2023年代数知识点

《代数》知识点整理一

一实数（有理数和无理数的统称）

正整数自/数}

整数yL

’有理数I负整数

Y

实数〔分数

无理数-------无限不循环小数叫做无理数（如，，0.…）

有理数都可以写成（a、b是整数，且bWO）的形式

无理数万能写成分数（a、b是整数，且bWO）的形式

①同号两数相加，取本来的符号，并把绝对值相加

②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，把

较大的绝对值

减去较小的绝对值

有理数的加减法③一个数与零相加,仍得这个数

④加法互换律:a+b=b+a

⑤加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）

⑥减去一个数,等于加上这个数的相反数

①两数相乘（除），同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（除）

②除以一个数等于乘以这个数的倒数

③任何数与零相乘,都得零

有理数的乘除法④零除以任何一个不等于零的数,都得零

⑤乘法互换律:ab=ba

⑥乘法结合律：（ab）c=a（be）

⑦乘法分派律：a（b+c）=ab+ac

有理数的乘方：正数的任何次幕都是正数，负数的奇次昂是负数，负数的偶次幕是

正数

有理数的混合运算：先乘方、开方，再乘、除，后加、减。有括号时，要先算括号里

面的。

有效数字：从左辿第一-个不是零的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做

这个数

的有效数字

科学计数法:N=（1用为整数）例：3540000=3.54;-0.000128=-1.28

①实数和数轴上的点是一一相应的。即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表达；反过来,

数轴上的每一个点都表达一个实数

②一个实数的绝对值就是表达这个实数的点离开原点的距离

%a>（）

Y

实数IaI=0a=0I

-aa<0（-a表达实数a的相反数）

③正数都大于零；负数都小于零；正数大于一切负数：两个正数，绝对值大的数较大；

两个负数,绝对值大的数反而小

④进行实数运算时,有理数的运算法则、运算律、运算性质以及运算顺序等同样合用

二整式

整式单项式:数与字母的积或单独一个数或字母如:2,3a

多项式：几个单项式的和如：a+b,3x-4y

同类项：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项

合并同类项：合并同类项时，同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，

字母和字母的指数不变

去括号括号前面是号，去掉“+”号和括号，括号里面不变号

括号前面是号，去掉号和括号，括号里面都变号

添括号所添括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变号

所添括号前面是号，括到括号里的各项都变号

①同底数累相乘,底数不变，指数相加

②同底数箱相除,底数不变,指数相减

塞的运算③任何不等于零的数的零次累都等于1卅=1(。/0)

④累的乘方，底数不变，指数相乘

⑤积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘

⑥负指数累：(W0)例：3

①单项式相乘时，把它们的系数、同底数基分别相乘的积作为积的因式,对于在一个单项式里具有

的字母,则连同它的指数作为积的一个因式

单项式的运算②单项式相除时，把系数、同底数事分别相除，作为商的因式，对于只在被除式

里具有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式

①单项式与多项式相乘,是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得

单项式与多项式的运算的积相加m(a+b+c)=ma+mb+mc

②多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加

多项式的乘法：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，

然后把所得的积相加(a+m)(b+n)=ab+an+bm+mn

(x+a)(x+b)=十｛a十b)x十ab

乘法公式①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

②完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2

其中：(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2；(a+b)2-(a-b2)=4ab

三因式分解(把多项式化成几个整式的积的形式)

好正数的两个平方根互为相反数（正数a的两个平方根记为士6）

平方根也零的平方根是零

③负数没有平方根

平方根的大小：假如a、b是正数，且aVb,则

平方根的规律:①被开方数扩大100倍，它的平方根扩大10倍

②被开方数缩小为本来的，它的平方根缩小为本来的

③被开方数的小数点向右（向左）移动两位，它的平方根的小数点相应地向右（向左）移动一

位

立方根:①任何一个数都有立方根,并且只有一个立方根

②求一个负数的立方根，只要先求出这个负数绝对值的立方根,然后取它的相反数

奇次方根：①一个数a的奇次方根只有一个。正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一

个负数；零的奇次方根是零

n次方根②当n是奇数,a的n次方根可以用符号””表达

偶次方根：①正数的偶次方根有两个,它们互为相反数

②当n是偶数时,正数a的n次方根表达为土（当n=2时,根指数2略去不写）

分数指数累：（其中m、n为正整数,n>l）

六二次根式

分母有理化:把分母中的根号化去（乘以分母的有理化因式或因式分解约分化简）

最简一次根式①被开方数的因数是整数，因式是整式

②被开方数中，不含能开得尽方的因数或因式

注意：（1）二次根式的化简，就是把二次根式化为最简二次根式。在化简时，往往要把被开方

数分解因数或分解因式

（2）当一个式子的分母中具有二次根式时，应把它分母有理化

二次根式的计算①二次根式相加减，先把各个二次根式化为最简二次根式，再合

并同类二次根式(不是同类的二次根式不能合并)

②实数的运算法则都合用于二次根式的计算

③几个二次根式的和相乘时，可用乘法公式计算

七一次方程

关于X的方程：(1)当时，有唯一解:

(2)当时，无解

(3)当时，有无数解

例：当，方程有无数解。

一元一次方程的解法和依据：等式性质二

去分母

去括号分派律

移项等式性质一

合并同类项，化成ax=b(a#0)的形式分派律

系数化成1,得x=等式性质二

一元一次方程的应用解题环节：审题一一设元一一列方程一一解方程一一写答案

顺水速度-静水速乎+水速

某些等量关系逆水速度=5水速度-水速

工作总量二工作时间X工作效率

二元一次方程的解:任何一个二元一次方程都有无数个解

二元一次方程组的解法:(1)代入法⑵加减法

八二次方程

①(一)一元二次方程：ax2+bx+c=0(aWO)

解法因式分解法：(x+a)(x+b)=0,xl=-a,x2=-b

开平方法：解形如ax2+c=()(aWO)一元二次方程，则x2二

当a、c异号时，方程有两个实数根x二

当a、c同号时，方程无实数根

当c=0,方程有两个相等的实数根,xl=x2=0（重根）

配方法：先把方程的一边配成一个具有一个未知数的完全平方的形式，

右边是一个常数,然后用开平方法来解

②公式法：x=（a#0,b2-4ac20）

根的判别式:△=b2-4ac

假如方程有两个不相等的实数根Ob2-4ac>（）

假如方程有两个相等的实数根Ob2・4ac=0

假如方程没有实数根=b2-4ac<0

注意：方程有两个实数根b2-4ac^0,

④根与系数的关系：若方程ax2+bx+c=0（aWO）两根为xl、x2则x1+x2=xl•x2=

（二）分式方程（要检查）

解法⑴在分式方程的两边同乘以各分母的最简公分母,把原方程中分母约去，

转化成整式方程

⑵解这个整式方程

①⑶把整式方程的根代入方程两边同乘的整式（最简公分母）中，看所得的值是不是零，使所

乘整式的值为零的根是增艰，必须舍去

解分式方程组的方法:换元法

（三）无理方程（要检查）

①解法:把无理方程两边同时平方，转化为有理方程

注意:检查时,若左右两边不相等,是增根,必须舍去；

若被开放数是负数,也是增根,必须舍去

（四）二元二次方程（组）

①形式：ax2+bxy++dx+ey+f-0（a、c、d^e、f都是常数，且a、b>c不同时为零）

二元二次方程组的解法：⑴代入法

⑵因式分解法

（五）黄金分割

①定义:把一条线段分为不相等的两部分，使较长部分是原线段和较短部分的比例中项

黄金分割数：较短的线段的长：较长的线段的长二较长的线段的长：全线段的长二这个比

值是一个无理数,近似值是0.618

九一元一次不等式（组）

不等式的性质⑴不等式的两边都加上（或都减去）同一个数,不等号的方向

不变

⑵不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变

①⑶不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数,不等号的方向要改变

不等式的解集在数轴上的表达:小圆圈表达不涉及

小黑点表达涉及

一元一次不等式组的解法：⑴先求出不等式组里每一个不等式的解集

⑵再求出各个不等式的解集的公共

部分（画数轴），就可得到

不等组的解集

十比例

①定义：表达两个比相等的式子

②性质：两个外项的积等于两个内项的积a:b=c:dac=bd

比例中项：假如a：b=b：c,则b叫做a、c的比例中线,这时b2=ac

十一函数

（-）函数

①意义：一般地，设在某个变化过程中有两个变量X丐>,假如对于X在某个允许取值范围内的

每一个拟定值,按照某一个相应法则,y都有唯一拟定的值与它相应，那么就说X是自变量,y

是x的函数

②函数关系式:y=f（x）f是相应法则

函数定义域：当函数的解析式是整式时;函数的定义域为一切实数

当函数的解析式是分式时，函数的定义域为使分母不为零的实数

当函数的解析式是偶次根式时，函数的定义域为使被开方数20的实数

当函数的解析式是奇次根式时，函数的定义域为一切实数

④点关于x轴的对称点是，关于y轴的对称点是；

关于原点的对称点是巴（-乂-），）

⑤两点的距离：

在x轴上两点：

在y轴上两点：

（二）正比例函数（一次函数的特殊情况）

①解析式:y二kx（kWO）

图象:正比例函数的图象是通过原点（（）,（））和点（l,k）的一条直线

性质：当k>0,图象（除原点外）在第一、三象限内,y随x的增大而增大

当kVO,图象（除原点外）在第二、四象限内，y随x的增大而减小

（三）反比例函数

①解析式:y二（kWO）

②图象双曲线，有两个分支

③性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象内，在每个象限内，

自变量x逐渐增大时,y的值则随着逐渐减小

当1<<0时・，函数图象的两个分支分别在第二、四象内，在每个象限

内,

自变量X逐渐增大时,y的值则随着逐渐增大

象

图

正比例函数反比例函数

的

两

分

个

支

都

限

无

接

近

X轴

和

尸

机

但

不

会

与X

轴

和

y轴

相

交

函

数

解析式y=k*k*0)y=&也.0)

X

图象过原点的直线双曲线

k>0位置第一、k>0位置第一、

三象限k三象限

性

质

增减性y随x增减性y随x增

增大而大而减

增大。小。

一

k<0位置第一、k<0位置第二、

A卜

四象限四象限

X曲

日

增减性y随xA增减性yff针i

也

而

增大而\口

减小。牛

（四）•次函数

①解析式y=kx+b（kW（）,k、b是常数）。当b解时，一次函数y=kx+b成为正比例函数y=kx

②定义域:一切实数

图象:通过（0,b）且平行于直线y=kx的一条直线

两直线的位置关系：11:y二klx+bl,12:y=k2x+b2,

若kl=k2,blWb2,则H〃12；若11〃I2,则kl=k2,bl#b2

相交时,klWk2,此时交点坐标通过解klx+bl方程组得到

y=k2X+b2

③截距：直线y=kx+b与y轴交于（0,b）,b叫做直线户kx+b在y轴上的截距

④一次函数y=kx+b与x轴的交点的横坐标是方程kx+b=0（kWO）的根

⑦性质当k>0时,y随x的增大而增大当b>0时，通过第一、二、三象限

当b=0时,通过第一、三象限

当bVO时，通过第一、三、四象限

当kVO时,y随x的增大而减小当b>0时，通过第一、二、四象限

当b=0时，通过第二、四象限

当bVO时，通过第二、三、四象限

(五)：二次函数

①形式：一般式:y=ax2+bx+c(aWO)

两根式：y=a(x-xl)(x-x2)(aWO)

顶点式：y=a(x+m)2+k(aWO)

②定义域:一切实数

②③图象:抛物线

③性质:

二、二次函数的图象及性质

222,b、、Aac-b'

抛物线y-axy=ax+cy=a(x+m)y=a[x+m)+ky=a^+bx^-c…吃厂上

当a>0时开口向上，并向上无限延伸；

开口方向当avO时开口向下，并向下无限延伸.

b4ac-b2

顶点坐标(0.0)(0©(■m.O)

24‘4a

直线无=一4

对称轴y轴y轴直线x=>m直线x>m

x=・m时

工=0时，x=0时，x=・m时ba，Aac-l}

a>0L,时％一।

最7nun=°5k2a4a

值

N=0时x=0时x=・m时x=・m时

a<0X一时//郑叱

Tmax=0%二C勿m"打

在对称轴左侧，y随x的增大而减小)1

yt

增a>0V

在对称轴右侧，随的增大而增大\

减yx

TJ_A

性在对称轴左侧，y随x的增大而增大

2Vo

在对称轴右侧，y随x的增大而减小

⑤二次函数y=ax2+bx+c(aWO)和一元二次方程ax2+bx+c=()的关系：

当方程ax2+bx+c=0的△>()时，二次函数y=ax2+bx+c(aWO)与x轴有2个交点

当方程ax2+bx+c=0的△=()吐二次函数y=ax2+bx+c(aWO)与x轴有I个交点

当方程ax2+bx+c=O的△VO时，二次函数y=ax2+bx+c(a#())与x轴无交点

⑥二次函数y二ax2+bx+c(a^O)与x轴的交点：

交点的横坐标x的值就是一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根

。二次函数y=ax2+bx+c(a芋0)中a、b、c的符号判别：

(1)a的符号判别由开口方向拟定：当开口向上时，a>0；

当开口向下时，a<0

(2)b的符号判别由对称轴来拟定：对称轴在y轴的左

侧时，a>b同号;

对称轴在y轴的右侧时，a、b异号

对称轴是V轴，b二0

（3）c的符号判别由抛物线与Y轴的交点拟

定：与Y轴的交点在正半轴时，c>0；

与Y轴的交点在负半轴时，c<0；

抛物线过原点时（与Y轴交与原点），c=0；

⑧顶点在特殊位置:顶点在x轴，A=O

顶点在y轴,b=O

顶点在原点,b=0且c=0

十二记录初步

收集数据的方法：①普查：②抽样调查c

（一般采用“随机抽样”，由于随机样本比较具有代表性，可以用来估计总体。）

（一）表达数据平均水平的量：

①平均数：⑴;

（2）估计一个常数。则，，……

，,，，

.।再+&+....+X”

而no

②加权平均数：若在个数中，出现了次，出现了次，…

则-=■•，+工2.72+。3./+……+o

/+人+力+....+fn

③中位数：（1）把n个数据从小到大排歹J；

（2）当n是奇数时，中位数就是第个数；

当n是偶数时，中位数就是第个数与第个数的平均数。

④平均数和方差的规律：

己知一组数据：xl,x2,x3,…，xn,它们的平均数为，方差为，那么

(1)一组新数据：xl+a,x2+a,x3+a,…，xn+a,它们的平均数为+a,方差仍为

(2)一组新数据：axl,ax2,ax3,…，axn,它们的平均数为a,方差为

⑤平均数和中位数的区别：平均数和中位数都是一组数据平均水平的代表量，

在一般情况下最常用的是平均数，在一组数据中有极端值时，可以用中位数

(二)表达数据离散限度的量：

①方差：

②标准差：

(三)频数分布直方图与频率分布直方图

①频数分布直方图：每一个小长方形的高二组频数；每一个小长方形的宽二组距

所有小长方形的高的和;数据总数；

②频率分布直方图：每一个小长方形的面积二组频率；每一个小长方形的宽二组距

频率

所有小长方形的面积和二1;小长方形的高由决定

十三锐角的三角比

①锐角的三角比的意义

正切：直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个角的正牢记作tanA,此时，

余切：直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个角的余牢记作cotA,此时，

正弦：直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦记作sinA,此时，

余弦：直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个角的余弦记作cosA,此时，

一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比

注：(1)设A为锐角，那么它的三角比tanA.cotA.sinA.cosA的值都是正实数,

其中tanA>0、cotA>0>0<sinA<l.0<cosA<l

(2)在Rt/ABC中，ZC=90,由锐角三角比的意义

可直接得到

②特殊锐角三角比的值

asinacosatanacot。