2027版53B版新高考版数学总复习分层训练8.4　抛物线

专题八平面解析几何8.4抛物线目录考点1抛物线的定义和标准方程考点2抛物线的几何性质五年高考·考点练三年模拟·限时练基础强化练综合提升练考点1抛物线的定义和标准方程1.★★(2021新高考Ⅱ,3,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为

,则p=()A.1

B.2

C.2

D.4

B

五年高考·考点练解析抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是

,由点

到直线x-y+1=0的距离为

,可得

=

,即

=2,解得p=2或p=-6,又∵p>0,∴p=2.故选B.2.★★(2026全国Ⅰ卷,5,5分)已知抛物线C1:y2=2p1x(p1>0)和C2:x2=2p2y(p2>0)均经过点(4,

8),则C1的焦点与C2的焦点之间的距离为

()A.12

B.4

C.6

D.

D

解析∵抛物线C1:y2=2p1x和C2:x2=2p2y均过点(4,8),∴64=8p1,16=16p2,∴p1=8,p2=1,∴抛物线C1的焦点为F1(4,0),抛物线C2的焦点为F2

,∴|F1F2|=

=

,故选D.3.★★(2025全国二卷,6,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准

线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=

()A.3

B.4

C.5

D.6

C

解析如图所示,在y=-2x+2中,令y=0,得x=1,∴F(1,0),∴抛物线的方程为y2=4x,准线方程为x=-1,当x=-1时,y=4,∴B(-1,4),∴yA=4,则xA=4,∴|AF|=|AB|=4-(-1)=5(或|AF|=

=5).

4.★★(2022全国乙,文6,理5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|

=|BF|,则|AB|=

()A.2

B.2

C.3

D.3

B

解析解法一:由题意可知F(1,0),准线方程为x=-1,设A

,由抛物线定义可知|AF|=

+1,又|BF|=3-1=2,所以由|AF|=|BF|,可得

+1=2,解得y0=±2,所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2),则|AB|=

=

=2

,故选B.解法二:设A(xA,yA),依题意可得F(1,0),由B(3,0)得|BF|=2=|AF|=xA+1,所以xA=1,根据抛物线

的对称性,不妨设点A在x轴上方,把xA=1代入y2=4x,得yA=2,所以A(1,2),所以|AB|=

=2

.故选B.5.★(2023全国乙,文13,理13,5分)已知点A(1,

)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为___________.解析∵点A(1,

)在抛物线C:y2=2px上,∴(

)2=2p×1,∴p=

,∴A到C的准线的距离为xA+

=1+

=

.考点2抛物线的几何性质1.★★★(多选)(2025全国一卷,10,6分)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交

C于A,B两点,过A作直线l:x=-

的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则

()A.|AD|=|AF|

B.|AE|=|AB|C.|AB|≥6

D.|AE|·|BE|≥18

ACD

解析由y2=6x知,焦点F

,l:x=-

是其准线.

由抛物线的定义知,|AD|=|AF|,因此选项A正确;设直线AB的方程为x=my+

,A(x1,y1),B(x2,y2).联立

消去x整理得y2-6my-9=0,则y1+y2=6m,y1y2=-9,则x1+x2=

+

=6m2+3,所以|AB|=|AF|+|BF|=

+

=(x1+x2)+3=6m2+6,当m=0时,|AB|min=6,即|AB|≥6,因此选项C正确;当m=0时,直线AB与x轴垂直,|AB|=6,|AF|=3,易知|EF|=3,所以|AE|=

=3

≠|AB|,因此选项B错误;依题意得△ADE≌△AFE,过B点作BM⊥l于M,易得△BME≌△BFE,所以AE⊥BE,因此|BE|·|AE|=2S△AEB,由EF⊥AB知,直线EF的方程为y=-m

,因此E

,所以|EF|=

=3

,所以S△AEB=

|AB|·|EF|=

(6m2+6)·3

≥9,所以|AE|·|BE|=2S△AEB≥18,因此选项D正确.故选ACD.2.★★★(多选)(2024新课标Ⅱ,10,6分)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作☉A:

x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则

()A.l与☉A相切B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=

C.当|PB|=2时,PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个

ABD

解析由y2=4x得2p=4,p=2,因此准线l:x=-1,显然l与☉A相切,选项A正确.当P,A,B三点共线时,yP=4,xP=

=4,∴|PA|=4,又|AQ|=1,∴|PQ|=

=

=

,选项B正确.当|PB|=2时,xP+1=2,即xP=1,因此P(1,±2),若P点坐标为(1,2),则B(-1,2),又A(0,4),∴

=(-1,2),

=(-1,-2),∴

·

=1-4=-3≠0,此时,PA与AB不垂直,同理P点坐标为(1,-2)时,PA与AB也不垂直.选项C错误.设抛物线的焦点为F,则F(1,0),由|PA|=|PB|得|PA|=|PF|,∴线段AF的垂直平分线经过P点.线段AF垂直平分线的方程为y-2=

,即2x-8y+15=0.由

消去x得y2-16y+30=0.Δ=(-16)2-4×1×30=136>0.∴线段AF的垂直平分线和抛物线有两个交点,因此,满足题意的点P有2个,选项D正确.故选ABD.3.★★★(多选)(2023新课标Ⅱ,10,5分)设O为坐标原点,直线y=-

(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则

()A.p=2B.|MN|=

C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形

AC

解析由于y2=2px的焦点为

,直线y=-

(x-1)过焦点,所以-

=0,解得p=2,A正确;联立

消去y得3x2-10x+3=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=

,所以|MN|=x1+x2+p=

,B不正确;以MN为直径的圆的圆心的横坐标为

=

,圆心到准线l的距离d=

+1=

=

|MN|,故以MN为直径的圆与l相切,C正确;不妨令点M在第一象限,由3x2-10x+3=0得x1=

,x2=3,所以y1=

,y2=-2

,所以|ON|=

=

,|OM|=

=

,又|MN|=

,所以△OMN不是等腰三角形,D不正确.故选AC.4.★★★★(多选)(2026全国Ⅱ卷,11,6分)已知抛物线E:y2=8x,斜率为k(k>0)的直线l经过

点(-1,0),等边三角形ABC的顶点A在E上,顶点B,C均在l上.下列结论正确的有

()A.E的准线方程为x=-2B.若l与E没有公共点,则k>

C.若l与E的唯一公共点为B,则E的焦点在直线AB上D.若k=2,则△ABC面积的最小值为

ABD解析抛物线E:y2=8x的准线方程为x=-2,焦点为F(2,0),故选项A正确.由已知得直线l的方程为y=k(x+1),联立

得k2x2+(2k2-8)x+k2=0,若直线l与E没有公共点,则Δ=(2k2-8)2-4k4=64-32k2<0,得k<-

或k>

,又k>0,∴k>

,故选项B正确.若l与E只有一个公共点B,则直线l是抛物线的切线,B点就是切点,所以Δ=64-32k2=0,得k=

(负值舍去),此时直线l的方程为y=

(x+1),代入y2=8x,得x2-2x+1=0,解得x1=x2=1,即B(1,2

),若焦点F(2,0)在直线AB上,则直线BF的方程为y=-2

x+4

,联立

得x2-5x+4=0,解得x=1(舍)或x=4,则A(4,-4

),下面分析此时△ABC是不是等边三角形,|AB|=

=9,点A到直线l:

x-y+

=0的距离d=

=3

,又因为等边三角形的高为

|AB|=

≠3

,所以△ABC不是等边三角形,故假设不成立,即焦点F(2,0)不在直线AB上,故选项C错误.若k=2,则直线l的方程为y=2(x+1),设A(2t2,4t),点A到直线l的距离d'=

(这个d'也就是等边三角形ABC中BC边上的高),又|AB|=

d',所以等边三角形ABC的面积S=

×

=

(4t2-4t+2)2=

[(2t-1)2+1]2,故当t=

时,S最小,为

,故选项D正确.故选ABD.闪击高考对于C选项,求出B点坐标为(1,2

),记D(-1,0),则

=(-2,-2

),

=(1,-2

).则cos<

,

>=

=

≠

,即<

,

>≠60°,则焦点F不在直线AB上.

5.★★★★(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py

(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则

()A.C的准线为y=-1

B.直线AB与C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2

D.|BP|·|BQ|>|BA|2

BCD

解析由点A(1,1)在抛物线C上,知1=2p,所以抛物线C:x2=y,其准线方程为y=-

,故选项A错误.易知AB:y-(-1)=

(x-0),即y=2x-1,联立

消去y得x2-2x+1=0,Δ=4-4=0,即直线AB与C相切,故选项B正确.设PQ:y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立

消去y得x2-kx+1=0,则

且Δ=k2-4>0,即k2>4.由于

·

=x1x2+y1y2=x1x2+

=2=|OA|2,|

|·|

|≥

·

且向量

,

不共线,所以|

|·|

|>

·

,即|OP|·|OQ|>|OA|2,故选项C正确.因为

·

=x1x2+(y1+1)(y2+1)=y1+y2+3=k(x1+x2)+1=k2+1,因为k2>4,并注意到|

|·|

|=

·

,

=1+4=5,所以|

|·|

|>|BA|2,故选项D正确.故选BCD.6.★★★★(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦

点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则

()A.直线AB的斜率为2

B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|

D.∠OAM+∠OBM<180°

ACD解析如图,取线段FM的中点H,连接AH,

∵|AF|=|AM|,∴AH⊥x轴,又∵F

,M(p,0),∴H

,则xA=

p,代入抛物线方程得yA=

p(舍负),∴A

,由抛物线焦点弦的性质可得xA·xB=

,则xB=

,则B

,∴kAB=kAF=

=2

,故A正确;|OB|=

=

p,|OF|=

,∴|OB|≠|OF|,故B错误;|AB|=

+

+p=

>2p=4|OF|,故C正确;∵|OA|2=

,|OB|2=

,|AM|2=

,|BM|2=

,|OM|=p,∴|OA|2+|AM|2>|OM|2,|OB|2+|BM|2>|OM|2,∴∠OAM,∠OBM均为锐角,可得∠OAM+∠OBM<180°,故D正确.故选ACD.三年模拟·限时练基础强化练

限时40分钟1.(2026江苏扬州期末)若P(x0,4)为抛物线y2=4x上一点,则点P到其焦点的距离为

()A.4

B.5

C.2

D.6

B解析由P(x0,4)为抛物线y2=4x上一点,得16=4x0,即x0=4,又抛物线的准线为x=-1,则点P到其焦点的距离为4+1=5.故选B.2.(2026福建龙岩三模)已知圆(x+1)2+y2=16与抛物线y2=2px(p>0)交于M,N两点.若|MN|=4

,则p的值为

()A.6

B.12

C.2

D.4

A

解析圆(x+1)2+y2=16和抛物线y2=2px(p>0)都关于x轴对称,因此交点M,N也关于x轴对

称.设M(x,y),则N(x,-y),由|MN|=4

得2|y|=4

,即y2=12.代入圆的方程得(x+1)2+12=16⇒(x+1)2=4,解得x=1或x=-3,由题意得x≥0,则x=1.将x=1,y2=12代入抛物线方程y2=2px,得12=2p·1⇒p=6.故选A.3.(2026山东济南一模)若圆(x-1)2+y2=4与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,则C的焦点坐

标为

()A.

B.(1,0)

C.

D.(2,0)

B

解析圆(x-1)2+y2=4的圆心坐标为(1,0),半径为2.抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-

.因为圆(x-1)2+y2=4与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,所以1-

=2,解得

=1,所以抛物线C的焦点坐标为(1,0).故选B.4.(2026四川南充二诊)已知一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且与直线x+2=0相切,则此圆

恒过定点

()A.(-4,0)

B.(-2,0)

C.(2,0)

D.(4,0)

C

解析易知抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,设圆心为P,因为点P在抛物线y2=8x上,所以由抛物线的定义得点P到直线x=-2的距离等

于|PF|,由于圆P与直线x=-2相切,故圆P经过定点F(2,0).5.(2026山西晋中三模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线与C交于A,B两

点,过点A,B分别向C的准线作垂线,垂足为A',B',若|AA'|+|BB'|=

,AB中点的纵坐标为2,则C的方程为

()A.y2=3x或y2=

x

B.y2=4x或y2=

xC.y2=6x或y2=

x

D.y2=8x或y2=

x

C

解析如图,

由题可知F

,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4,

两式相减得kAB=

=

=

,则直线AB的方程为y=

.由AB中点的纵坐标为2,得x=

+

=

,由抛物线的定义可知|AA'|+|BB'|=x1+x2+p=

,即

+2p=

,解得p=3或

,故C的方程为y2=6x或y2=

x.故选C.6.(2026河北邯郸一模)已知焦点为F的抛物线y2=4x上有一点A,满足|AF|=3,则△AOF(O

为坐标原点)的面积为

()A.

B.

C.2

D.

A

解析由抛物线方程y2=4x,得2p=4,即p=2,因此焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,则|OF|=1,设A(xA,yA),由抛物线定义得|AF|=xA+1=3,解得xA=2,则

=4×2=8,即|yA|=2

,因此S△AOF=

|OF|·|yA|=

×1×2

=

.一题多解设直线AF的倾斜角为θ,则|AF|=

=3,解得cosθ=

,所以sinθ=

,所以S△AOF=

·|AF|·|OF|·sin∠AFO=

·|AF|·|OF|·sinθ=

×3×1×

=

.7.(2026湖南永州二模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点E在x轴上且位于F右侧,点P在C

上,若△PEF为等边三角形,则|PF|=

()A.2

B.2

C.2

D.4

D

解析如图,F(1,0),设P

(a>0),EF的中点为G,则|FG|=

-1,又△PEF为等边三角形,所以|PF|=2|FG|=

-2,又由抛物线的定义知|PF|=1+

,所以1+

=

-2,解得a2=12,所以|PF|=1+

=4.故选D.8.(2026山西晋中调研)已知抛物线C:y2=4x,过其焦点F的直线l与C在第一象限的交点为

P,且|PF|=5,则l的方程为

()A.4x+3y-4=0

B.4x-3y-4=0C.3x+4y-3=0

D.3x-4y-3=0

B

解析抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),由抛物线的定义得|PF|=x0+1=5,解得x0=4,代入y2=4x中得

=4×4=16⇒y0=4,所以P(4,4),则直线l的斜率为kPF=

=

,所以直线l的方程为y-0=

(x-1),即4x-3y-4=0.一题多解设直线l的倾斜角为θ,由焦半径公式得|PF|=

=

=5,所以cosθ=

,则sinθ=

,所以直线l的斜率为kPF=tanθ=

,所以直线l的方程为y-0=

(x-1),即4x-3y-4=0.故选B.9.(2026广东广州一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,圆M:(x+1)2+y2=16与C交

于A,B两点,若直线AM与直线BM的斜率之积为-3,则|AF|=

()A.3

B.

C.4

D.5

C

解析由圆M:(x+1)2+y2=16可知,圆心为M(-1,0),半径为4.圆M和抛物线C都关于x轴对称,设A(x,y)(x>0),则B(x,-y).由kAM·kBM=

·

=

=-3,得y2=3(x+1)2.因为点A在圆M上,所以(x+1)2+y2=16,即(x+1)2+3(x+1)2=16,由x>0,解得x=1,所以y2=3×(1+1)2=12.又点A在抛物线C上,则有12=2p·1,所以p=6,所以|AF|

=

+xA=3+1=4.一题多解根据圆与抛物线的对称性知kAM=-kBM,因为kAM·kBM=-3,所以kAM=±

,不妨设A在第一象限,所以kAM=

,所以∠AMF=

,所以xA=|AM|cos∠AMF-1=1,yA=|AM|sin∠AMF=2

,又A(1,2

)在抛物线C上,则有12=2p·1,所以p=6,所以|AF|=

+xA=3+1=4.10.(2026湖南郴州质检)已知点A(-1,0),抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P是抛物线C上一动

点,则

的最大值为

()A.1

B.

C.

D.2

B

解析抛物线C:y2=4x的准线方程为x=-1.过P作准线的垂线,垂足为Q,则|PQ|=|PF|,

则

=

=

,则当PA与抛物线C:y2=4x相切时,∠PAQ最小,即

最大,设此时直线PA的方程为y=kx+k,联立

得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,则Δ=

-4k2·k2=0,解得k=±1,则x2-2x+1=0,解得x1=x2=1,把x=1代入y2=4x得y=±2,∴P(1,2)或P(1,-2),此时

=

=

=

.11.(多选)(2026浙江强基联盟联考)已知抛物线y2=4x与圆x2+y2-2x-3=0交于M,N两点,则

下列说法正确的是

()A.圆心坐标为(-1,0)B.|MN|=4C.抛物线的准线与圆相切D.过抛物线焦点的直线与圆相交

BCD

解析

A选项,由x2+y2-2x-3=0⇒(x-1)2+y2=4,故圆心为(1,0),A错误;B选项,联立

消去y得x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1,因为x≥0,所以x=1,则y=±2,所以|MN|=2-(-2)=4,B正确;C选项,抛物线的准线为x=-1,圆心(1,0)到准线x=-1的距离为2,等于圆的半径,故抛物线的

准线与圆相切,C正确;D选项,抛物线的焦点坐标为(1,0),此时直线过圆的圆心,则过抛物线焦点的直线与圆一

定相交,D正确.故选BCD.12.(多选)(2026福建三市联考)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F(1,0),准线为l,圆M过点F.

下列说法正确的是

()A.p=1B.l的方程为x=-1C.若圆心M在C上,则圆M与l相切D.若圆M与l相切,则圆心M在C上

BCD

解析因为抛物线C:y2=2px的焦点为F(1,0),则

=1,解得p=2,故A错误;准线l的方程为x=-

=-1,故B正确;当圆心M在C上时,设点M到准线l的距离为d,根据抛物线的定义,可得|MF|=d,又圆M过点F,即点M到准线l的距离d等于圆M的半径,故圆M与l相切,反之,若圆M与l相切,则点M到准线l的距离d等于圆M的半径,又圆M过点F,即|MF|=d,故

点M在C上,故C,D正确.综合提升练

限时80分钟1.(2026广东广州一模)已知抛物线E:x2=4y上有一点P,A(4,1),过点P作y=-2的垂线,垂足

为Q,则|PA|-|PQ|的最大值为

()A.1

B.2

C.3

D.4

C

解析记E的焦点为F,则F(0,1),由抛物线定义可知|PQ|=|PF|+1,于是|PA|-|PQ|=|PA|-|PF|-1≤|AF|-1=4-1=3,当且仅当P,F,A共线时等号成立,则|PA|-|PQ|的最大值为3.

2.(2026安徽皖北协作区联考)若P(x,y)是抛物线C:x2=-12y上的动点,点A(4,0),则|y-3|+|PA|

的最小值为

()A.

B.5

C.7

D.2

B

解析设焦点为F.由抛物线方程x2=-12y,得2p=12,则p=6,所以抛物线的焦点为F(0,-3),准线方程为y=3.则|y-3|=|PF|,那么|y-3|+|PA|=|PF|+|PA|,当A,P,F三点共线时,|PF|+|PA|最小,即(|PF|+|PA|)min=|AF|,已知A(4,0),F(0,-3),则|AF|=

=

=

=5,所以|y-3|+|PA|的最小值为5.3.(2026山西吕梁期末)已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线及准线从右往左依次

交于点A,B,C,若

=2

,则以AB为直径的圆截y轴所得的弦长为

()A.2

B.

C.

D.

C

解析抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,由对称性不妨令点A在第一象限,

如图,过B作准线的垂线,垂足为D,则|BF|=|BD|.由

=2

,得|BC|=2|BF|=2|BD|,

则∠CBD=

,即直线AB的倾斜角为

,直线AB的方程为y=

(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由

得3x2-10x+3=0,则x1+x2=

,x1x2=1,则|AB|=x1+x2+2=

,所以以AB为直径的圆的半径为

,又AB的中点到y轴的距离d=

=

,所以以线段AB为直径的圆截y轴所得的弦长为2

=

.故选C.一题多解由对称性不妨令点A在第一象限.记AB的中点为M,分别过A,B,M作准线的垂

线,垂足分别为A',B',M',则|MM'|=

=

=

,即以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,由

=2

,得|BC|=2|BF|=2|BB'|,则∠CBB'=

,即直线AB的倾斜角为

,则|AB|=

=

=

,又M到y轴的距离d=

-

=

,所以以线段AB为直径的圆截y轴所得的弦长为2

=

.故选C.

4.(2026河北保定一模)抛物线C:y2=4x的焦点为F,动点P在抛物线C的准线上,O为坐标原

点,当∠OPF最大时,△OPF的面积为

()A.

B.

C.

D.2

B

解析抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,则|OF|=1,设P(-1,t),t≠0,则|PF|=

=

,|OP|=

,

在△OPF中,显然∠OPF为锐角,cos∠OPF=

=

=

=

,令t2+2=u,u>2,则cos∠OPF=

=

,由于-

+

+1=-2

+

,而0<

<

,故当

=

时,-2

-

2+

取得最大值

,此时cos∠OPF=

取得最小值,则∠OPF取得最大值,此时

=

,即t2+2=4,t2=2,则t=±

,则△OPF的面积为S=

|OF||t|=

×1×

=

.5.(2026安徽合肥八中模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且不与坐标轴垂直的直

线l与C交于A,B两点,M为线段AB的中点,过M作C的准线的垂线,垂足为N,若△FMN为等

腰三角形,则直线l的斜率的绝对值为

()A.

B.

C.1

D.

C

解析因为抛物线C:y2=4x,所以焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,由抛物线的对称性,不妨设直线l的斜率为正,如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+1(m>0),

由

可得y2-4my-4=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4,所以

=

=

=2m2+1,

=

=2m,即M(2m2+1,2m),故N(-1,2m),所以kFN=

=-m,又kl=

,所以kFN·kl=-m·

=-1,所以NF⊥FM,又△FMN为等腰三角形,所以∠NMF=45°,所以∠MFx=45°,所以kl=tan45°=1,结合抛物线的对称性可知直线l的斜率为±1,其绝对值为1.6.(2026浙江宁波十校联考)已知直线l与焦点为F的抛物线C:y2=4x相交于M,N两点,且∠MFN=

,线段MN的中点A到抛物线C的准线的距离为d,则

的最小值为

()A.1

B.

C.

D.2

C解析设|MF|=m,|NF|=n,过点M,N作抛物线的准线的垂线,垂足分别为M1,N1,则|MM1|=m,|NN1|=n,

因为点A为线段MN的中点,所以点A到抛物线C的准线的距离为d=

,在△MFN中,由余弦定理得|MN|2=m2+n2-2mncos

=m2+n2+mn,所以

=

=

=

=4

,又(m+n)2≥4mn,所以

≤

(当且仅当m=n时,等号成立),所以

≥4×

=3,即

的最小值为

.7.(2026河北石家庄二模)彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样.某彩凤穿花纹碗如

图1所示,其轴截面(不含碗的底座)如图2所示,已知该碗的底座高为1cm,曲线AC,BD均

是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分,则该碗的高度为

()

A.8cm

B.9cm

C.10cm

D.11cm

C

解析如图,以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系,

则该抛物线的方程为x2=10y.设B(xB,yB),D(xD,yD),易得xB=

,xD=

,则yB-yD=

×

-

=9,所以该碗的高度为9+1=10cm.8.(2026山东济南一模)已知抛物线W:y2=2px(p>0)的焦点为F,C

.若W上存在点A,使得|CF|=|AF|,且△ACF的面积为2,则p=()A.1

B.2

C.3

D.4

B

解析由题意可知:F

,则|AF|=|CF|=p,设A

,则

+

=p,可得

=p2,即|y0|=p,又因为△ACF的面积为

|CF|·|y0|=

=2,p>0,所以p=2.一题多解过点A作准线的垂线,垂足为B,因为|CF|=|AF|,|AB|=|AF|,所以|AB|=|CF|,又AB∥CF,所以四边形ABCF为正方形,因为△ACF的面积为2,所以p=|CF|=2.

9.(多选)(2026湖北宜昌调研)已知直线l:y=k(x-1)(k>0)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,F为

抛物线的焦点,过点F作l的垂线交直线x=-1于点D,O为坐标原点,则

()A.

·

=0

B.

·

=0C.若|AF|=2|BF|,则k=2

D.若|DF|=

,则k=

BCD

解析对于A,设A(x1,y1),B(x2,y2),则

=(x1,y1),

=(x2,y2),联立

消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则Δ=

-4k2·k2=16k2+16>0,x1+x2=

,x1x2=1,则y1y2=k(x1-1)·k(x2-1)=k2x1x2-k2(x1+x2)+k2=k2-k2·

+k2=-4,所以

·

=x1x2+y1y2=1+(-4)=-3≠0,所以A错误;对于B,由F(1,0),直线l的斜率为k,得过F且垂直于l的直线的斜率为-

,其方程为y=-

(x-1),令x=-1,可得y=

,所以D

,则

=

,

=

x2+1,y2-

,所以

·

=(x1+1)(x2+1)+

=x1x2+x1+x2+1+y1y2-

(y1+y2)+

,又y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=k·

-2k=

,所以

·

=1+

+1-4-

·

+

=

-

-2=0,所以B正确;对于C,由抛物线的定义,可得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,因为|AF|=2|BF|,所以x1+1=2(x2+1),即x1=2x2+1,因为x1x2=1,所以(2x2+1)·x2=1,即2

+x2-1=0,解得x2=

或x2=-1(舍去),则x1=2,将x1=2代入抛物线的方程,可得y1=2

或y1=-2

(舍去),所以A(2,2

),此时直线l的斜率为k=kAF=

=2

,所以C正确;对于D,由抛物线C的焦点为F(1,0)且D

,可得|DF|=

=

,由|DF|=

,可得

=

,整理得

=

,解得k2=3,又因为k>0,所以k=

,所以D正确.

一题多解过点A,B作准线的垂线,垂足分别为M,N,连接MF,NF,由抛物线焦点弦的性质知DB⊥DA,FM⊥FN,且D为MN的中点,所以

·

=0,B正确,A错误;设直线l的倾斜角为θ,因为|AF|=

,|BF|=

,所以

=

=2,解得cosθ=

,所以sinθ=

=

,所以k=tanθ=2

,C正确;因为FM⊥FN,所以|MN|=2|DF|=

,又|AB|=

=

,|MN|=|AB|sinθ,所以sinθ=

,所以θ=

,所以k=

,D正确.

10.(多选)(2026湖南长沙长郡中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=2py

(p>0)的焦点为F,准线为l.过F的直线与C交于A,B两点,连接BO并延长,与准线l相交于点

P,PF与x轴交于Q点,准线l与y轴交于点G,则

()A.|AP|=|AF|

B.∠AOB为锐角C.PF⊥AQ

D.

=

ACD

解析由题意知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+

,联立

消去y,得x2-2pkx-p2=0,于是xAxB=-p2,由

得xP=-

=xA,所以AP⊥l.对于选项A,根据抛物线的定义得|AP|=|AF|,选项A正确.对于选项B,因为xAxB=-p2,所以yAyB=

·

=

,从而

·

=xAxB+yAyB=-p2+

=-

<0,则∠AOB必定为钝角,选项B错误.对于选项C,由|OF|=|OG|=

,OQ∥PG,所以OQ为△FPG的中位线,从而|FQ|=|PQ|,又|AP|=|AF|,从而PF⊥AQ,选项C正确.对于选项D,过点B作准线l的垂线BH,垂足为H,则

=

=

,连接AG,BG,所以Rt△GAP∽Rt△GBH,从而

=

=

,选项D正确.11.(多选)(2026辽宁名校联盟联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C的准线l与x轴

交于点E(-1,0),过E的直线与C交于A,B两点,且|BF|=2|AF|=3,延长AF,BF与C分别交于点

D,Q,则

()A.|EF|=2B.|BE|=2|AB|C.直线AB的斜率为±

D.四边形ABDQ的面积为

ABD

解析因为C的准线l与x轴交于点E(-1,0),所以C的准线l的方程为x=-1,则

=1,所以p=2,所以|EF|=2,A正确;如图,过点A,B分别作AA'⊥l,BB'⊥l,垂足为点A',B',

根据抛物线的定义可知|BF|=|BB'|,|AF|=|AA'|,且AA'∥BB',又|BF|=2|AF|,所以|BB'|=2|AA'|,

则AA'为△BEB'的中位线,所以|BE|=2|AB|,B项正确;不妨设A,B均在第一象限内,由|BF|=2|AF|=3,得xB=2,xA=

,将其代入y2=4x,解得yB=2

,yA=

,所以直线AB的斜率为kAB=

=

,由图形的对称性可知直线AB的斜率为±

,C项错误;由对称性取A

,则易求得直线AF的方程为y=-2

(x-1),联立

消去y,整理得2x2-5x+2=0,解得xD=2,同理求出xQ=

,则AQ⊥x轴,BD⊥x轴,则S四边形ABDQ=

(|AQ|+|BD|)|xB-xA|=

×(2

+4

)×

=

,D项正确.故选ABD.12.(多选)(2026吉林东北师大附中期末)已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,K为C的准

线与y轴的交点,点M在抛物线C上(不与原点重合),设∠KMF=α,∠MKF=β,∠MFK=θ,则

下列结论正确的是

()A.以MF为直径的圆与x轴相切B.β的最大值为

C.tanβ=sinθD.存在点M,使得α=

β

ACD

解析抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F

,准线方程为y=-

,则K

.设M(x0,y0)(y0>0).选项A,以MF为直径的圆的圆心为

,半径为

,由抛物线定义可知,|MF|=y0+

,即半径为

,所以圆心到x轴的距离与半径相等,故以MF为直径的圆与x轴相切,故A正确.选项B,在△MKF中,tanβ=

,令t=

,t>0,则tan