公因数过关试题及答案解析

公因数过关试题及答案解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题1.18的因数有_________，其中与24的公因数有_________，最大公因数是_________。2.如果a=12，b=18，那么a和b的最大公因数是_________，最小公倍数是_________。3.能同时被2和3整除的最大两位数是_________。4.用短除法求24和36的最大公因数：短除法步骤：24÷2=12；36÷2=18；12÷3=4；18÷3=6；4和6互质。所以24和36的最大公因数是_________。5.一个长方形的面积是36平方厘米，它的长和宽都是整厘米数，且长和宽的公因数只有1，这样的长方形的长可能是_________厘米，宽可能是_________厘米。6.如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做_________数。7.把4个苹果平均分给若干个小朋友，每个小朋友分得相同个数，分完后没有剩余。分的苹果个数可能是_________个。8.甲数是18，乙数是30，甲乙两数的公因数中，最大的一个是_________，最小的一个是_________。二、选择题1.下列数中，6和36的公因数是（）。A.2B.3C.4D.52.求两个数的最大公因数，通常用什么方法？（）A.因数分解法B.短除法C.欧几里得算法D.上述方法都可以3.下面各组数中，互质数是（）。A.8和12B.9和15C.14和21D.16和254.能被2和3整除的数，一定能被（）整除。A.4B.5C.6D.85.如果a和b是互质数，c是它们的公倍数，那么c的最小值是（）。A.aB.bC.abD.a+b6.求出12和18的所有公因数，然后从中找出最大公因数，这个过程适合用（）方法。A.列举法B.短除法C.分解质因数法D.任意方法都可以三、判断题1.互质的两个数一定都是质数。（）2.任何两个非零自然数的公因数中，一定有1。（）3.如果a÷b=3（a、b为非零自然数），那么a和b的最大公因数是b。（）4.两个数的最大公因数一定是它们的积。（）5.一个数只有1个因数。（）6.18和25的最大公因数是1。（）四、计算题1.用短除法求下列各组数的最大公因数：(1)45和30(2)56和42(3)72和602.用分解质因数法求下列各组数的最大公因数：(1)48和60(2)105和140(3)81和36五、应用题1.有24本故事书和36本连环画，要把它们平均分给若干个小朋友，每个小朋友分得的故事书和连环画的数量相同，并且没有剩余。最多可以分给多少个小朋友？每个小朋友能分得多少本故事书和多少本连环画？2.一个长方形的花园，长是45米，宽是30米。准备用边长是整米的正方形地砖铺满这个花园，问至少需要多少块地砖？3.甲、乙两个齿轮互相啮合，甲齿轮有36齿，乙齿轮有60齿。它们开始转动时，至少要转多少圈后，两个齿轮再次同时啮合在一起？4.小明和小红一起收集邮票，小明有15张，小红有21张。他们想把邮票合并后，平均分给几个小朋友，每人分得的邮票数量相同且没有剩余。如果他们决定分给4个小朋友，每个小朋友能分到多少张邮票？如果他们决定分给尽可能多的数量，每个小朋友能分到多少张邮票？试卷答案一、填空题1.18的因数有1,2,3,6,9,18；其中与24的公因数有1,2,3,6；最大公因数是6。解析思路：先分别列出18和24的所有因数，然后找出共同的因数，即为公因数，最后在公因数中找出最大的那个。2.如果a=12，b=18，那么a和b的最大公因数是6，最小公倍数是36。解析思路：12的因数有1,2,3,4,6,12；18的因数有1,2,3,6,9,18。公因数有1,2,3,6，最大的是6。12和18的公倍数有12,18,24,36,...，最小的是36。3.能同时被2和3整除的最大两位数是90。解析思路：能被2整除的数必须是偶数，能被3整除的数各位数字之和必须是3的倍数。从最大的两位数90开始尝试，90是偶数，9+0=9是3的倍数，符合条件。4.用短除法求24和36的最大公因数：短除法步骤：24÷2=12；36÷2=18；12÷3=4；18÷3=6；4和6互质。所以24和36的最大公因数是6。解析思路：用短除法逐步分解，用两个数的公因数去除，直到所得的商互质为止，最后把所有的除数乘起来，即得到最大公因数。5.一个长方形的面积是36平方厘米，它的长和宽都是整厘米数，且长和宽的公因数只有1，这样的长方形的长可能是36厘米，宽可能是1厘米。解析思路：长方形的长和宽的乘积是面积36。36的因数对有(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6)。其中公因数只有1的对只有(1,36)。6.如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。解析思路：根据互质数的定义，公因数只有1的两个自然数叫做互质数。7.把4个苹果平均分给若干个小朋友，每个小朋友分得相同个数，分完后没有剩余。分的苹果个数可能是4个。解析思路：要求每个小朋友分得相同个数且无剩余，则分给的小朋友人数必须是4的因数。可能的份数是1,2,4。8.甲数是18，乙数是30，甲乙两数的公因数中，最大的一个是6，最小的一个是1。解析思路：18的因数有1,2,3,6,9,18；30的因数有1,2,3,5,6,10,15,30。共同的因数有1,2,3,6。最大的是6，最小的是1。二、选择题1.下列数中，6和36的公因数是（ABD）。A.2B.3C.4D.5解析思路：分别列出6和36的因数：6的因数有1,2,3,6；36的因数有1,2,3,4,6,9,12,18,36。共同的因数是1,2,3,6。选项A,B,D正确。2.求两个数的最大公因数，通常用什么方法？（BD）。A.因数分解法B.短除法C.欧几里得算法D.上述方法都可以解析思路：求最大公因数的方法有多种，因数分解法、短除法、欧几里得算法都是常用的有效方法。3.下面各组数中，互质数是（D）。A.8和12B.9和15C.14和21D.16和25解析思路：判断是否互质，看公因数是否只有1。A.8和12的公因数有1,2,4。B.9和15的公因数有1,3。C.14和21的公因数有1,7。D.16和25只有公因数1，互质。4.能被2和3整除的数，一定能被（C）整除。A.4B.5C.6D.8解析思路：能被2整除的数是偶数；能被3整除的数各位数字之和是3的倍数。能同时被2和3整除的数，必然同时满足偶数和3的倍数的特征，即6的倍数。5.如果a和b是互质数，c是它们的公倍数，那么c的最小值是（C）。A.aB.bC.abD.a+b解析思路：互质数的公倍数有ab,ab*2,ab*3,...最小的一个是它们的乘积ab。6.求出12和18的所有公因数，然后从中找出最大公因数，这个过程适合用（A）方法。A.列举法B.短除法C.分解质因数法D.任意方法都可以解析思路：要列出所有公因数再找最大，过程比较繁琐，尤其对于较大数字，列举法直观但效率不高。短除法和分解质因数法更适合直接求最大公因数。但题目描述的过程本身就是列举法。三、判断题1.互质的两个数一定都是质数。（×）解析思路：互质是指公因数只有1，质数是指只有1和本身两个因数。互质数可以是两个合数，如8和9，都是合数但互质。2.任何两个非零自然数的公因数中，一定有1。（√）解析思路：1是任何非零自然数的因数，所以任何两个非零自然数都至少有一个公因数1。3.如果a÷b=3（a、b为非零自然数），那么a和b的最大公因数是b。（×）解析思路：a是b的3倍，即a=3b。b是a的因数，也是自身的最大因数。所以a和b的最大公因数是b。4.两个数的最大公因数一定是它们的积。（×）解析思路：只有当两个数成倍数关系时（如6和18），最大公因数才是较小数。一般情况最大公因数小于积。5.一个数只有1个因数。（×）解析思路：任何非零自然数至少有两个因数，1和它本身。只有1这个数是唯一的因数。6.18和25的最大公因数是1。（√）解析思路：18的因数有1,2,3,6,9,18；25的因数有1,5,25。唯一的公因数是1，互质。四、计算题1.用短除法求下列各组数的最大公因数：(1)45和30短除法步骤：45÷3=15；30÷3=10；15和10互质。所以45和30的最大公因数是3。(2)56和42短除法步骤：56÷2=28；42÷2=21；28÷7=4；21÷7=3；4和3互质。所以56和42的最大公因数是2*7=14。(3)72和60短除法步骤：72÷2=36；60÷2=30；36÷2=18；30÷2=15；18÷3=6；15÷3=5；6和5互质。所以72和60的最大公因数是2*2*3=12。解析思路：使用短除法，用两个数的公因数连续去除，直到所得商互质为止，然后把所有的除数乘起来，即得最大公因数。2.用分解质因数法求下列各组数的最大公因数：(1)48和6048=2*2*2*2*3=2^4*360=2*2*3*5=2^2*3*5公有质因数是2和3，取相同指数的最低次幂，即2^2*3=4*3=12。所以48和60的最大公因数是12。(2)105和140105=3*5*7140=2*2*5*7=2^2*5*7公有质因数是5和7。所以105和140的最大公因数是5*7=35。(3)81和3681=3*3*3*3=3^436=2*2*3*3=2^2*3^2公有质因数是3，取相同指数的最低次幂，即3^2=9。所以81和36的最大公因数是9。解析思路：把每个数分解成质因数的乘积形式，然后取出所有数都含有的质因数，并取这些质因数在各个分解式中指数的最小值相乘，即得最大公因数。五、应用题1.有24本故事书和36本连环画，要把它们平均分给若干个小朋友，每个小朋友分得的故事书和连环画的数量相同，并且没有剩余。最多可以分给多少个小朋友？每个小朋友能分得多少本故事书和多少本连环画？解析思路：要求每个小朋友分得的故事书和连环画的数量相同且无剩余，则分给的小朋友人数必须是24和36的公因数。要分给最多的小朋友，即求最大公因数。24和36的最大公因数是12。所以最多可以分给12个小朋友。每个小朋友分得：24÷12=2本故事书；36÷12=3本连环画。答：最多可以分给12个小朋友，每个小朋友能分得2本故事书和3本连环画。2.一个长方形的花园，长是45米，宽是30米。准备用边长是整米的正方形地砖铺满这个花园，问至少需要多少块地砖？解析思路：要用正方形地砖铺满长方形花园，且边长是整数米，则地砖的边长必须是花园长和宽的公因数。为了使用最少的地砖，地砖的边长应为长和宽的最大公因数。45和30的最大公因数是15。地砖边长为15米。花园面积：45*30=1350平方米。地砖面积：15*15=225平方米。所需地砖数量：1350÷225=6块。答：至少需要6块地砖。3.甲、乙两个齿轮互相啮合，甲齿轮有36齿，乙齿轮有60齿。它们开始转动时，至少要转多少圈后，两个齿轮再次同时啮合在一起？解析思路：两个齿轮再次同时啮合，意味着它们齿数相遇