2026-2027学年奥数拓展第九讲：工程问题-数学六年级上学期苏教版（含答案）

/奥数拓展第九讲：工程问题-数学六年级上册苏教版一、选择题1．甲时做8个零件，乙时做5个零件，甲、乙工作效率的比是（

）。A．3∶2 B．8∶5 C．16∶152．下列生活情境不可以用60x＋40x＝1000来表示的是（

）。A．欢欢家与乐乐家相距1000米，欢欢步行速度为60米/分，乐乐步行速度为40米/分，两人同时从家里出发去找对方，经过x分相遇。B．甲、乙两个工程队同时修一条长1000米的路，甲队每天修60米，乙队每天修40米，经过x天修完。C．李老师打一份1000字的稿件，前面每分打60字，后面每分打40字，前后共用了x分。3．一个水池，注满水需要2小时，排完水需要4小时，同时注排水，注满需要（

）小时。A．2 B．4 C．84．加工一批零件，原计划30天完成，实际15天就完成了，实际的工作效率比原计划（

）。A．降低了50% B．提高了50% C．降低了100% D．提高了100%5．同样零件，甲3分钟做2个，乙4分钟做3个，丙5分钟做4个，丁2分钟做1个。（

）做得最快。A．甲 B．乙 C．丙 D．丁56．李师傅5小时加工4个零件，平均每个零件所需要的时间是（

）小时。A． B． C． D．二、填空题7．用含有字母的式子表示下面的数量关系。(1)王叔叔每小时加工a个零件，t小时共加工c个零件：()。(2)如果每小时加工30个零件，5小时可以加工()个零件。(3)如果每小时加工25个零件，()小时可以加工100个零件。8．清洁商业大楼玻璃，甲队单独清洁需要15小时完成，乙队单独清洁需要12小时完成。两队合作5小时后，还剩这项工作的()%。9．师徒加工一批零件，师傅单独完成要6小时，徒弟单独完成要8小时，师徒二人的工作时间比是()，他们的工作效率比是()。10．一个项目，王叔叔8天做了。按照这样的速度，王叔叔做完这个项目，一共需要()天。11．有一项工程，甲单独做要8天完成，乙单独做要10天完成，两人合作()天可以完成工程的。12．一件工作，甲单独做15天完成，乙单独做10天完成，两队合做若干天后甲休息了几天，结果共用8天才完成了任务，甲休息了()天。13．一项工程，甲队单独做需要30天完成，乙队单独做需要20天完成。两队合作，3天可以完成这项工程的()。14．下图表示甲乙丙三个工人单独完成同一项工程各自所需的天数，看图填空。

(1)工作效率最高的工人是()。(2)甲、乙二人合作，()天能完成这项工程的。三、解答题15．一份稿件，甲单独打印需要8小时，乙单独打印需要12小时，两人同时打印5小时是否能够完成任务？通过计算说明。16．某商场需要制作一块广告牌，请来师徒两位工人。已知师傅单独完成需8天，徒弟单独完成需24天，现在两人合作，需要几天才能完成任务？17．加工一批零件，王师傅单独做10天完成，李师傅3天完成，两位师傅一起做，多少天可以完成？18．开凿一条隧道，甲队单独开凿20天完成，乙队单独开凿25天完成，甲、乙两队合做开凿5天后，剩下的由甲队单独开凿，甲队还需要多少天才能完工？19．师徒二人合作完成一项任务，共同工作3天后完成全部任务的75%，已知师傅和徒弟的工作效率之比是2∶1，余下的任务由徒弟单独做，还要几天完成？20．在“我是城市小主人”公益墙绘活动中，学校承担了400平方米的绘画任务。六（1）班单独完成需要20天，六（2）班单独完成需要25天，两个班一起画，多少天可以完成？

参考答案：1．C【分析】先根据“工作效率＝工作量÷工作时间”，分别求出甲、乙的工作效率，再根据比的意义，求出甲、乙工作效率的比。【详解】甲的工作效率：8÷＝8×2＝16（个）乙的工作效率：5÷＝5×3＝15（个）甲、乙工作效率的比是16∶15。故答案为：C【点睛】本题考查比的意义以及工程问题，掌握工作效率、工作时间、工作量之间的关系是解题的关键。2．C【分析】路程＝速度×时间，欢欢和乐乐两人同时从家里出发去找对方，经过x分相遇，则欢欢和乐乐的路程加在一起为1000米；甲乙两队合作修完1000米的路，工作量＝工作效率×工作时间，分别算出甲队和乙队的工作量，相加是1000米；李老师打字，总时间是x分钟，每分钟打字60字如果假设时间是a分钟，那么每分钟打40字的时间是（x－a）分钟，字数＝每分钟打字的字数×打字的时间，分别算出两种速度打字的总量，相加是1000字。【详解】A．依据分析可知，欢欢和乐乐相遇的路程和为1000米，列示为：60x＋40x＝1000，与题干相符；B．由分析可知，甲队和乙队的工作总量是1000米，列式为：60x＋40x＝1000，与题干相符；C．由分析可知，不同速度的打字时间不同，打字的总字数是1000，列式为：60a＋40（x－a）＝1000，与题干不符。故答案为：C【点睛】掌握行程问题中的相遇问题和工程问题的数量关系是解答题目的关键。3．B【分析】把注满或排空这池水的工作量看作“1”，根据工作时间分别求出注水的工作效率、排水的工作效率，再根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，工作总量除以进、排水的工作效率之差就是注满水需要的时间。【详解】1÷（）＝1÷＝4（小时）故答案为：B【点睛】此题考查了简单的工程问题。关键是掌握工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系。4．D【分析】把这批零件的个数看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，分别求出原计划的工作效率为，实际的工作效率为，比较它们的工作效率即可知道是提高了还是降低了；然后求出它们的差，再除以原计划的工作效率，最后乘100%即可。【详解】＜（－）÷×100%＝÷×100%＝1×100%＝100%则实际的工作效率比原计划提高了100%。故答案为：D【点睛】本题考查求一个数比另一个数多百分之几，明确单位“1”是解题的关键。5．C【分析】要求谁做零件的速度最快，可以先根据工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，求出甲、乙、丙、丁四人的工作效率，利用分数与除法的关系，写出结果再比较大小即可。【详解】甲的效率：2÷3＝＝乙的效率：3÷4＝＝0.75丙的效率：4÷5＝＝0.8丁的效率：1÷2＝＝0.5因为：0.5＜＜0.75＜0.8，所以：丙的速度最快。故答案为：C【点睛】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，注意比较大小时可以将结果都化成小数比，也可以通分比大小。6．D【分析】求平均加工每个零件所需要的时间，就用加工用的时间除以加工的零件数，由此求解。【详解】5÷4＝＝（小时）平均加工每个零件所需要的时间是小时。故答案为：D【点睛】解决本题关键是分清楚谁是单一量，就把另一个量进行平均分。7．(1)c＝at(2)150(3)4【分析】（1）根据“工作量＝工作效率×工作时间”，据此用含字母的式子表示数量关系。（2）把a＝30，t＝5代入式子中，计算出得数即可。（3）根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，用含字母的式子表示数量关系，并把a＝25，c＝100代入式子中，计算出得数。【详解】（1）王叔叔每小时加工a个零件，t小时共加工c个零件：c＝at。（2）当a＝30，t＝5时，c＝at＝30×5＝150（个）如果每小时加工30个零件，5小时可以加工150个零件。（3）当a＝25，c＝100时，t＝c÷a＝100÷25＝4（小时）如果每小时加工25个零件，4小时可以加工100个零件。【点睛】本题考查用字母表示式子以及含有字母式子的求值，根据工作效率、工作时间、工作量之间的关系得出数量关系式，按数量关系式写出含字母的式子，把未知数的值代入式子中，求出得数。8．25【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，把工作总量看作“1”，用1÷15和1÷12先分别表示出甲、乙两队的工作效率，再根据合作工作总量＝工作效率和×工作时间，用甲乙两队的效率和×5求出两队合作5小时的工作量，再用1－合作的工作量求出剩下的工作量，最后用剩下的工作量÷工作总量即可求出剩下工作占这项工作总量的百分比。【详解】1÷15＝1÷12＝1－（＋）×5＝1－×5＝÷1×100%＝25%所以两队合作5小时后，还剩这项工作的25%。【点睛】明确工程问题各部分之间的数量关系是解答本题的关键。9．3∶44∶3【分析】把这批零件看作单位“1”，师傅的工作效率是，徒弟的工作效率是。根据比的意义，用师傅的工作时间比徒弟的工作时间可求出师徒二人的工作时间比；用师傅的工作效率比徒弟的工作效率可求出师徒的工作效率比。【详解】6∶8＝（6÷2）∶（8÷2）＝3∶41÷6＝1÷8＝∶＝（×24）∶（×24）＝4∶3所以师徒二人的工作时间比是3∶4，他们的工作效率比是4∶3。【点睛】此题主要考查了比的意义、比的化简、工程问题。如果把工作总量看作单位“1”，那么完成此项工作的时间是几，其工作效率就是几分之一。10．26【分析】根据“工作效率＝工作量÷工作时间”，用除以8就是王叔叔的工作效率，把总工作量看作单位“1”，根据“工作时间＝工作量÷工作效率”即可解答。【详解】由分析可得：1÷（÷8）＝1÷（×）＝1÷＝1×26＝26（天）综上所述：一个项目，王叔叔8天做了。按照这样的速度，王叔叔做完这个项目，一共需要26天。【点睛】解答此题的关键是掌握工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系，同时找准单位“1”。11．【分析】已知这项工程，甲单独做要8天完成，乙单独做要10天完成，可把这项工程总量看作单位“1”，则甲和乙的工效分别为、，现在两人合作完成工程的，问需要多少天，根据工时＝工作总量÷工效，列式为：÷（＋）。【详解】÷（＋）＝÷＝×＝（天）有一项工程，甲单独做要8天完成，乙单独做要10天完成，两人合作（）天可以完成工程的。【点睛】考查了工程问题，通常把工作总量看作单位“1”，灵活应用工效、工时、工作总量三者间的关系来解答。12．5【分析】先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出甲的工作效率和乙的工作效率，自始至终乙没有休息工作了8天，甲休息了若干天，则甲完成了乙单独工作8天后剩下的工作总量，根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”求出自始至终甲工作的天数，甲休息的天数＝总天数－甲工作的天数，据此解答。【详解】假设工作总量为1。甲的工作效率：1÷15＝乙的工作效率：1÷10＝（1－×8）÷＝（1－）÷＝÷＝×15＝3（天）8－3＝5（天）所以，甲休息了5天。【点睛】本题主要考查工程问题，把工作总量看作甲工作若干天的工作总量与乙工作8天的工作总量之和是解答题目的关键。13．【分析】把这项工程总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，求得甲队和乙队各自的工作效率，然后根据工作总量＝工作时间×工作效率和，求得两队合作，3天可以完成这项工程的几分之几。【详解】1÷30＝1÷20＝3×（＋）＝3×＝两队合作，3天可以完成这项工程的。【点睛】本题主要考查了工程问题，熟记相关公式是解题的关键。14．(1)甲(2)5【分析】（1）工作效率＝工作总量÷工作时间，时间越短工作效率越高，据图可知甲的效率最高；（2）工作时间＝工作总量÷工作效率，代入数据计算即可。【详解】（1）甲的工作效率：1÷10＝乙的工作效率：1÷25＝丙的工作效率：1÷20＝＞＞甲的工作效率最高（2）÷（＋）＝÷＝×＝5（天）甲、乙二人合作，5天能完成这项工程的。【点睛】此题考查工作时间工作效率以及工作总量之间的关系，掌握分数的乘除计算也是解题的关键。15．能够；见详解【分析】把这份稿件的总工作量看作单位“1”，先依据工作效率＝工作总量÷工作时间，求出甲和乙的工作效率，两人合作后，把两人工作效率相加，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率和求出两人同时打印需要多长的时间，再与5小时比较大小即可得解。【详解】1÷8＝1÷12＝1÷（＋）＝1÷（＋）＝1÷＝1×＝4.8（小时）4.8小时＜5小时答：两人同时打印5小时能够完成任务，因为两人同时打印只需要4.8小时即可完成。【点睛】本题考查知识点：依据工作时间、工作效率以及工作总量之间数量关系解决问题。16．6天【分析】把加工这批零件的工作总量看作“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”分别求出师傅、徒弟的工作效率，再根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，用工作总量除以师、徒的工作效率之和，就是师徒两人同时加工需要的天数。【详解】师傅的工作效率：徒弟的工作效率：＝＝＝＝（天）答：需要6天完成。【点睛】一件工作，独做需要m小时，乙队单独做需要n小时，两队合作需要1÷（）（m、n均为大于0的整数）小时完成。17．6天【详解】（天）答：6天可以完成。18．÷＝11(天)【详解】略19．3天【分析】把全部任务看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率和，用75%÷3即可求出师徒两人的工作效率和，已知师傅和徒弟的工作效率之比是2∶1，则师傅的工作效率看作2份，徒弟的工作效率看作1份，用两人的工作效率和÷（2＋1）即可求出每份是多少，也就是徒弟的工作效率，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，用（1－75%）除以徒弟的工作效率，即