2027版53B版新高考版数学总复习分层训练1.3　不等式

专题一集合、常用逻辑用语与不等式1.3不等式目录考点1不等式的解法与性质考点2基本不等式五年高考·考点练三年模拟·限时练基础强化练综合提升练考点1不等式的解法与性质五年高考·考点练1.★(2025全国二卷,4,5分)不等式

≥2的解集是

()A.{x|-2≤x≤1}

B.{x|x≤-2}

C.{x|-2≤x<1}

D.{x|x>1}

C

解析由

≥2,得

≥0,即

≤0,所以

解得-2≤x<1,所以原不等式的解集为{x|-2≤x<1}.故选C.方法总结分式不等式的解法

(1)将分式不等式转化为

>0,

<0,

≥0,

≤0中的一种,并注意分式的分子、分母的最高次项的系数为正;(2)将分式不等式转化为整式不等式(注意分母不等于0);(3)解整式不等式,从而得出原不等式的解集.2.★(2019天津文,10,5分)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为__________.解析

3x2+x-2<0⇔(x+1)(3x-2)<0,所以-1<x<

.考点2基本不等式1.★★(2025北京,6,4分)已知a>0,b>0,则()A.a2+b2>2ab

B.

+

≥

C.a+b>

D.

+

≤

C

解析对于A,取a=1,b=1,则a2+b2=2ab,故A错误;对于B,取a=

,b=

,则

+

<

,故B错误;对于C,因为a>0,b>0,所以a+b≥2

且

>0,所以2

>

,故a+b>

,故C正确;对于D,取a=2,b=1,则

+

>

,故D错误.故选C.2.★★★(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则

()A.a2+b2≥

B.2a-b

>

C.log2a+log2b≥-2

D.

+

≤

ABD

解析由a>0,b>0及

≤

可知(a+b)2≤2a2+2b2,则a2+b2≥

,当且仅当a=b=

时取等号,故A正确;由a>0,b>0,a+b=1,得a-b=2a-1>-1,故2a-b>

,故B正确;log2a+log2b=log2(ab)≤log2

=log2

=-2,当且仅当a=b=

时取等号,故C错误;由

≤

可知

≤

用

替换a,

替换b,当且仅当a=b=

时取等号

,结合a+b=1可知

+

≤2×

=

或因为a>0,b>0,a+b=1,所以要证

+

≤

成立,只需证a+b+2

≤2成立,即证2

≤1,因为

≤

=

,当且仅当a=b=

时,等号成立,所以原不等式得证

,故D正确.3.★★★(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y满足x2+y2-xy=1,则

()A.x+y≤1

B.x+y≥-2C.x2+y2≤2

D.x2+y2≥1

BC

解析解法一(基本不等式):因为x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且xy≤

,所以1=(x+y)2-3xy≥(x+y)2-

(x+y)2=

(x+y)2,故(x+y)2≤4,当且仅当x=y时等号成立,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确.由xy≤

得1=x2+y2-xy≥x2+y2-

,即x2+y2≤2,当且仅当x=y时等号成立.故C正确,D错误,故选BC.解法二(三角换元):由x2+y2-xy=1可得,

+

=1,令

则

∴x+y=

sinθ+cosθ=2sin

∈[-2,2],故A错误,B正确,∵x2+y2=

+

=

sin2θ-

cos2θ+

=

sin

+

∈

,故C正确,D错误.故选BC.4.★★(2021天津,13,5分)若a>0,b>0,则

+

+b的最小值为____________.

2 

解析解法一:因为a>0,b>0,所以

+

+b≥2

+b=

+b≥2

=2

.当且仅当

即a=b=

时等号成立,故

+

+b的最小值为2

.解法二:∵a>0,b>0,∴

+

+b=

+

+

+

≥4

=2

,当且仅当

=

=

,即a=b=

时等号成立.故

+

+b的最小值为2

.知识拓展

n元均值不等式

n元均值不等式为

≥

,x1,x2,…,xn>0,当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立.三年模拟·限时练基础强化练

限时10分钟1.(2026广西柳州二模)已知x>0,y>0,则

()A.x2+y2>2xy

B.

+

≥

C.x+y>

D.

+

≤

C

解析

A.当x=y>0时,x2+y2=2xy,所以A不正确;B.

+

-

=

,因为x>0,y>0,所以当x+y=1时,

+

=

,当x+y>1时,

+

>

,当x+y<1时,

+

<

,所以B不正确;C.因为x>0,y>0,所以有x+y≥2

>

,所以C正确;D.因为x>0,y>0,所以有

+

-

=

=

≥0,即

+

≥

,所以D不正确.故选C.一题多解对于D,因为x>0,y>0,所以

+

≥2

=

,当且仅当x=y时等号成立,所以D不正确.2.(2026湖北孝感一模)已知正实数x,y满足

=4xy,则3x+y的最小值是

()A.6

B.8

C.12

D.16

B

解析因为2x·8y=4xy,所以2x+3y=22xy,所以x+3y=2xy,即

+

=2,又x,y>0,所以3x+y=

(3x+y)

=

·

≥

×(9+6+1)=8,当且仅当x=y=2时取等.故3x+y的最小值是8.故选B.3.(2026云南昆明一中等校诊断)已知正实数a,b满足ab+2a+b=6,则ab的最大值是

()A.2

B.4

C.6

D.8

A解析因为a,b为正实数,所以6=ab+2a+b≥ab+2

,即(

+3

)(

-

)≤0,所以0<

≤

,当且仅当

即a=1,b=2时等号成立,所以(ab)max=2,故选A.4.(2026河北沧衡名校联盟质检)权方和不等式作为基本不等式的一个变化,在求二元变

量最值时有很广泛的应用,其表述如下:设a,b,x,y>0,则

+

≥

,当且仅当

=

时,等号成立.根据权方和不等式,函数f(x)=

+

的最小值为

()A.1

B.

C.

D.25

B

解析因为0<x<

,所以0<4x<25,则25-4x>0,根据权方和不等式配凑,f(x)=

+

=

+

≥

=

,当且仅当

=

,即x=

时等号成立,所以函数f(x)=

+

的最小值为

.故选B.5.(多选)(2026江苏省仪征中学等校联考)已知函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则

()

A.b+c>0B.abc<0C.2a+b+c>0D.关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集为

AD

解析由题图知函数y=ax2+bx+c的零点为-3和1,且a<0,利用根与系数的关系得

所以b=2a<0,c=-3a>0.对于A,b+c=-a>0,A正确.对于B,abc=a·2a·(-3a)=-6a3>0,B错误.对于C,2a+b+c=2a+(-3a)+2a=a<0,C错误.对于D,关于x的不等式cx2+bx+a<0可化为-3ax2+2ax+a<0,即-a(x-1)(3x+1)<0,解得x∈

,D正确.故选AD.综合提升练

限时30分钟1.(2026河北张家口一模)已知实数x>

,y>1,且满足2xy-2x-y-3=0,则2x+y的最小值为

()A.4

B.6

C.8

D.10

B

解析

由2xy-2x-y-3=0得2xy=2x+y+3,因为实数x>

,y>1,所以2xy≤

,因此2x+y+3≤

,即(2x+y)2-4(2x+y)-12≥0,解得2x+y≥6或2x+y≤-2(舍去),当且仅当2x=y,即x=

,y=3时,等号成立,所以2x+y的最小值为6.2.(2026重庆名校联盟第一次联考)函数f(x)=

+

0<x<

的最小值为

()A.16

B.25

C.36

D.49

D

解析因为0<x<

,所以1-3x>0,所以f(x)=

+

=

+

=

[3x+(1-3x)]=9+

+

+16≥25+2

=49,当且仅当

=

,即x=

时,等号成立,所以函数f(x)的最小值为49.故选D.一题多解因为0<x<

,所以1-3x>0.f(x)=

+

=

+

=

+

≥

=49,当且仅当

=

,即x=

时等号成立,所以f(x)的最小值为49.故选D.3.(2026黑龙江齐齐哈尔一模)若a,b>0,则

+

+b的最小值为

()A.2

B.2

C.4

D.3

C

解析

+

+b≥2

+

=4a+

≥2

=4,当且仅当

即a=

,b=1时取等号.故

+

+b的最小值为4.4.(2026广东深圳外国语学校段考)若log2(2x-y)=2,则

+3y的最小值为

()A.

B.

C.

D.

B

解析因为log2(2x-y)=2,所以2x-y=22=4,又

>0,3y>0,所以

+3y=3-2x+3y≥2

=2

=2

=

,当且仅当

即

时取等号.故

+3y的最小值为

.故选B.5.(2026北京海淀期中)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法,

他把这种方法称为“三斜求积术”.如果把这种方法写成公式,就是S=

,其中a,b,c是三角形的三边,S是三角形的面积.若b=

,则()A.当ac=1时,S≤

B.当ac=2时,S≤

C.当ac=1时,S≥

D.当ac=2时,S≥

B

解析对于A,C,当ac=1时,a2+c2≥2ac=2,当且仅当a=c时等号成立,令t=a2+c2,t≥2,又b=

,则S=

≤

=

,当且仅当

时取等,故A,C错误.对于B,D,当ac=2时,a2+c2≥2ac=4,当且仅当a=c时等号成立,令t=a2+c2,t≥4,又b=

,则S=

≤

=

,故B正确,D错误.6.(2026陕西咸阳一模)若关于x的不等式(2x-a)ln

≤0(a,b∈R,b≠0)恒成立,则a+

的取值范围为

()A.(-∞,-2)B.(-∞,-2]∪[6,+∞)C.(-∞,-2)∪(6,+∞)D.[6,+∞)

B

解析由于函数y=2x-a在R上单调递增,且零点为x=

,函数y=ln

在(b,+∞)上单调递减,且零点为x=b+1,所以要使不等式(2x-a)ln

≤0恒成立,则

=b+1,即a=2b+2,则a+

=2b+

+2,当b>0时,a+

=2b+

+2≥2

+2=6,当且仅当2b=

,即b=1时等号成立;当b<0时,a+

=2b+

+2≤-2

+2=-2,当且仅当2b=

,即b=-1时等号成立.综上,a+

的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).故选B.7.(多选)(2026江西重点中学协作体联考二)已知a>b>0,c<0,则下列不等式成立的是

()A.

>

B.

>

C.ac>bc

D.

≤0

AD

解析对于A,由a>b>0得0<

<

,又c<0,所以

>

,故A正确;对于B,

-

=

=

,又a>b>0,c<0,所以a-b>0,a-c>0,所以c(a-b)<0,a(a-c)>0,所以

<0,所以

<

,故B错误;对于C,因为y=xc在(0,+∞)上单调递减,a>b>0,所以ac<bc,故C错误;对于D,

=2+ac+

=2-

,因为a>0,c<0,所以-ac>0,所以(-ac)+

≥2

=2,当且仅当-ac=

,即ac=-1时,等号成立,所以

=2-

(-ac)+

≤2-2=0,故D正确.故选AD.8.(多选)(2026山东济南一模)已知实数a,b,c满足a<b<c,ac<0,则

()A.ab≤bc

B.|a+c|<|a-c|C.

<

D.

≥

(c+b≠0)

BC

解析因为a<b<c,ac<0,所以a<0,c>0.对于A,若b<0,则ab>bc,故A错误.对于B,|a+c|2=a2+c2+2ac,|a-c|2=a2+c2-2ac,又ac<0,所以|a+c|2-|a-c|2=(a2+c2+2ac)-(a2+c2-2ac)=4ac<0,所以0≤|a+c|2<|a-c|2,所以|a+c|<|a-c|,故B正确.对于C,因为c>b>a,所以-b<-a,所以0<c-b<c-a,所以

<

,故C正确.对于D,当a=-1,b=1,c=2时,

=-

,

=

=0,

≥

不成立,故D错误.故选BC.9.(多选)(2026山东菏泽期末)设a>1,b>1,且ab=a+b,则下列说法正确的是

()A.a+2b的最小值为3+2

B.a2+b2的最小值为8C.

+

的最小值为2

D.

+

无最小值

ABC

解析对于A,由ab=a+b可得

+

=1,则a+2b=(a+2b)

=1+

+

+2=3+

+

,因为

+

≥2

=2

,当且仅当

=

且

+

=1,即a=1+

,b=1+

时等号成立,所以a+2b的最小值为3+2

,A正确.对于B,由ab=a+b可得ab≥2

,即ab≥4.a2+b2=(a+b)2-2ab=(ab)2-2ab,令t=ab,t≥4,则a2+b2=t2-2t=(t-1)2-1,最小值为42-2×4=8,当且仅当a=b=2时等号成立,所以a2

+b2的最小值为8,B正确.对于C,(

+

)2=a+b+2

=ab+2

,令m=

,m≥2,则(

+

)2=m2+2m=(m+1)2-1,最小值为22+2×2=8,即

+

≥2

,当且仅当a=b=2时等号成立,所以

+

的最小值为2

,C正确.对于D,由ab=a+b可得(a-1)(b-1)=1,因为a>1,b>1,所以a-1>0,b-1>0,则

+

≥2

=2,当且仅当a=b=2时等号成立,则

+

有最小值2,D错误.故选ABC.10.(2026湖北荆州一模)已知x,y均为非负数,且x+2y=1,则

+

的最小值为________.

2

解析由题可得(x+1)+2(y+1)=4,又x+1≥1,y+1≥1,所以

+

=

=1+

+

≥1+2

=