2027版53B版新高考版数学总复习分层训练9.5　统计与成对数据的统计分析

专题九计数原理、概率与统计9.5统计与成对数据的统计分析目录考点1抽样方法与总体分布的估计考点2变量间的相关关系考点3独立性检验五年高考·考点练三年模拟·限时练基础强化练考点1抽样方法与总体分布的估计五年高考·考点练1.★(2026全国Ⅰ卷,1,5分)样本数据6,8,4,5,12的中位数为

()A.5

B.6

C.8

D.9

B

解析将样本数据从小到大排列为4,5,6,8,12,故中位数为6.故选B.2.★(2025全国二卷,1,5分)样本数据2,8,14,16,20的平均数为

()A.8

B.9

C.12

D.18

C

解析由题意知平均数=

=12.故选C.3.★★(2022全国甲,文2,理2,5分)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知

识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾

分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:

则

()A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

B

解析解法一:根据散点图,讲座前问卷答题正确率的10个数据中,小于或等于70%的有

5个,这意味着中位数必然大于70%,故选项A错误.讲座后问卷答题正确率的10个数据中,有1个为80%,4个为85%,其余数据大于或等于90%,经估算知,平均数大于85%,故选项B正确.从散点图可以看出,与讲座后的正确率的数据相比,讲座前正确率的数据更为分散,故标

准差更大,故选项C错误.从散点图可直接看出,讲座前正确率的极差更大,故选项D错误.解法二:根据散点图可知,讲座前问卷答题正确率的中位数为

(70%+75%)>70%,故选项A错误.由散点图中数据计算知,讲座后问卷答题正确率的平均数为89.5%,故选项B正确.从散点图可以看出,与讲座后问卷答题的正确率数据相比,讲座前问卷答题的正确率数

据更为分散,故标准差更大,选项C错误.由散点图中数据计算可知,讲座前问卷答题的正确率极差为95%-60%=35%,讲座后问

卷答题正确率的极差为100%-80%=20%,故选项D错误.4.★★(2021全国甲,文2,理2,5分)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进

行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如图所示的频率分布直方图:

根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是

()

C

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间解析该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计值为(0.02+0.04)×100%=6%,

故A正确;该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为(0.04+0.02×3)×100%=10%,

故B正确;该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比率估计值为(0.10+0.14+0.20×2)×100%=64%>50%,故D正确;该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(万元),超过6.5万元,故C错误.综上,结论中不正确的是C.小题速解观察题中直方图可知,有70%的数据集中在6.5万元及以上,所以平均数应超

过6.5万元,故C错误.5.★★(2024新课标Ⅱ,4,5分)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型

水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)频数61218302410根据表中数据,下列结论中正确的是

()A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

C

解析列出频率分布表如下:亩产量频数频率[900,950)60.06[950,1000)120.12[1000,1050)180.18[1050,1100)300.30[1100,1150)240.24[1150,1200)100.10合计1001.00对于A,由频率分布表,知前三组的频率之和为0.06+0.12+0.18=0.36<0.5,前四组的频率

之和为0.06+0.12+0.18+0.30=0.66>0.5,因此中位数在[1050,1100)内.因此中位数大于或

等于1050kg,故A错误;对于B,由频率分布表,知亩产量在[900,1100)内的频率为0.06+0.12+0.18+0.30=0.66<0.80,故B错误;对于C,由题意知1200-900=300,1150-950=200,所以这100块稻田亩产量的极差介于200

kg至300kg之间,故C正确;对于D,设这100块稻田亩产量的平均值为

(单位:kg),则

=925×0.06+975×0.12+1025×0.18+1075×0.30+1125×0.24+1175×0.10=1067>1000,因此D错误.故选C.6.★★(多选)(2021新高考Ⅰ,9,5分)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数

据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则

()A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同

CD

解析

A项,设

=

xi,则

=

yi=

(xi+c)=

xi+c,因为c≠0,所以

=

+c,所以

≠

,所以A选项错误.B项,因为yi=xi+c(i=1,2,…,n),所以y1,y2,…,yn的中位数是x1,x2,…,xn的中位数加c,所以B选项

错误.C项,设

=

(xi-

)2,

=

(yi-

)2,所以

=

(xi+c-

-c)2=

(xi-

)2,所以

=

,所以两组数据的方差相同,从而这两组数据的标准差相同,所以C选项正确.D项,设x1<x2<…<xn,则第一组数据的极差为xn-x1,设y1<y2<…<yn,则第二组数据的极差为yn-y1=(xn+c)-(x1+c)=xn-x1,所以两组数据的极差相同,所以D选项正确,故选CD.7.★★(多选)(2021新高考Ⅱ,9,5分)下列统计量中可用于度量样本x1,x2,…,xn离散程度的

有

()A.x1,x2,…,xn的标准差

B.x1,x2,…,xn的中位数C.x1,x2,…,xn的极差

D.x1,x2,…,xn的平均数

AC

解析由标准差的定义可知,标准差考查的是数据的离散程度;由中位数的定义可知,中

位数考查的是数据的集中趋势;由极差的定义可知,极差考查的是数据的离散程度;由平

均数的定义可知,平均数考查的是数据的集中趋势.故选AC.8.★★★(多选)(2023新课标Ⅰ,9,5分)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最

大值,则

()A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差

BD

解析

A错误,举反例,设样本数据x1,x2,…,x6分别为1,2,3,4,5,8,则

=

=3.5,

=

≠3.5;B正确,设这组数据从小到大排列为x1,x'2,x'3,x'4,x'5,x6,则x2,x3,x4,x5的中位数为

,x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位数为

,∴x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位数;C错误,设样本数据x1,x2,…,x6分别为1,2,2,2,2,3,则

=

=2,x2,x3,x4,x5的平均数为2,则x2,x3,x4,x5的标准差为0,x1,x2,x3,x4,x5,x6的标准差s=

=

>0;D正确,由B选项知x2,x3,x4,x5的极差为x'5-x'2,x1,x2,x3,x4,x5,x6的极差为x6-x1,显然x6-x1≥x'5-x'2.9.★★★★(2023新课标Ⅱ,19,12分)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未

患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指

标的频率分布直方图:

利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于

或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p

(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小

值.解析

(1)由题意知(c-95)×0.002=0.5%,

(1分)得c=97.5,

(2分)q(c)=0.01×2.5+5×0.002=0.035=3.5%.

(4分)(2)当c∈[95,100]时,f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02.

(7分)当c∈(100,105]时,f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02.∴f(c)=

(9分)由于f(c)在区间[95,100]单调递减,在区间(100,105]单调递增,(该理由一定要写,不写扣

分)

(10分)∴f(c)min=f(100)=0.02.

(12分)考点2变量间的相关关系1.★★(2025天津,5,5分)下列说法错误的是()A.若随机变量X~N(μ,σ2),则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)B.若随机变量X~N(1,22),Y~N(2,22),则P(X≤1)<P(Y≤2)C.样本相关系数的绝对值越接近1,则成对数据的线性相关程度越强D.样本相关系数的绝对值越接近0,则成对数据的线性相关程度越弱

B

解析对于A,根据正态曲线的对称性可知,P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ),故A中说法正确;对于B,根据正态曲线的对称性可知,P(X≤1)=P(Y≤2)=0.5,故B中说法错误;对于C和D,样本相关系数的绝对值越接近0,线性相关性越弱,越接近1,线性相关性越强,

故C和D中说法正确.故选B.2.★★(2023天津,7,5分)鸢是鹰科的一种鸟,《诗经·大雅·旱麓》曰“鸢飞戾天,鱼跃于

渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名(图1),寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样,收

集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度(单位:cm),绘制对应散点图(图2).

计算得样本相关系数为0.8642,利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为

=0.7501x+0.6105.根据以上信息,如下判断正确的为

()A.花萼长度与花瓣长度不存在相关关系B.花萼长度与花瓣长度负相关C.花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cmD.若选取其他品种鸢尾花进行抽样,所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为

0.8642

C

解析题图2中的散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近,这说明成对样本数

据之间存在正相关关系,故A,B错误;把x=7代入经验回归方程

=0.7501x+0.6105,得

=5.8612,故C正确;由于样本发生变化,所以样本相关系数不一定相同,故D错误.3.★★★(2022全国乙,文19,理19,12分)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿

水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根

部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:样本号i123456根部横

截面积xi材积量yi0.040.250.060.400.040.220.080.540.080.510.050.34样本号i78910总和根部横

截面积xi材积量yi0.050.360.070.460.070.420.070.400.63.9并计算得

=0.038,

=1.6158,

xiyi=0.2474.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面

积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出

该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数r=

,

≈1.377.解析

(1)0.6×

=0.06(m2),3.9×

=0.39(m3),故该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2,平均一棵的材积量为0.39m3.(2)由题可知,r=

=

=

=

≈

≈0.97.(3)设y=kx,将(0.6,3.9)代入,得k=6.5,∴y=6.5x,令x=186,则y=6.5×186=1209,∴该林区这种树木的总材积量的估计值为1209m3.考点3独立性检验1.★★(2025全国一卷,15,13分)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过超声波

检查的人群中随机调查了1000人,得到如下列联表:超声波检查结果组别

正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p,求p的估计值;(2)根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.附:χ2=

,

.解析

(1)由题意知超声波检查结果不正常的人数为200,患该疾病的人数为180,所以超

声波检查结果不正常者患该疾病的概率的估计值p=

=0.9.(2)零假设为H0:超声波检查结果与患该疾病无关.χ2=

=765.625>10.828=x0.001,根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即超声波检查结果与患该疾病

有关.2.★★★(2020新高考Ⅰ,19,12分)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市

空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:SO2PM2.5

[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:SO2PM2.5

[0,150](150,475][0,75]

(75,115]

(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓

度有关.附:K2=

,

.解析

(1)根据抽查数据,该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150

的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过15

0的概率的估计值为

=0.64.

(4分)(2)根据抽查数据,可得2×2列联表:SO2PM2.5

[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010(8分)(3)根据(2)的列联表得K2=

≈7.484.由于7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.

(12分)三年模拟·限时练基础强化练

限时60分钟1.(2026河南五市联考)样本数据38,133,143,177,209,151,210,223,252,281,218,309的上四

分位数是

()A.223

B.237

C.237.5

D.252

C

解析将数据由小到大排列为38,133,143,151,177,209,210,218,223,252,281,309.因为12

×75%=9,所以样本数据的上四分位数是

=237.5.故选C.2.(2026山东德州一模)为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积x(单位:dm2)与水生植

物的株数y(单位:株)之间的相关关系,收集了4组数据,如表格所示,得到y与x的经验回归

方程

=1.2x-2,则m=

()

C

x3467y22.54.5mA.5

B.6

C.7

D.8解析由题意可得

=

×(3+4+6+7)=5,

=

×(2+2.5+4.5+m)=

,所以样本点的中心为

,代入

=1.2x-2,得

=1.2×5-2,解得m=7.故选C.3.(多选)(2026湖南株洲开学联考)下列说法正确的是

()A.若样本数据x1,x2,x3,x4,x5,x6的方差为2,则数据3x1-1,3x2-1,3x3-1,3x4-1,3x5-1,3x6-1的方差为

17B.一组数据8,11,10,9,12的第80百分位数是10.5C.用决定系数R2比较两个模型的拟合效果时,若R2越大,则相应模型的拟合效果越好D.以模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出经验回归方程,设z=lny,求得经验回归方程

为

=2x+0.4,则c,k的值分别是e0.4和2

CD

解析对于A,记样本数据xi(i=1,2,3,4,5,6)的方差为D(X)=2,因为yi=3xi-1(i=1,2,3,4,5,6),所

以数据yi(i=1,2,3,4,5,6)的方差为D(3X-1)=32·D(X)=18,A错误.对于B,将数据从小到大重新排列为8,9,10,11,12,共5个数据,5×80%=4,所以第80百分位数是第4个数和第5个数的平均数,即

=11.5,B错误.对于C,若R2越大,则相应模型的拟合效果越好,C正确.对于D,易知z=lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=kx+lnc,又因为经验回归方程为

=2x+0.4,所以k=2,lnc=0.4,则c=e0.4,所以c,k的值分别是e0.4和2,D正确.故选CD.4.(多选)(2026浙江温州二模)有一组样本数据x1,x2,…,x9,且x1<x2<…<x9,平均数为

,中位数为M,现对这组数据做如下变换:yi=xi+i(i=1,2,…,9),得到一组新数据y1,y2,…,y9,则下列

说法正确的是

()A.新数据的极差等于原数据的极差B.新数据的平均数等于

+5C.新数据的方差大于原数据的方差D.新数据的中位数等于M+5

BCD

解析对于A,新数据的极差为y9-y1=x9+9-(x1+1)=x9-x1+8,原数据的极差为x9-x1,A错误.对于B,新数据的平均数为

×(x1+1+x2+2+x3+3+x4+4+x5+5+x6+6+x7+7+x8+8+x9+9)=

×(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9)+

×

=

+5,B正确.对于C,

-

=

-

=

(xi-

)(i-5)+

(i-5)2=

xi(i-5)+

=

[4(x9-x1)+3(x8-x2)+2(x7-x3)+(x6-x4)]+

>0,所以新数据的方差大于原数据的方差,故C正确.对于D,原数据的中位数为x5=M,又yi=xi+i(i=1,2,…,9),所以新数据的中位数为x5+5,即M+

5,D正确.故选BCD.5.(2026重庆南开中学开学考)盒子中装有除编号(1到6)外完全相同的6个小球,从中有

放回地摸球5次,记录摸到球的编号,若已知5个编号的中位数为3,唯一众数为2,则平均

数最大可能为_____________.

3.6

解析由题意可知摸到的号码由小到大排列为2,2,3,a,b,其中a,b∈{4,5,6},且a≠b,为使平均数最大,则a=5,b=6,平均数最大为

=3.6.6.(2026陕西榆林模拟)某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况,随机采摘了100个橘子,称重后,把得到的数据分成六组,分别为[40,50),[50,60),…,[90,100](单位:克),

得到如图所示的频率分布直方图.(1)估算样本的中位数;(2)已知在[60,70)上的平均质量是65克,方差是6,在[70,80)上的平均质量是75克,方差是

3,求两组质量的总方差s2.解析

(1)由题中频率分布直方图,得10×(0.005+0.010×2+0.020+0.025+a)=1,解得a=0.030,数据在[40,70)上的频率为0.05+0.1+0.2=0.35,在[40,80)上的频率为0.65,所以样本的中位数约为70+

=75.(2)由题图及(1)知在[60,70)上与在[70,80)上的频率之比为2∶3,因此两组质量的平均质

量

=65×

+75×

=71(克),所以两组质量的总方差s2=[6+(65-71)2]×

+[3+(75-71)2]×

=

=28.2.7.(2026安徽滁州二模)某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况,随机抽取了

100位居民作为样本,就最近一年来网购消费金额(单位:千元),网购次数和支付方式等

进行了问卷调查.经统计,这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内,按[0,5),[5,10),

[10,15),[15,20),[20,25),[25,30]分成6组,其频率分布直方图如图所示.

(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数;(2)将网购消费金额不少于20千元的人称为网购迷,补全下面的2×2列联表,并根据小概

率值α=0.025的独立性检验,分析是不是网购迷与性别有关系;网购人群类别性别合计男女网购迷

20

非网购迷45

合计

100(3)调查显示,甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立,两人网购时间与次数也互

不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式,所得数据如表所示:类别网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲80401624乙90601812将频率视为概率,若甲、乙两人在下周内各自网购2次,记两人采用支付宝支付的次数

之和为ξ,求ξ的数学期望.附:χ2=

.α0.10.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828解析

(1)因为0.01×5+0.02×5+0.04×5=0.35<0.5,0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×5=0.65>0.5,所以中位数位于[15,20)内,所以中位数为15+

=17.5.(2)依题意,消费金额不少于20千元的频率为0.04×5+0.03×5=0.35,所以网购迷人数为100

×0.35=35,非网购迷人数为100-35=65.所以补全2×2列联表如表.网购人群类别性别合计男女网购迷152035非网购迷452065合计6040100零假设为H0:是不是网购迷与性别无关.χ2=

≈6.593.因为χ2>5.024=x0.025,所以根据小概率值α=0.025的独立性检验,推断H0不成立,即是不是网购迷与性别有关系.(3)根据统计数据,甲使用支付宝的概率为

=

,乙使用支付宝的概率为

=

,甲、乙两人在下周内各自网购2次,两人采用支付宝支付的次数之和ξ的所有可能的取

值为0,1,2,3,4.P(ξ=0)=

×

=

,P(ξ=1)=

×

×

×

+

×

×

×

=

,P(ξ=2)=

×

+

×

×

×

×

×

+

×

=

,P(ξ=3)=

×

×

×

+

×

×

×

=

,P(ξ=4)=

×

=

,所以随机变量ξ的分布列为ξ01234P

所以ξ的数学期望E(ξ)=0×

+1×

+2×

+3×

+4×

=

.8.(2026湖南鹤壁一模)某科技公司统计了过去10年每年的研发投入x(单位:亿元)和营业

额y(单位:亿元)的数据,如表:x/亿元12.112.511.312.413.111.511.011.312.612.2y/亿元650680620660695640600630665660(1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额;(2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,10)的相关系数(精确到0.01);(3)已知y与x的关系可以用线性回归模型

=bx+170进行拟合,若该公司今年投入13.5亿元用于研发,利用该模型预测该公司今年的营业额.参考数据:

(xi-

)(yi-

)=169.5,

=4.26,

=7250,

≈176.参考公式:相关系数r=