湖南省长沙市2026-2027学年高一上学期开学学情自测数学试卷（人教版A）（含答案）

湖南省长沙市2026-2027学年高一上学期开学学情自测数学试卷（人教版A）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知对任意实数x，式子都有意义，则实数m的取值范围是(

)A. B. C. D.2．某校九年级261位学生参加理化实验考试，其中某班35位学生的物理成绩与理化总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生，则三人中化学成绩最好的是(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定3．如果抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围是(

)A. B. C. D.4．不等式的解集为(

)A. B.C.或 D.或5．函数的图象的大致形状是(

)A. B.C. D.6．下列选项中，是“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件的是(

)A. B. C. D.7．如图，四边形内接于，为直径，，过点D作于点E，连接交于点F.若，，则的长为(

)A.8 B.10 C.12 D.168．抛物线的对称轴为直线.若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围是(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知集合，则下列表示方法正确的是(

)A. B. C. D.10．已知，，，则下列结论成立的是(

)A.的最小值为4 B.的最小值为3C.的最小值为2 D.的最小值为111．如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图像与边交于点M，与边交于点N（M，N不重合）．给出下面四个选项，则正确的有(

)A.与的面积一定相等B.与的面积可能相等C.一定是锐角三角形D.可能是等边三角形三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为.若的面积为8，的面积为5，则________13．设命题p：已知，，且，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立，若命题p、q中有一个为真命题，一个为假命题，则实数m的取值范围是________.14．黄金分割比，这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉.古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联.如图，在中，，，，点D在线段上，过点D作于点E，于点F，得到矩形，若矩形的周长与的周长之比恰好为黄金分割比，则的长为________四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知集合，，，全集为实数集R.(1)求，，；(2)如果，求a的取值范围.16．（15分）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题.材料一租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同.材料二A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆.优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆；租用B型客车，租车费用打八折.材料三租车公司最多提供8辆A型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆.(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？17．（15分）某单位欲购买A、B两种电器，根据预算，共需资金15750元购买一件A种电器和两件B种电器共需资金2300元：购买两件A种电器和一件B种电器共需资金2050元.(1)购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别是多少元？(2)若该单位购买A种电器不超过5件，则可购买B种电器至少有多少件？(3)为节省开支，该单位只购买A、B两种电器共6件，并知道获政府补贴资金不少于700元：自己出资金不超过4000元；其中政府对A、B两种电器补贴资金分别为每件100元和150元.请你通过计算求出有几种购买方案？18．（17分）如图，四边形中，，，E是延长线的一点.若，.求的长.19．（17分）已知二次函数(1)若在的最大值为4，求a的值；(2)若对任意实数t，总存在，使得.求a的取值范围.参考答案1．答案：B2．答案：A3．答案：B4．答案：A5．答案：B6．答案：A7．答案：C8．答案：A9．答案：AC10．答案：AB11．答案：AD12．答案：.13．答案：14．答案：15．(1)，，，，或，(2)因为集合，，且，所以，即a的取值范围为.16．(1)由已知设A型号的客车每辆载客量是x人，则B型号的客车每辆载客量是人.根据题意有，解得，经检验，是方程的解，且符合题意，所以（人）.答：A型号的客车每辆载客量是60人，B型号的客车每辆载客量是45人.(2)设租用A型号的客车辆，则租用B型号的客车辆.根据题意有，解得.设本次研学活动学校的租车费用是w元.则有因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下，所以当时，w随着m的增大而增大，又因为m取正整数，且，所以当时，w取得最小值，且最小值为（元）.答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元.17．(1)设购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为a元和b元.由题意可知，解得，故购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为600元和850元.(2)设购买B种电器x件.，解得，故可购买B种电器至少有15件.(3)设购买A种电器y件，则购买B种电器件.，解得，因为y取整数，所以y可取1，2，3，4，共4种方案.18．连接，，，，，，，.因为，所以，故.19．由解析式知：为开口方向向上，对称轴为的二次函数，(1)当，即时，在上单调递减，，不合题意；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，又，，在的最大值为4，，解得：；综上所述：.(2)若对任意实数t，总存在，使得，