新教材高中数学 第6章 导数及其应用 6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.2 第1课时 函数的导数与极值教学设计 新人教B版选择性必修第三册

课题新教材高中数学第6章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.2第1课时函数的导数与极值教学设计新人教B版选择性必修第三册课时安排课前准备教学内容本节课将围绕新教材高中数学第6章导数及其应用6.2.2第1课时函数的导数与极值展开教学。内容涉及利用导数研究函数的性质，主要包括导数的概念、求导法则、函数的极值点的判断以及极值的计算。通过具体实例，使学生掌握导数在研究函数性质中的应用方法。核心素养目标1.培养学生的逻辑思维能力，通过导数的概念和求导法则的学习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

2.增强学生的数学抽象能力，通过函数极值的研究，引导学生从具体问题中抽象出数学模型。

3.培养学生的数学建模意识，使学生能够将实际问题转化为数学问题，并利用数学工具进行解决。

4.提高学生的数学应用意识，使学生认识到导数在研究函数性质中的实际应用价值。学情分析本节课针对的是新高一学生，他们在初中阶段已经接触过函数和导数的基本概念，但对导数的深入理解和应用还处于初步阶段。在知识层面，学生对函数的基本性质、导数的定义和求导法则有一定的了解，但可能对导数与函数性质之间的联系理解不够深入。在能力方面，学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和数学建模能力有待提高，尤其是在解决实际问题时，如何将导数知识应用于函数性质的研究上，是他们需要克服的难点。

在素质方面，学生的自主学习能力和合作学习能力参差不齐，部分学生可能对数学学习缺乏兴趣，容易产生畏难情绪。此外，学生在课堂上的行为习惯也各不相同，有的学生能够积极参与讨论，有的则较为被动。

这些学情特点对课程学习产生以下影响：首先，教学过程中需要注重引导学生从具体实例出发，逐步抽象出导数的概念，帮助他们建立导数与函数性质之间的联系。其次，要通过多样化的教学方法和实践活动，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。再次，针对学生能力差异，设计分层教学，确保不同层次的学生都能有所收获。最后，培养学生良好的学习习惯和团队合作精神，为后续的数学学习打下坚实的基础。教学方法与手段1.讲授法：通过系统讲解导数的概念、求导法则和极值判断方法，帮助学生建立完整的知识体系。

2.讨论法：组织学生针对具体函数实例进行讨论，引导学生分析导数与函数性质的关系，提高学生的分析能力和合作能力。

3.实验法：利用多媒体软件模拟函数图像，让学生直观观察导数的变化，加深对导数概念的理解。

教学手段

1.多媒体演示：利用PPT展示函数图像和导数图像，直观展示导数与函数性质的关系。

2.互动软件：运用数学教学软件，让学生通过实际操作，体验导数的计算和应用。

3.网络资源：引导学生利用网络资源，拓展学习内容，提高学生的自主学习能力。教学过程设计导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示一幅描绘风景的图片，引导学生观察画面中树木的形状和变化，提出问题：“如何描述这棵树在不同高度处的形状变化？”

2.提出问题：引导学生思考，在现实生活中，我们如何描述物体的变化趋势？

3.引出导数概念：介绍导数的概念，解释其在描述物体变化趋势中的作用。

讲授新课（20分钟）

1.导数的定义（5分钟）：讲解导数的定义，结合实例说明导数的几何意义，引导学生理解导数在描述函数变化趋势中的作用。

2.求导法则（10分钟）：介绍常见的求导法则，如幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导等，并通过实例演示求导过程。

3.函数的极值（5分钟）：讲解函数的极值概念，介绍利用导数判断函数极值的方法，通过实例分析导数与函数极值的关系。

巩固练习（15分钟）

1.练习题目（5分钟）：发放练习题，要求学生独立完成，教师巡视解答，及时纠正错误。

2.学生讨论（5分钟）：组织学生分组讨论，针对练习题中的问题进行深入分析，培养学生合作解决问题的能力。

3.课堂展示（5分钟）：邀请学生上台展示解题过程，教师点评并给予指导。

课堂提问（5分钟）

1.提问环节：教师针对新学的知识点进行提问，检查学生对知识的掌握程度。

2.学生回答：学生举手回答问题，教师给予评价和反馈。

师生互动环节（5分钟）

1.教师提问：教师针对课堂内容提出问题，引导学生深入思考。

2.学生提问：学生提出自己在学习过程中遇到的问题，教师解答并给予指导。

教学总结（5分钟）

1.教师总结：教师对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点。

2.学生反馈：学生分享自己在课堂学习中的收获和体会。

教学双边互动（5分钟）

1.教师引导：教师通过提问、讨论等方式引导学生积极参与课堂活动。

2.学生参与：学生主动提问、回答问题，展示自己的学习成果。

教学创新

1.利用多媒体演示，直观展示导数与函数性质的关系。

2.设计分层练习，满足不同层次学生的学习需求。

3.组织学生进行小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。

教学过程流程环节

1.导入环节：激发学生学习兴趣，引入导数概念。

2.讲授新课：讲解导数定义、求导法则和函数极值。

3.巩固练习：通过练习和讨论巩固学生对新知识的理解和掌握。

4.课堂提问：检查学生对知识的掌握程度。

5.师生互动环节：教师引导学生深入思考，学生提出问题并得到解答。

6.教学总结：教师总结本节课所学内容，学生分享学习体会。

7.教学双边互动：教师引导学生积极参与课堂活动，学生主动参与。

解决问题及核心素养能力的拓展要求

1.解决问题：培养学生运用导数知识解决实际问题的能力。

2.核心素养能力拓展：提高学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和数学建模能力。

教学过程共计45分钟。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《微积分基础》第一章：导数的基本概念，介绍导数的定义、几何意义以及导数的基本性质。

-《高等数学导论》第二章：导数的应用，探讨导数在物理、经济、工程等领域的应用实例。

-《数学分析》第一章：导数的极限方法，讲解导数的极限方法及其在求解导数中的应用。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试利用导数解决实际问题，如分析物体运动的速度和加速度、计算曲线的切线斜率等。

-鼓励学生研究不同类型函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数表达式。

-引导学生探究导数在解决最优化问题中的应用，如求解函数的最大值和最小值、确定函数的拐点等。

-学生可以尝试通过计算机软件或数学软件，如MATLAB、Mathematica等，绘制函数图像和导数图像，直观观察导数的变化规律。

-鼓励学生研究导数在微分方程中的应用，如求解微分方程、分析微分方程的解的性质等。

-学生可以阅读相关文献或参加数学竞赛，了解导数在其他学科中的应用，如物理学、生物学、经济学等。

3.课后作业与实践活动：

-完成教材中的拓展练习题，巩固对导数概念和性质的理解。

-选择一个感兴趣的函数，分析其导数的变化规律，并撰写一份报告。

-设计一个简单的实验，测量物体运动的速度和加速度，并利用导数进行分析。

-参与数学社团或兴趣小组，与其他同学分享自己的学习心得和研究成果。

-利用网络资源，查找导数在现实生活中的应用案例，如股票价格分析、人口增长预测等。课后作业1.题型：求函数的导数

题目：求函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x\)的导数。

答案：\(f'(x)=3x^2-6x+4\)

2.题型：判断函数的极值点

题目：判断函数\(g(x)=x^2-2x-3\)的极值点。

答案：求导得\(g'(x)=2x-2\)，令\(g'(x)=0\)解得\(x=1\)。再求二阶导数\(g''(x)=2\)，因为\(g''(1)>0\)，所以\(x=1\)是极小值点。

3.题型：分析函数的单调性

题目：分析函数\(h(x)=\frac{1}{x}-x\)在\((0,+\infty)\)区间的单调性。

答案：求导得\(h'(x)=-\frac{1}{x^2}-1\)，因为\(h'(x)<0\)在\((0,+\infty)\)区间内恒成立，所以\(h(x)\)在\((0,+\infty)\)区间内是单调递减的。

4.题型：求解函数的最大值或最小值

题目：求解函数\(k(x)=x^2+4x+3\)在闭区间\([-2,1]\)上的最大值和最小值。

答案：求导得\(k'(x)=2x+4\)，令\(k'(x)=0\)解得\(x=-2\)。计算\(k(-2)=1\)，\(k(1)=8\)，因为\(k(-2)<k(1)\)，所以最大值为8，最小值为1。

5.题型：研究函数的拐点

题目：研究函数\(l(x)=x^4-6x^2+9\)的拐点。

答案：求导得\(l'(x)=4x^3-12x\)，令\(l'(x)=0\)解得\(x=0,\pm\sqrt{3}\)。再求二阶导数\(l''(x)=12x^2-12\)，令\(l''(x)=0\)解得\(x=\pm1\)。因此，\(x=0,\pm1,\pm\sqrt{3}\)是拐点。通过计算可知，拐点为\((0,9),(1,4),(-1,4),(-\sqrt{3},0),(\sqrt{3},0)\)。教学评价1.课堂评价：

-提问评价：通过课堂提问，了解学生对导数概念、求导法则和函数性质的理解程度。对于学生的回答，给予及时的评价和反馈，帮助学生纠正错误，强化正确理解。

-观察评价：在课堂上观察学生的参与度和互动情况，关注学生的眼神、表情和动作，以评估学生的注意力集中程度和学习兴趣。

-小组讨论评价：通过小组讨论的表现，评估学生的合作能力和沟通技巧。观察学生在讨论中的角色和贡献，以及他们如何解决问题和分享观点。

2.作业评价：

-作业批改：对学生的作业进行认真批改，确保每道题都得到仔细检查。对学生的答案进行评分，并根据评分标准给予详细的反馈。

-反馈沟通：通过作业反馈，与学生沟通学习进展，指出他们在学习中的强项和需要改进的地方。鼓励学生针对反馈进行自我反思和改进。

-定期测试：定期进行小测验或测试，以评估学生对导数及其应用的掌握程度。测试结果可以作为教学评价的重要依据，帮助教师调整教学策略。

3.个性化评价：

-针对个别学生：对于学习有困难的学生，提供个性化的辅导和额外的练习，确保他们能够跟上教学进度。

-学生自我评价：鼓励学生进行自我评价，反思自己的学习过程和成果，培养自我监控和自我调节的学习能力。

4.综合评价：

-结合课堂表现、作业、测试等多个方面，对学生的学习进行全面评价。这种综合评价有助于更全面地了解学生的学习情况，并为他们提供个性化的学习建议。内容逻辑关系①本文重点知识点：

-导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，是连接函数变化和几何图形切线斜率的概念。

-求导法则：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

-极值：函数的局部最大值和最小值，是函数在某一区间内变化趋势的转折点。

②本文重点词：

-变化率：导数的直观意义，表示函数在某一点处的平均变化率。

-极大值、极小值：函数的局部最大值和最小值，是函数的极值。

-切线斜率：导数在几何上的应用，表示曲线在某一点的切线斜率。

③本文重点句：

-“导数是函数在某一点处的变化率，是函数在某一点处变化快慢的量度。”

-“导数可以帮助我们了解函数在某一点附近的变化趋势，以及曲线在该点处的切线斜率。”

-“函数的极值是函数在某一区间内变化趋势的转折点，可以通过导数来判断。”教学反思教学反思

这节课下来，我觉得有几个地方做得还不错，但也有不少可以改进的地方。

首先，我发现学生们对导数的概念理解得比较快，特别是通过实例演示，他们能够直观地看到导数在描述函数变化趋势中的作用。我用了函数图像和导数图像的对比，让他们看到了导数如何从几何角度来解释函数的局部性质，这个方法挺有效的。

但是，我也注意到在讲解求导法则时，有些学生显得有些吃力。这可能是因为他们对幂函数、指数函数等基础知识的掌握还不够扎实。所以，我觉得在今后的教学中，我需要更细致地复习和巩固这些基础知识，确保学生在学习新内容时有足够的准备。

另外，我在课堂练习环节设置了一些难度不同的题目，旨在让学生通过练习巩固所学知识。但是，我发现有些学生对于稍微复杂一点的题目显得有些迷茫，这说明我在设计练习题时可能没