2024北京延庆区高三一模数学试题及答案

2024北京延庆高三一模

数学

2024.03

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考

试结束后，将答题纸交回。

第一部分(选择题，共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。

⑴已知集合A{xx3},B{1,2.3).则AU3=

(A)(x,3)(B)(x,3]

(C){1,2}(D){1,2,3}

2

⑵若复数z满足zij则z

1i

(A)1i(B)1i

(C)1i(D)1i

1

Q

⑶在(2%X5的展开式中，6的系数为

(A)40(B)40

(C)80(D)80

(4)已知抛物线C：V8x的焦点为尸，点〃在C上.若M到直线尤4的距离为7,贝用

(A)4(B)5

(C)6(D)7

—►1——►'——>

(5)已知正方形A8CD的边长为2,点P满足AP-(ACAD),贝I].AC

2

(A)4(B)5

(C)6(D)8

(6)“sin2d。”是为第一或第三象限角”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(7)已知函数/(尤)3*2x1,则不等式/(尤).0

的解集是

(A)(O')(B)(0,z)

(C)(，，0)(D)(，，。)U(l，+oo)

(8)设alog32,blog,c1■则

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(A)a-b•c(B)oba

(C)b>c>a(D)b>a>c

(9)在等边△ABC中，AB2,P为AABC所在平面内的动点，且〃1］，

。为边

BC上的动点，则线段P。长度的最大值是

(A)y/31(B)/1

(C)V32(D)3

(10)已知在正方体ABC。Ap「Pi中，AB1,尸是正方形ABC。内的动点，

PA>PG,则满足条件的点P构成的图形的面积等于

第二部分(非选择题，共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

22

(11)已知双曲线c：L11的离心率为3,则双曲线C的渐近线方程为________.

ab

(12)AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B60，，sinA3sinC,b夕贝

°,△ABC的面积为.

(13)已知函数/(x)x(0,,J,在区间(10上单调递减,则0的-个取值

为.

(14)北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块

扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向

外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则上

层有扇形石板块.

।x22ax,x«

(15)已知函数/(x)\nx给出下列四个结论：

axS1.

x

a/1(X)的最小值为0；

①存在实数，使得函数

②存在实数a•0,使得函数/'(%)的最小值为1；

af(尤)恰有2个零点；

③存在实数，使得函数

a/1(尤)恰有4个零点.

④存在实数，使得函数

其中所有正确结论的序号是

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题14分)

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已知函数/(x)2sinxcosx2asin2尤a(°.0),/(x)的最大值为2.

(I)求。的值；

jr

(II)将/(尤)的图象向右平移—个单位得到g(无)的图象，求函数g(x)的单调增区间.

3

(⑺(本小题13分)

第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排

如下表：

9:30单人雪橇第1轮

10:30单人雪橇第2轮

12月16日星期六

15:30双人雪橇第1轮

16:30双人雪橇第2轮

9:30单人雪橇第3轮

12月17日星期日10:30单人雪橇第4轮

15:30团体接力

(I)若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；

(II)若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记X为看到双人雪橇的次数，求X的分布列及期望

E(X)；

(III)若小明在每天各随机观看一场比赛，用“二1”表示小明在周六看到单人雪橇，。”表示小

11

明在周六没看到单人雪橇，1”表示小明在周日看到单人雪橇，“3。”表示小明在周日没看

22

到单人雪橇，写出方差D(Z),£(仁』的大小关系.

(⑻(本小题15分)

如图，四棱柱ABC。A/CQi的底面ABC。是边长为2的正方形，侧面A。。4,

底面ABCD,

D1D3,E是BC的中点.一

(I)求证：£(/〃平面。产。；

(II)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角。C1E21唯一确

定，并求二面角。C1E21的余弦值.

条件①：G。"；

条件②:DB4T；

条件③：AD,CxD.

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注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

(⑼(本/卜题15分)

乙乙nr

已知椭圆E：江Q1(。b0)的离心率为弓，A,C分别是E的上、下顶点，IACI2,B,D

分别是E的左、右顶点.

(I)求E的方程；

(II)设P为第二象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点直线与直线CD交于点N,求

证：MN，BD.

(20)体/J\题15分)

已知函数/(尤)In.r(2d)x2.

(I)若曲线y〃X)的一条切线方程为yx1,求。的值；

(II)若函数/(x)在区间(1,2)上为增函数，求。的取值范围；

(III)若(J,，)，/(X)无零点，求。的取值范围.

(21)(本卜题13分)

已知数列；叫，记集合T加，力胪，力a,.a-…+与,屿＞j,i,jN*；

(I)若数列国

''为L2,3,写出集合T

(II)若厮2a,是否存在N*,使得512?若存在，求出一组符合条件的i,J;若不存

在，说明理由；

(III)若4n,把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为61*2,…，"，…，若及W2024,求

m的最大值.

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参考答案

一、选择题:(每小题4分，共10小题，共40分)

l.B2.C3.D4.B5.C6.C7.A8.D9.D10.A

二、填空题:(每小题5分，共5小题,共25分)

Y-13.|

11.y14;40515.①③

12题第一空3分，第二空2分；15题选对一个给3分，二个给5分,有错误不给分.

三、解答题：(共6小题,共85分.解答应写出文字说明、演算步骤.)

16.解：

(I)因为f(x)sin2x2分

其中tan(pa3分

所以a22,5分

又因为a0,

所以a6分

(II)因为/(x)sin2x衣os2x2sin(2x8分

所以g(x)2sin[2(xg2sin(2x1。分

7T兀

贝ij2左兀—<2x22kli12分

232

5兀

ku—<x三ku13分

12~12

71

所以函数g(X)的单调增区间为林兀—^71Z)14分

没有出现hz扣一分，结果不写区间形式扣一分。

17.解：

(I)记“小明在每天各随机观看一场比赛，恰好看到单人雪橇和双人雪橇”为事件A.由表可知，每

天随机观看一场比赛，共有4.3122.24

种不同方法，其中恰好看到单人雪橇和双人雪橇，共有〜〜种不

同方法.

41

所以尸(A)4分

123

(II)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.5分

102

根据题意，P(X0)6分

357

第5页/共11页

p（x1）||t……7分

「551

P（X2）丁-……8分

c

随机变量X的分布列是：

X012

241

P

777

.......99分分

数学期望E(X)0.-1.92,--.……11分

7777

(HI)D।2.......13分

(三)

18.解:(I)证明：

方法一：在四棱柱A3CDApr。1中，连结设。「八。£=。，连结在△"山°中，因

为0、E分别为nC,3C的中点，

所以0E〃D3,................2分

又因为平面"LU平面5。........3分

所以23〃平面CED................4分

方法二：在四棱柱A3。ARPPIBCLhF

中，

//

因为BE,

所以FGEB为平行四边形，

所以EB〃GE,……1分

因为ER4CC/DD1,

所以DD/E为平行四边形，

所以DF〃DE,……2分

因为。EnqE=E,RFC\FB=F

所以平面〃平面£DE,……3分

因为BDt平面DiFB

所以23〃平面GED.……4分

（II）解：

选择条件①：本问记为0分.

选择条件②：

第6页/共11页

连结DA,因为底面A3CD是正方形,

所以B4,AD,

又因为侧面底面ABCD,且侧面ADDiAABCDAD

1底面

所以B4,平面ADA4，

...£>A/A

所cr以।,

在A3中，因为b

,AB2,

所以DA产，

在DDi3

中，因为AD2,

所以AD工DR,,

所以DD―平面ABC。即

又因为ADrCD,

所以如图建立空间直角坐标系Dxyz,........6分

其中。(0,0,0),G(0,2,3),£(1,2,0),,且DC；(0,2,3),

DE(1,2,0),7分

因为侧面，底面ABCD平面ADDiAn平面/BCDAD

所以DC，平面ADDid，

因为平面ADDAII平面3CCB

11

所以。C,平面BCGH],故反(0,2,0)为平面CM的一个法向量

…9分

,—»—1—>1

设方(x,y,Z)为平GDE面的一个法向量，贝1Jt一「，即；°.

nDE0,%2y0

不妨设y3,则X6,z2,可得"Y°'J㈤........12分

DC'n63

所以cos<DC,n--亍，........14分

|DC||H|2.749

因为二面角。C©B的平面角是钝角，

D

所以二面角。CEB的余弦值为丁15分

选择条件③：A。fCiD

因为底面ABCD是正方形，

所以AD,DC,

因为AD>GD,

第7页/共11页

所以AD，平面GDC,

因为平面C]DC

所以AD，DD,

因为侧面ADD^v底面ABCD,且侧面ADDiAABCDAD

底面

所以“，平面A5CD‘即"‘皿""

又因为AD，CD,

所以如图建立空间直角坐标系。盯z,........6分

下面同选择条件②.

19.解：

2b2,

I|C直........3分

(I)由题设，.2

Ia2b2c2.

解得。2,b1.........4分

x2

所以E的方程为工y21.........5分

(II)方法一：

因为椭圆E的方程为一y21所以A0,1,C0,1,B2,0,D2,0

4

因为P为第二象限E上的动点，设Pm,n2m-0,0H.1...........6分

所以—“21,即机2441...............7分

4

直线PO的方程为二.，即y—二(尤2).........8分

n0m2m2

1

M9分

直线8C的方程为:：1,即y2

11

y寸L

4〃2m4

由।得加io分

m2n2

直线P8的方程为二建「，即y二于02)...............II分

n0m2m2

直线cr1的方程为:孑I,即yiI.12分

第8页/共11页

1

y1,

24n2m4

由得XN13分

nm2n2

(x2)

,Vm2

16n24m21616n24(44n?16

(mIn2)(mIn2)(m2n2)(m2n2)

Smn2m28n28Smn2(44n2)8n288rm

2222

XN8mn2m8n8Smn2(44〃)8n88m几

所以x%,即MN’BD

MN

方法二：

因为椭圆E的方程为一y2L所以A0,1,C0,1,B2,0,D2,0

4

设直线即的方程为yk{x2),其中—.A:0.........7分

2

........9分

1

即yX

直线BC的方程为三;2

..............11分

即yx2......12分

4^

..............13分

..............14分

..............15分

(I)函数/(x)的定义域为(0)

，,,设切点为(x,y),

100

因为r(x)—2a,1分

x

1C1

所以一2a1,即沏2分

%01a

分

因为为In%0(2a)x2,y再10,4

第9页/共11页

所以In%(1a)x01,即In110,

1a

所以,1,即a0.............5分

1a

(II)因为/'(x)-2a,/(x)在区间(1,2)上为增函数，

x

所以/'(x)20在(1,2)内恒成立，............7分

3

因为xw(l,2),所以「(x)c(al,a-),............8分

所以a1............10分

0,即

(III)因为/'(X)-2aQ""1x.o,s),

XX,

当2〃WO,即〃W2时，/r(x)-0

所以“X)在(3，工)上单调递减，

e

因为/(白)2(2a)白WO,

所以/Xx)在(上，,)上无零点，符合题意；……11分

e

当2时，令/''(%)0,则x--.0

2a

当Xe(0,，一)时，f'(x)<0；当y(工,»)f'(x)>0

2a2〃时，

所以/•(%)的单调递减区间是(0,J—)；单调递增区间是(「一，工),

2a2a

/■(X)的最小值为/'(二)In41,……12分

2a2a

当In-J—10,即a>e2时，f(x)无零点，符合题意；……13分

2a

当ae2时，/'(X)有一个零点41>—,不符合题意；……14分

2aeei

当2.a<e2时，/'(x)的最小值/'(J)InJ10

2a2a

因为/&)(2a)\o,

ee

所以或€(!，」一),使得/(沏)o,不符合题意；……15分

e2a