2024届北京市部分区中考数学全真模拟试题含解析

2024届北京市部分区中考数学全真模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，在。O中，弦AC〃半径OB,ZBOC=50°,则NOAB的度数为（）

D.30°

2.单项式2a3b的次数是（）

A.2B.3C.4D.5

3.下列实数中，无理数是（）

22

A.3.14B.1.01001C.衿D.—

4.。涉是两个连续整数，若a＜币＜b，则匕分别是（）.

A.2,3B.3,2C.3,4D.6,8

5.如图，淇淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60。的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50。的方向行驶来到C地,

C地恰好位于A地正东方向上，则（）

①B地在C地的北偏西50。方向上；

②A地在B地的北偏西30。方向上；

③cosNBAC=必；

2

④NACB=50。.其中错误的是（）

C

A.①②B.②④C.①③D.③④

6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一

丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子

长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）

a竿\

标\

杆\

A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺

7.如图，A5是。。的直径，43=8,弦垂直平分08,E是弧AO上的动点，A尸，CE于点歹，点E在弧40上

从A运动到。的过程中，线段C歹扫过的面积为（）

A.4兀+3y/3B.4TT+--^3C.—TI+—y/3D.—TT+3y/3

8.要使分式有意义，则x的取值应满足（）

x*2

A.x=-2B.x#2C.x>-2D.x,-2

9.据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27,30,29,25,26,28,29,那

么这组数据的中位数和众数分别是（）

A.25和30B.25和29C.28和30D.28和29

10.如图所示的四边形，与选项中的一个四边形相似，这个四边形是（）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.函数y=-x+2的图象不经过第象限.

12.方程-x=Jx+6的解是.

13.如图，在△ABC中，NAC3=90。，点。是C5边上一点，过点。作OELA8于点E,点F是AO的中点，连结

EF.FC.CE.若AO=2,ZCFE=90°,贝！|CE=.

14.已知，在同一平面内，NABC=50。,AD〃BC,ZBAD的平分线交直线BC于点E,那么/AEB的度数为.

15.如图，在平面直角坐标系中，菱形O4BC的面积为12,点5在y轴上，点C在反比例函数尸8的图象上，则发

的值为1

16.如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2,ZA=60°,将菱形纸片翻折，使点A落在。的中点E处，折痕为尸G,

点E,G分别在边AB,AD1.,贝Ucos/EFG的值为.

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)已知：二次函数>=依2+"满足下列条件：①抛物线方“好+心与直线产x只有一个交点；②对于任意实

数x,a(-x+5)2+b(-x+5)-a(x-3)2+b(x-3)都成立.

(1)求二次函数产ad+Ax的解析式；

(2)若当(#0)时，恰有&WL5r成立，求f和r的值.

18.(8分)甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原

来的2倍.两组各自加工零件的数量4件)与时间、(时)的函数图象如图所示.

（1）求甲组加工零件的数量y与时间'之间的函数关系式.

（2）求乙组加工零件总量。的值.

（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装

满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？

19.（8分）如图1,在AABC中，点尸为边A5所在直线上一点，连结为线段CP的中点,若满足NACP=NMB4,

则称点P为AABC的“好点”.

⑴如图2,当NA5C=90。时，命题“线段A3上不存在“好点”为（填“真”或"假”）命题，并说明理由；

（2汝口图3,尸是AA3C的5A延长线的一个“好点”，若PC=4,PB=5,求AP的值；

（3）如图4,在RSABC中，ZCAB=90°,点尸是AABC的“好点”，若AC=4,AB=5,求AP的值.

APB

图1图2

C

PABAPB

图3图4

20.（8分）如图，AB为。O的直径,D为。。上一点，以AD为斜边作△ADC,使NC=90。，NCAD=NDAB求证:

DC是。O的切线；若AB=9,AD=6,求DC的长.

21.（8分）我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地海拔高度约

为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30。，由B处望山脚C处的俯角为45。,

若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米(结果取整数，参考数据GM.732)

B

.......................3^>jJW455""

一

工)理I向密收中

-12

22.(10分)化简求值：r~-^(1——-),其中》=出一1.

x+2x+lx+1

23.(12分)某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30。方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出

发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75。方向的C处，求：

(1)NC=°；

(2)此时刻船与B港口之间的距离CB的长(结果保留根号).

4

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=H+左与双曲线y=—(x>0)交于点A(l，a).

x

求a,k的值；已知直线/过点。(2,0)且平行于直线y=H+左，点P(m,n)(m>3)

。I?)45•VB

4

是直线/上一动点，过点P分别作1轴、y轴的平行线，交双曲线丁=一(x>o)于点M、N,双曲线在点M、NN

X

间的部分与线段PM、PN所围成的区域(不含边界)记为W.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.

①当租=4时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点个数不超过8个，结合图象，求m的取值范围.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】

如图，•.•/BOC=50。，

/.ZBAC=25°,

VAC/ZOB,

.,.ZOBA=ZBAC=25°,

VOA=OB,

ZOAB=ZOBA=25°.

故选A.

2、C

【解析】

分析：根据单项式的性质即可求出答案.

详解：该单项式的次数为：3+1=4

故选C.

点睛：本题考查单项式的次数定义，解题的关键是熟练运用单项式的次数定义，本题属于基础题型.

3、C

【解析】

先把能化简的数化简，然后根据无理数的定义逐一判断即可得.

【详解】

4、3.14是有理数；

B、1.01001是有理数；

C、衿是无理数；

22

D、一是分数，为有理数；

7

故选C.

【点睛】

本题主要考查无理数的定义，属于简单题.

4、A

【解析】

根据〈百，可得答案.

【详解】

根据题意，可知\/4<,可得a=2,b—1.

故选A.

【点睛】

本题考查了估算无理数的大小，明确〃〈近〈囱是解题关键.

5、B

【解析】

先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及方向角的描述方法解答即可.

【详解】

如图所示，

由题意可知，Zl=60°,Z4=50°,

.*.Z5=Z4=50°,即B在C处的北偏西50。，故①正确;

；/2=60°,

Z3+Z7=180°-60°=120°,即A在5处的北偏西120°,故②错误；

•/Zl=Z2=60°,

ZBAC=30°,

cosNBAC=1,故③正确；

2

；N6=90。-N5=40。，即公路AC和5c的夹角是40。，故④错误.

故选B.

【点睛】

本题考查的是方向角，平行线的性质，特殊角的三角函数值，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结

合平行线的性质求解.

6、B

【解析】

【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.

【详解】设竹竿的长度为X尺，

•••竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，

.x_1.5

••一,

150.5

解得x=45（尺），

故选B.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键.

7、A

【解析】

连AC,OC,BC.线段C尸扫过的面积=扇形的面积+△MS的面积，从而证明Z4MH=120。即可解决问题.

【详解】

如下图，连AC,OC,BC,设CZ＞交A8于H,

•.•C。垂直平分线段08,

:.CO=CB,

'：OC=OB,

：.OC=OB=BC,

ZABC=60°,

,：AB是直径，

•,.ZAC8=90°,

:.ZCAB=3Q°,

ZAFC^ZAHC=90°,

.•.点尸在以AC为直径的。”上运动，当E从A运动到。时，点下从A运动到77,连接

：.ZMAH^ZMH^30°

...ZAMW=120°,

•/AC=4班,

/.CF扫过的面积为(2A/3)2+乎x(26)2=4兀+36，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了阴影部分面积的求法，熟练掌握扇形的面积公式及三角形的面积求法是解决本题的关键.

8、D

【解析】

试题分析：•••分式-一有意义，...x+l/),.•.xW-L即x的取值应满足：x^-1.故选D.

考点：分式有意义的条件.

9、D

【解析】

【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案.

【详解】对这组数据重新排列顺序得，25,26,27,28,29,29,30,

处于最中间是数是28,

这组数据的中位数是28,

在这组数据中，29出现的次数最多，

,这组数据的众数是29,

故选D.

【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数

据叫做众数，一组数据按从小到大(或从大到小)排序后，位于最中间的数(或中间两数的平均数)是这组数据的中

位数.

10、D

【解析】

根据勾股定理求出四边形第四条边的长度，进而求出四边形四条边之比，根据相似多边形的性质判断即可.

【详解】

解：作于E,

则四边形AECD为矩形,

：.EC=AD^\,AE=CD=3,

：.BE=4,

由勾股定理得，AB7AE2+BE2=5,

四边形ABC。的四条边之比为1：3：5：5,

D选项中，四条边之比为1：3：5：5,且对应角相等，

故选D.

【点睛】

本题考查的是相似多边形的判定和性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、三.

【解析】

先根据一次函数y=-X+2中左=-1,匕=2判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论.

【详解】

解：•.•一次函数y=-X+2中左=-KO,Q2>0,

，此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，

故答案为：三.

【点睛】

本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=6+M左wO）中，当左V0,匕）0时，函数图象经过一、二、四象限.

12、x=-2

【解析】

方程一X=Jx+6两边同时平方得:

2x

x—x+6>解得：i=3,x2——2,

检验：（1）当x=3时，方程左边=-3,右边=3,左边力右边，因此3不是原方程的解；

（2）当x=-2时，方程左边=2,右边=2,左边=右边，因此-2是方程的解.

...原方程的解为：x=-2.

故答案为：-2.

点睛：（1）根号下含有未知数的方程叫无理方程，解无理方程的基本思想是化“无理方程”为“有理方程”；（2）解无理

方程和解分式方程相似，求得未知数的值之后要检验，看所得结果是原方程的解还是增根.

13、O

【解析】

根据直角三角形的中点性质结合勾股定理解答即可.

【详解】

解：/ACB=90°,点尸是AO的中点，

:.CF=-AD=1

2

DEIAB

ZAED=90°

:.EF=-AD=l

2

CF=EF

ZCFE=9Q）

CE=VCF2+EF2=Vl2+12=V2

故答案为：V2.

【点睛】

此题重点考查学生对勾股定理的理解。熟练掌握勾股定理是解题的关键.

14、65。或25°

【解析】

首先根据角平分线的定义得出NEAD=NEAB,再分情况讨论计算即可.

【详解】

解：分情况讨论：（1）；AE平分NBAD,

/.ZEAD=ZEAB,

VAD/7BC,

.\ZEAD=ZAEB,

.\ZBAD=ZAEB,

,.,ZABC=50°,

/.ZAEB=-•(180°-50°)=65°.

2

AZEAD=ZEAB=-ZDAB,

2

VAD//BC,

.\ZAEB=ZDAE=^ZDAB,ZDAB=ZABC,

,.,ZABC=50°,

1

/.ZAEB=-x50°=25°.

2

故答案为：65。或25°.

【点睛】

本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

15、-6

【解析】

因为四边形OABC是菱形，所以对角线互相垂直平分，则点A和点C关于y轴对称，点C在反比例函数上，设点C的坐标

tt2k2K

为(x,—),则点A的坐标为(一x,一),点B的坐标为(0,——),因此AC=-2xQB=——，根据菱形的面积等于对角线乘积的一

xxxX

半得：

12k

S菱形0ABe=5X(-2x)X—=12,解得％=—6.

V21

1K6^------

7

【解析】

过点A作APLCD,交CD延长线于P,连接AE,交FG于O,根据折叠的性质可得NAFG=NEFG,FG±AE,

根据同角的余角相等可得ZPAE=ZAFG，可得ZEFG=ZAPE,由平行线的性质可得ZPDA=60°,根据ZPDA

的三角函数值可求出PD、AP的长，根据E为CD中点即可求出PE的长，根据余弦的定义cosNAPE的值即可得答

案.

【详解】

过点A作APLCD,交CD延长线于P,连接AE,交FG于O,

•.•四边形ABCD是菱形，

AD=AB=2,

•••将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG,

.•・NAFG=ZEFG,FG±AE,

VCD//AB,AP±CD,

AAP±AB,

ZPAE+ZEAF=90°,

VZEAF+ZAFG=90°,

:.ZPAE=ZAFG,

:.ZEFG=ZAPE,

VCD//AB,NDAB=60。，

/.ZPDA=60°,

/.AP=ADsin60°=2x与=百，PD=ADcos60°=2x1=1,

为CD中点，

DE=-AD=1,

2

PE=DE+PD=2,

•*-AE=VAP2+PE2=V7»

."A口APV21

・・cosZEFG=cosZPAE==—^==-----.

AE屿7

故答案为变

7

【点睛】

本题考查了折叠的性质、菱形的性质及三角函数的定义，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状

和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，熟练掌握三角函数的定义并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)y=-^-x2+x；(2)t=-4,r=-l.

【解析】

(1)由①联立方程组，根据抛物线y=ax2+bx与直线y=x只有一个交点可以求出b的值，由②可得对称轴为x=l,从

而得a的值，进而得出结论；

(2)进行分类讨论，分别求出t和r的值.

【详解】

(1)y=ax2+bx和y=x联立得：ax2+(b+l)x=0,

A=0得：(b-l)2=0,得b=l,

.b

••------=19

2a

.1

・•a=----9

2

y=——x2+x.

2

(2)因为y=-;x2+x=—；(x-l)2+；,

所以顶点(1,1)

2

当且#0时，

当x=r时,y最大二-；r2+r=1.5r,得r=-l,

当x=-2时,y最小=-4,

所以，这时t=-4,r=-l.

当r>l时，

1g1

y最大二~，所以l1.5r=5，

所以r=」，不合题意，舍去，

3

综上可得，t=-4,r=-l.

【点睛】

本题考查二次函数综合题，解题的关键是理解题意，利用二次函数的性质解决问题.

18、(1)见解析(2)300(3)2小时

【解析】

解：(1)设甲组加工的零件数量y与时间x的函数关系式为，=丘.

根据题意，得6左=360,解得左=60.

所以，甲组加工的零件数量j与时间x的函数关系式为:y=60x.

(2)当x=2时，y=W0.

因为更换设备后，乙组工作效率是原来的2倍,

所以‘ra=Vx2-解得TOO.

(3)乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间”的函数关系式为

y=100+100(%—2.8)=100x—180.

30

当0金、2时，60x+50%=300.解得％=”.舍去.

当2<x^2.8时，100+60x=300.解得％=舍去.

当2.8v烂4.8时,60%+100%-180=300.解得X=3.

所以，经过3小时恰好装满第1箱.

39

当3vxW4.8时，60x+100x-180=300x2.解得％二不.舍去.

当4.8<rW6时.60%+300=300x2.解得％=5.

因为5—3=2,

所以，再经过2小时恰好装满第2箱.

8

19、(1)真；(2)-；(3)AP=2或AP=8或=—5.

【解析】

(1)先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知从而NMPB=NM3P,然后根据三角形外角的性质

说明即可；

(2)先证明ABiCsaPMb然后根据相似三角形的性质求解即可；

(3)分三种情况求解：P为线段AB上的“好点”，P为线段AB延长线上的“好点”，P为线段BA延长线上的“好点”.

【详解】

⑴真.

理由如下：如图，当NABC=90。时，V为尸C中点，BM=PM,

贝！INMPB=/MBP>NACP,

所以在线段AB上不存在“好点”；

rA、一

(2)I•尸为5A延长线上一个“好点”；

:.NACP=NMBP；

.".APAC^APMB；

PMPA

：.——=—即=

PBPC

为尸C中点，

：.MP=2,

2X4=5B4；

/.PA=~.

5

(3)第一种情况，尸为线段AB上的“好点”，则NACP=NMBA,找AP中点O,连结M。；

为CP中点；

:.MD为4CPA中位线；

：.MD=2,MD〃CA；

：.ZDMP=ZACP=ZMBA；

：.ADMPMDBM；

：.DMP^DPDBBP4=DP-(5-OP)；

解得Z>P=LOP=4(不在A5边上，舍去；)

：.AP=2

(*

ADPB

第二种情况(1),P为线段Ab延长线上的“好点”，贝!)NACP=NAfA4,找AP中点D,此时，。在线段AS上，如图,

连结MD；

c

为CP中点；

:.MD为4CPA中位线；

：.MD=2,MD//CA；

：.ZDMP=ZACP=ZMBAi

:./\DMPs/\DBM

^D^DPDBBP4=DP-C5-DA）=DP-（5一。尸）；

解得Z>P=1（不在A5延长线上，舍去），。尸=4

，AP=8；

第二种情况（2）,尸为线段A3延长线上的“好点”，找AP中点。，此时，。在A8延长线上，如图，连结MZ>；

此时，NMBA>NMZ>5>NZ>MP=NAQ°,则这种情况不存在，舍去;

第三种情况，尸为线段5A延长线上的“好点”，贝

APACsAPMB；

:•/PMB=NPAC=90°

...3M垂直平分PC则5c=BP=«I;

**-AP=V41-5

综上所述，AP=2或AP=8或AP=“T—5；

【点睛】

本题考查了信息迁移，三角形外角的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，相似三角形的判定与性质及分类

讨论的数学思想，理解“好点”的定义并能进行分类讨论是解答本题的关键.

20、(1)见解析；(2)2节

【解析】

分析：

(1)如下图，连接OD,由OA=OD可得/DAO=NADO,结合NCAD=NDAB,可得NCAD=NADO,从而可得

OD/7AC,由此可得NC+NCDO=180。，结合NC=90。可得NCDO=90。即可证得CD是。O的切线；

(2)如下图，连接BD,由AB是。O的直径可得NADB=9(F=NC,结合/CAD=NDAB可得△ACDs^ADB,由

ADAB

此可得——二——，在RtAABD中由AD=6,AB=9易得BD=3际，由此即可解得CD的长了.

CDBD

详解：

(1)如下图，连接OD.

VOA=OD,

.\ZDAB=ZODA,

VZCAD=ZDAB,

.*.ZODA=ZCAD

/.AC/7OD

.•.ZC+ZODC=180°

VZC=90°

:.ZODC=90°

/.OD±CD,

・・・CD是。O的切线.

(2)如下图，连接BD,

TAB是。O的直径，

:.ZADB=90°,

VAB=9,AD=6,

***BD='9?-6?=yj45=3^5,

VZCAD=ZBAD,ZC=ZADB=90°,

.•.△ACD^AADB,

.ADAB

••一,

CDBD

.69

"'CD~3^5'

，CD=『5

点睛:这是一道考查“圆和直线的位置关系与相似三角形的判定和性质”的几何综合题，作出如图所示的辅助线，熟悉“圆

的切线的判定方法”和“相似三角形的判定和性质”是正确解答本题的关键.

21、隧道最短为1093米.

【解析】

【分析】作BDLAC于D,利用直角三角形的性质和三角函数解答即可.

【详解】如图，作BDLAC于D,

B

...............

4帘理扁尚业'

由题意可得：BD=1400-1000=400（米）,

ZBAC=30°,ZBCA=45°,

在RtAABD中，

BD40073

Vtan30°=—,BP,

ADAD3

.*.AD=4003（米）,

在RtABCD中,

..BD400,

•tan45