单调区间试题与权威答案

单调区间精选试题与权威答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.函数f(x)=x³-3x在区间(-1,1)上是A.单调递增B.单调递减C.先单调递增后单调递减D.先单调递减后单调递增2.若函数f(x)=ax²+bx+c在区间(1,+∞)上单调递增，则下列关系式一定成立的是A.a>0B.b>0C.a+b>0D.ab>03.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的单调递减区间是A.(-∞,-2)B.[-2,1]C.(1,+∞)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)4.已知函数h(x)在其定义域内处处可导，且h'(x)>0，则下列结论中正确的是A.h(x)在其定义域内单调递增B.h(x)在其定义域内单调递减C.h(x)的图像是一条直线D.h(x)的图像可能存在极值点5.若函数f(x)=(x-a)(x-b)在区间(a,b)上单调递减，则实数a,b满足的关系是A.a<bB.a>bC.a+b<0D.a+b>0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）6.函数y=ln(x²-2x+3)的单调递增区间是__________。7.若函数f(x)=x³-3x²+2x+1在区间(m,m+2)上单调递减，则实数m的取值范围是__________。8.已知函数g(x)=x³-ax²+bx在区间(1,+∞)上单调递增，且在x=2处取得极大值，则实数a,b的值分别为a=__________，b=__________。9.函数h(x)=√(x-1)-x在区间(1,+∞)上的单调性是__________。三、解答题（本大题共5小题，共55分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）10.（本小题满分10分）求函数f(x)=x³-6x²+9x+1的单调区间。11.（本小题满分10分）已知函数g(x)=x³-3x²+2。(1)求函数g(x)的单调区间；(2)求函数g(x)在区间[-1,4]上的最大值和最小值。12.（本小题满分10分）讨论函数h(x)=|x+1|+|x-1|的单调性，并求其单调区间。13.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x³-3x²+ax+b在x=1处单调递减，且在x=-1处取得局部最大值。(1)求实数a,b的值；(2)求函数f(x)的单调区间。14.（本小题满分13分）设函数F(x)=eˣ-f(x)，其中f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增。(1)求证：F(x)在R上单调递增；(2)若F(1)=1，求f(0)的值，并判断f(x)在区间(-∞,0)上的单调性。试卷答案一、选择题1.D2.A3.B4.A5.A二、填空题6.(1,3)7.(-∞,-1]∪[2,+∞)8.a=3,b=29.单调递减三、解答题10.解：f'(x)=3x²-12x+9=3(x²-4x+3)=3(x-1)(x-3)。令f'(x)=0，得x=1或x=3。当x∈(-∞,1)时，f'(x)>0，函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递增；当x∈(1,3)时，f'(x)<0，函数f(x)在区间(1,3)上单调递减；当x∈(3,+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)在区间(3,+∞)上单调递增。答：函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)。11.解：g'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令g'(x)=0，得x=0或x=2。当x∈(-∞,0)时，g'(x)>0，函数g(x)在区间(-∞,0)上单调递增；当x∈(0,2)时，g'(x)<0，函数g(x)在区间(0,2)上单调递减；当x∈(2,+∞)时，g'(x)>0，函数g(x)在区间(2,+∞)上单调递增。函数g(x)在x=0处取得极大值，极大值为g(0)=2；函数g(x)在x=2处取得极小值，极小值为g(2)=-2。比较区间端点处的函数值：g(-1)=1，g(4)=21。因此，函数g(x)在区间[-1,4]上的最大值为21，最小值为-2。12.解：函数g(x)=x³-3x²+2。g'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令g'(x)=0，得x=0或x=2。当x∈(-∞,0)时，g'(x)>0，函数g(x)在区间(-∞,0)上单调递增；当x∈(0,2)时，g'(x)<0，函数g(x)在区间(0,2)上单调递减；当x∈(2,+∞)时，g'(x)>0，函数g(x)在区间(2,+∞)上单调递增。函数g(x)在x=0处取得极大值，极大值为g(0)=2；函数g(x)在x=2处取得极小值，极小值为g(2)=-2。比较区间端点处的函数值：g(-1)=1，g(4)=10。因此，函数g(x)在区间[-1,4]上的最大值为10，最小值为-2。13.解：(1)f'(x)=3x²-6x+a。由题意，x=1处单调递减，则f'(1)≤0，即3(1)²-6(1)+a≤0，得a≤3。又由题意，x=-1处取得局部最大值，则f'(-1)=0且f'(-1)的符号在-1左侧为正，右侧为负。f'(-1)=3(-1)²-6(-1)+a=3+6+a=9+a。由f'(-1)=0，得a=-9。将a=-9代入9+a≤0，得9-9≤0，即0≤0，成立。所以，实数a=-9。此时，f'(x)=3x²-6x-9=3(x²-2x-3)=3(x-3)(x+1)。(2)当x∈(-∞,-1)时，f'(x)>0，函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增；当x∈(-1,3)时，f'(x)<0，函数f(x)在区间(-1,3)上单调递减；当x∈(3,+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)在区间(3,+∞)上单调递增。答：函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(3,+∞)，单调递减区间为(-1,3)。14.解：(1)证法一：任取x₁,x₂∈R，且x₁<x₂。F(x₂)-F(x₁)=eˣ₂-f(x₂)-(eˣ₁-f(x₁))=eˣ₂-eˣ₁-(f(x₂)-f(x₁))。因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)。又f(x)在(0,+∞)上单调递增，则f(x)在(-∞,0)上也单调递增。当x₁,x₂∈(0,+∞)时，x₂-x₁>0，eˣ₂-eˣ₁>0，f(x₂)-f(x₁)>0。所以eˣ₂-eˣ₁-(f(x₂)-f(x₁))>0-0=0，即F(x₂)>F(x₁)。当x₁,x₂∈(-∞,0)时，x₂-x₁>0，eˣ₂-eˣ₁<0，f(x₂)-f(x₁)<0。因为x₂-x₁<0，所以-(f(x₂)-f(x₁))>0。又eˣ₂-eˣ₁<0，所以eˣ₂-eˣ₁-(f(x₂)-f(x₁))>0-0=0，即F(x₂)>F(x₁)。当x₁∈(0,+∞),x₂∈(-∞,0)时，eˣ₂-eˣ₁>0，f(x₂)-f(x₁)<0。因为x₂-x₁<0，所以-(f(x₂)-f(x₁))>0。所以eˣ₂-eˣ₁-(f(x₂)-f(x₁))>0-0=0，即F(x₂)>F(x₁)。综上，F(x)在R上单调递增。证法二：F'(x)=eˣ-f'(x)。因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)。由奇函数的导数性质，f'(-x)=-f'(x)。因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f'(x)>0对x∈(0,+∞)恒成立。则F'(-x)=e⁻ˣ-f'(-x)=e⁻ˣ+f'(x)>e⁻ˣ>0(当x∈(-∞,0)时)。所以F'(x)>0对x∈(-∞,0)恒成立。又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f'(x)>0对x∈(0,+∞)恒成立。所以F'(x)=eˣ-f'(x)>0对x∈(0,+∞)恒成立。综上，F'(x)>0对x∈R恒成立，所以F(x)在R上单调递增