝π3，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab而2(a＋b)＝c2，则2(a＋b)＝(a＋b)2－3ab，因此(a＋b)2－2(a＋b)＝3ab≤34(a＋b)2解得a＋b≤8，当且仅当a＝b时取等号，则c＝2(a+所以△ABC的边c的最大值为4.3.在△ABC中，23cos2B2＋2sinB2cos(1)求B的大小;(2)若3(a＋c)＝2b，求证:a＝c.(1)解在△ABC中，∵23cos2B2＋2sinB2cos∴23·1+cosB2＋sinB＝∴3cosB＋sinB＝0，∴tanB＝－3，∵B∈(0，π)，∴B＝2π3(2)证明∵B＝2π3，∴cosB＝－1由余弦定理得b2＝a2＋c2＋ac，①∵3(a＋c)＝2b，∴b＝32(a＋c)，将②代入①，得34(a2＋2ac＋c2)＝a2＋c2＋ac整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.4.(2026·东北三省三校联合模拟)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，3cosB＋12b(1)求A;(2)求2b解(1)由题意得acosB＋12b＝c由正弦定理得sinAcosB＋12sinB＝sinC因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinAcosB＋12sinB＝sinAcosB＋cosAsinB即12sinB＝cosAsinB因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，则cosA＝12由A∈(0，π)，得A＝π3(2)由A＋B＋C＝π，A＝π