2027版53B版新高考版数学总复习分层训练培优7　解三角形中的最值和范围问题

专题四三角函数与解三角形培优7解三角形中的最值和范围问题目录类型1利用基本不等式求最值或范围类型2利用函数单调性求最值或范围类型3利用三角函数求最值或范围类型1利用基本不等式求最值或范围1.(2026江苏苏锡常镇四市调研一)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b+2acosC

=0,则tanB的最大值为

()A.

B.

C.

D.3

B

解析因为b+2acosC=0,所以由正弦定理得sinB+2sinAcosC=0,即sin(A+C)+2sinAcosC=0,即sinAcosC+cosAsinC+2sinAcosC=0,所以cosAsinC=-3sinAcosC,由b+2acosC=0,得b=-2acosC,因为a>0,b>0,所以cosC<0,所以C∈

,所以A∈

,此时cosA≠0,cosC≠0,所以由cosAsinC=-3sinAcosC,得tanC=-3tanA,所以tanB=tan[π-(A+C)]=-tan(A+C)=-

=

,因为A∈

,所以tanA>0,所以tanB=

=

≤

=

,当且仅当1=3tan2A,即tanA=

时,等号成立,所以tanB的最大值为

.故选B.2.(2026河南百师联盟联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若(c-b)sinB=(c-a)·

(sinA+sinC),且|

-

|=1,则△ABC面积的最大值为

()A.

B.

C.

D.

C

解析在△ABC中,a=|

|=|

-

|=1,由(c-b)sinB=(c-a)(sinA+sinC)及正弦定理,得b(c-b)=(c-a)(a+c),即b2+c2-a2=bc,由余弦定理的推论得cosA=

=

,由A∈(0,π),得A=

,又1=a2=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时取等号,因此S△ABC=

bcsinA=

bc≤

,所以△ABC面积的最大值为

.故选C.3.(2026贵州安顺期末)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=4,A=

,BC边上的中线长为m,则bc的最大值为____________;实数m的取值范围是________________.

(2,2 ]

16

解析因为a=4,A=

,所以根据余弦定理得b2+c2-a2=2bccosA,得b2+c2-16=bc,因为b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时

等号成立,所以b2+c2=bc+16≥2bc,即bc≤16,当且仅当b=c时等号成立所以bc的最大值为16.取BC的中点D,连接AD,则

=

(

+

),所以

=

(|

|2+|

|2+2

·

),即m2=

(b2+c2+2bccos∠BAC),又因为b2+c2-16=bc,所以m2=

(16+bc+bc)=

=

,因为bc∈(0,16],所以m2=

∈(4,12],即m∈(2,2

],所以BC边上的中线长m的取值范围为(2,2

].

4.(2022全国甲,文16,理16,5分)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当

取得最小值时,BD=_____________.

-1

解析解法一:利用余弦定理表示所求的边长.设BD=m(m>0),则CD=2m.在△ABD中,根据余弦定理及已知,得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=m2+2m+4,在△ACD中,根据余弦定理及已知,得AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC=4m2-4m+4.∴

=

=4-

=4-

,∵m>0,∴m+1>1,∴m+1+

≥2

,当且仅当m+1=

,即m=

-1时取“=”,此时,

取得最小值,即

取得最小值.所以当

取得最小值时,BD=

-1.解法二:利用坐标法解决边长问题.设BD=m(m>0),以D为坐标原点,DC边所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系,则B(-m,0),C(2m,0),A(1,

),则

=

=

=

=4-

=4-

≥4-2

,当且仅当m+1=

,即m+1=

,m=

-1时,等号成立,即BD=

-1.5.(2022新高考Ⅰ,18,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

=

.(1)若C=

,求B;(2)求

的最小值.解析

(1)∵

=

=

(采分点:出现二倍角公式,给1分),cosB≠0,即

=

,

(1分)∴cosAcosB-sinAsinB=sinB,即cos(A+B)=sinB,

(3分)又C=

,∴sinB=cos(A+B)=-cosC=-cos

=

,

(4分)∵0<B<

,∴B=

.

(5分)(2)由(1)知,sinB=cos(A+B)=-cosC,∵sinB>0恒成立,∴C∈

,∵-cosC=sin

,∴C-

=B,∴A=

-2B,

(8分)∵A>0,∴B∈

,∴

=

=

=

,

(10分)令cos2B=t,t∈

,∴

=

=4t+

-5≥4

-5,

(11分)当且仅当4t=

,即t=

时,取“=”.∴

的最小值为4

-5.

(12分)类型2利用函数单调性求最值或范围1.(2026河南五市联考)已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=2,2cosA

+

a=c.(1)求B;(2)求

的取值范围.解析

(1)因为b=2,2cosA+

a=c,则bcosA+

a=c.由正弦定理得sinBcosA+

sinA=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA,则

sinA=cosBsinA,因为A∈

,则sinA>0.所以cosB=

,又B∈

,所以B=

.(2)在锐角△ABC中,

由

可得

<C<

.又

=

=

=

=

+

,又tanC>

,则0<

<

,故

∈

.

=

+

,设t=

,t∈

,设f(t)=t+

,则f'(t)=1-

,令f'(t)=0,得t=1,则f(t)在

上单调递减,在(1,2)上单调递增,所以f(t)min=f(1)=2.又因为f

=f(2)=

,所以f(t)∈

,故

的取值范围为

.2.(2026广东深圳阶段检测)和差化积公式,包括正弦、余弦和正切的和差化积公式,是

三角函数中的一组恒等式,其中有cosα+cosβ=2cos

cos

.已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且sin2A+sin2C=1+2cos2B.(1)求tanA+tanC的最小值;(2)若b=2,C∈

,求△ABC的面积S的取值范围.解析

(1)sin2A+sin2C=

+

=1-

(cos2A+cos2C)=1-cos(A+C)·cos(A-C)=1+2cos2B,则cosBcos(A-C)-2cos2B=0,即cosB[cos(A-C)+2cos(A+C)]=0,即cosB(3cosAcosC-sinAsinC)=0,∵cosB≠0,∴sinAsinC=3cosAcosC,由sinAsinC>0,得cosAcosC>0,则tanAtanC=3,∴tanA+tanC≥2

=2

,当A=B=C=

时取等号,综上,tanA+tanC的最小值为2

.(2)由(1)知,tanAtanC=3,在△ABC中,由正弦定理得

=

=

,则a=

,c=

,则S=

acsinB=

·

·

·sinB=2·

,即S=

=

=

,tanC∈

,由f(x)=x+

在

上单调递减,得tanC+

∈

,∴S∈

.类型3利用三角函数求最值或范围1.(2026广东广州天河二模)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且a2-a+

=

cos4B,则a2+b2的取值范围为

()A.

B.

C.(

,4)

D.(2,4)

A

解析由a2-a+

=

cos4B可得a2=

(-1+cos4B)=

(-1+1-2sin22B)=-2sin22B

,因此a2-2sin22B·a+sin22B=0,由于方程有解,所以Δ=4sin42B-4sin22B=4sin22B·(sin22B-1)≥0,所以sin22B-1≥0,即sin22B≥1,又因为sin22B≤1,所以sin22B=1,因为B为锐角,所以2B∈(0,π),所以sin2B=1,解得B=

,此时a=1,因为△ABC是锐角三角形,所以

解得

<A<

,由正弦定理,得b=

=

,则b2=

,所以a2+b2=1+

,由于

<A<

,则

<sinA<1,

<sin2A<1,

<

<1,故a2+b2=1+

∈

.故选A.2.(2026福建厦门一中月考)在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,BC⊥CD,∠CAD=45°,BC=1,

△ACD和△ABC的面积分别为S1,S2,则

的最小值为______________.

2 -2

解析如图,由题意知AB∥CD,设∠CAB=θ,θ∈

,则∠ACD=θ,∠ADC=

-θ,因为BC=1,所以AC=

,AB=

,在△ADC中,由正弦定理得

=

,即

=

,所以AD=

=

=

,所以S1=

×

×

×sin

=

,又S2=

×1×

=

,所以

=

=

=

=

,因为θ∈

,所以2θ+

∈

,所以sin

∈

,则

+

sin

∈

,所以当sin

=1,即2θ+

=

,θ=

时,