2025-2026年辽宁省北师大版高三数学选修二第五章测试卷

2025-2026年辽宁省北师大版高三数学选修二第五章测试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修二第五章中，若函数f(x)＝ax^3＋bx^2＋cx＋d在x＝1处取得极值，且其导函数f′(x)的图像经过点(0,2)，则下列关于a的表述正确的是（）A.a必须为正数且大于1B.a可以为任意实数，只要b≠0C.a必须为负数且小于-1D.a的符号不确定，但|a|≥1解析：由f(x)在x＝1处取得极值可得f′(1)＝3a＋2b＋c＝0，结合f′(x)过(0,2)得f′(0)＝c＝2。代入极值条件得3a＋2b＋2＝0，此时a与b的关系不确定，但若取b＝1，则a＝-4/3，此时f′(x)＝3(-4/3)x^2＋x＋2＝0有两个实根，对应极值点。若取b＝-2，则a＝2，此时f′(x)＝6x^2-2x+2＞0恒成立，无极值点。因此a的符号和大小均不确定，但若要存在极值点，则|a|需足够大以抵消b的影响，故选D。2.对于选修二第五章中的曲线y＝x^3－3x＋2，下列关于其切线方程的表述正确的是（）A.在x＝－1处切线斜率为0，方程为y＝2B.在x＝1处切线斜率不为0，方程必过原点C.存在两条平行切线，其斜率均为－3D.切线斜率为2的切线有且仅有一条解析：f′(x)＝3x^2－3，当x＝－1时f′(x)＝0，切线方程为y＝2；当x＝1时f′(x)＝0，切线方程为y＝0；当x＝0时f′(x)＝－3，切线方程为y＝2x＋2；当x＝2时f′(x)＝9，切线方程为y＝9x－14。因此A正确，B错误（x＝1处切线过(1,0)），C错误（平行切线斜率相同但方程不同），D错误（x＝－1和x＝3时斜率均为2）。3.在选修二第五章的极值问题中，若函数f(x)＝x^3－ax^2＋bx在x＝2处取得极大值，且f′(1)＝0，则实数a、b的取值分别为（）A.a＝5，b＝－3B.a＝3，b＝2C.a＝4，b＝－1D.a＝2，b＝0解析：f′(x)＝3x^2－2ax＋b，由f′(1)＝0得3－2a＋b＝0①，由f′(2)＝0得12－4a＋b＝0②，联立①②解得a＝3，b＝3。代入f′(x)＝3(x－1)^2，x＝2时f′(x)由负变正，为极大值点，符合条件，故选B。4.对于选修二第五章中的参数方程x＝t^2－2t，y＝t^3－3t^2，下列关于曲线性质的表述正确的是（）A.曲线关于原点对称B.存在斜率为1的切线C.曲线与x轴有三个交点D.曲线在t＝1时取得极值解析：消参得y＝x^3/4－3x/2，对称性检验：f(－x)＝－x^3/4＋3x/2≠－f(x)，故A错；dy/dx＝3x^2/4－3/2，令dy/dx＝1得x＝±√2，对应t＝0或t＝2，故B对；令y＝0得x＝0或x＝±2√3，故C错；当t＝1时x＝－1，y＝－2，f′(t)＝3(t^2－1)＝0，但f′(t)在t＝1附近由正变负，为极小值点，故D错。5.在选修二第五章的定积分应用中，若曲线y＝sinx在[0,π]上与x轴围成的面积记为S1，y＝cosx在[0,π/2]上与x轴围成的面积记为S2，则S1与S2的关系为（）A.S1＝S2B.S1＝2S2C.S1＝πS2D.S2＝2S1解析：S1＝∫_0^π|sinx|dx＝2∫_0^π/2sinxdx＝4，S2＝∫_0^π/2cosxdx＝1，故S1＝4S2，选B。6.对于选修二第五章中的微分方程y′－2xy＝e^x，下列关于其通解的表述正确的是（）A.y＝Ce^x＋e^xB.y＝Ce^x^2＋e^xC.y＝e^x(C＋e^x)D.y＝e^x^2(C＋e^x)解析：令y＝u(x)e^x，代入原方程得u′＝e^x，积分得u＝Ce^x，故y＝Ce^x＋e^x，选A。7.在选修二第五章的曲线方程中，若曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ（0≤θ＜2π），则曲线C的普通方程为（）A.x^2/4＋y^2/9＝1B.x^2/9＋y^2/4＝1C.x^2/4＋y^2/9＝1（y≥0）D.x^2/9＋y^2/4＝1（x≤0）解析：消参得x^2/4＋y^2/9＝1，由于θ的取值范围，曲线为椭圆上半部分，故选C。8.对于选修二第五章中的函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x＋1，下列关于其单调性的表述正确的是（）A.在(－∞,1)上单调递增，在(1,＋∞)上单调递减B.在(－∞,0)上单调递减，在(0,＋∞)上单调递增C.在(－∞,1)和(3,＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减D.在(－∞,0)和(2,＋∞)上单调递减，在(0,2)上单调递增解析：f′(x)＝3x^2－6x＋2＝3(x－1)^2－1，令f′(x)＝0得x＝1±√3/3，当x∈(－∞,1－√3/3)和(1＋√3/3,＋∞)时f′(x)＞0，单调递增；当x∈(1－√3/3,1＋√3/3)时f′(x)＜0，单调递减，故选C。9.在选修二第五章的极值与最值问题中，若函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x在区间[－1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝（）A.1B.2C.3D.4解析：f′(x)＝3x^2－6x＋2，令f′(x)＝0得x＝1±√3/3，f(－1)＝－1，f(1－√3/3)＝4√3/9－2/3，f(1＋√3/3)＝－4√3/9＋2/3，f(3)＝2，故M＝2，m＝－1，M－m＝3，选C。10.对于选修二第五章中的曲线y＝x^2＋px＋q，若其与直线y＝x相交于A、B两点，且A、B两点的横坐标之积为－3，则p、q的取值关系为（）A.p^2－4q＝0B.p^2＋4q＝9C.p^2－4q＝－9D.p^2＋4q＝－9解析：联立方程得x^2＋(p－1)x＋q＝0，由根的积为－3得q＝－3，代入得x^2＋(p－1)x－3＝0，判别式Δ＝(p－1)^2＋12＞0恒成立，故p^2－4q＝p^2＋12＝9，选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝x^3－ax^2＋3x在x＝1处取得极值，则实数a＝________。参考答案：4解析：f′(x)＝3x^2－2ax＋3，由f′(1)＝0得3－2a＋3＝0，解得a＝4。2.曲线y＝x^3－3x＋2的拐点坐标为________。参考答案：(1,0)解析：y′＝3x^2－3，y′′＝6x，令y′′＝0得x＝0，y＝2；x＝1时y′′＝6＞0，x＝－1时y′′＝－6＜0，故(1,0)为拐点。3.函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x在区间[0,3]上的最大值为________，最小值为________。参考答案：2，0解析：f′(x)＝3x^2－6x＋2，令f′(x)＝0得x＝1±√3/3，f(0)＝0，f(1－√3/3)＝4√3/9－2/3，f(1＋√3/3)＝－4√3/9＋2/3，f(3)＝2，故最大值2，最小值0。4.若曲线y＝x^3－ax^2＋bx在x＝1处取得极值，且其导函数f′(x)的图像经过点(0,2)，则实数a＋b＝________。参考答案：5解析：f′(x)＝3x^2－2ax＋b，由f′(1)＝0得3－2a＋b＝0①，由f′(0)＝2得b＝2②，联立①②解得a＝1/2，b＝2，故a＋b＝5/2。5.函数f(x)＝sinx－cosx在[0,2π]上的最大值为________，最小值为________。参考答案：√2，－√2解析：f′(x)＝cosx＋sinx，令f′(x)＝0得x＝3π/4或x＝7π/4，f(0)＝1，f(3π/4)＝√2，f(7π/4)＝－√2，f(2π)＝1，故最大值√2，最小值－√2。6.若函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x在区间[－1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________。参考答案：3解析：同第9题解析，M＝2，m＝－1，M－m＝3。7.曲线y＝x^3－3x^2＋2x的渐近线方程为________。参考答案：无解析：三次函数无渐近线。8.若函数f(x)＝x^3－ax^2＋bx在x＝1处取得极大值，且f(0)＝2，则实数a－b＝________。参考答案：－1解析：f(0)＝2得b＝2，f′(1)＝0得3－2a＋2＝0，解得a＝5/2，故a－b＝5/2－2＝－3/2。9.函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x在区间[0,3]上的积分为________。参考答案：9解析：∫_0^3(x^3－3x^2＋2x)dx＝[x^4/4－x^3＋x^2]_0^3＝81/4－27＋9＝9/4。10.若曲线y＝x^3－ax^2＋bx在x＝1处取得极值，且其原函数F(x)的图像经过点(0,1)，则实数a＋2b＝________。参考答案：4解析：f′(x)＝3x^2－2ax＋b，由f′(1)＝0得3－2a＋b＝0①，F′(x)＝f(x)，F(0)＝1得F(x)＝x^3/4－ax^2/2＋bx＋C，由F(0)＝1得C＝1，故a＋2b＝4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x在x＝1处取得极值，则f′(1)＝0。参考答案：正确解析：极值点的必要条件是导数为0，f′(x)＝3x^2－6x＋2，f′(1)＝0。2.函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x在区间[0,3]上的最大值为3。参考答案：错误解析：f(3)＝2，最大值2。3.曲线y＝x^3－3x^2＋2x的拐点坐标为(0,2)。参考答案：错误解析：拐点处二阶导数为0且变号，(0,2)处y′′＝0但未变号。4.函数f(x)＝sinx－cosx在[0,2π]上的最小值为－1。参考答案：错误解析：最小值为－√2。5.若函数f(x)＝x^3－ax^2＋bx在x＝1处取得极值，则a＝b。参考答案：错误解析：a＝3－b。6.函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x在区间[－1,3]上的最小值为0。参考答案：正确解析：f(1)＝0，f(－1)＝－1，最小值0。7.曲线y＝x^3－3x^2＋2x的渐近线方程为y＝x。参考答案：错误解析：三次函数无渐近线。8.函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x在区间[0,3]上的积分为9。参考答案：正确解析：∫_0^3(x^3－3x^2＋2x)dx＝9/4。9.若函数f(x)＝x^3－ax^2＋bx在x＝1处取得极大值，则f′(1)＝0。参考答案：正确解析：极值点的必要条件是导数为0。10.函数f(x)＝sinx－cosx在[0,2π]上的最大值为1。参考答案：错误解析：最大值为√2。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x，求f(x)的单调区间。解：f′(x)＝3x^2－6x＋2＝3(x－1)^2－1，令f′(x)＝0得x＝1±√3/3，当x∈(－∞,1－√3/3)和(1＋√3/3,＋∞)时f′(x)＞0，单调递增；当x∈(1－√3/3,1＋√3/3)时f′(x)＜0，单调递减。故单调增区间为(－∞,1－√3/3)和(1＋√3/3,＋∞)，单调减区间为(1－√3/3,1＋√3/3)。2.已知曲线y＝x^3－ax^2＋bx在x＝1处取得极值，且f(0)＝2，求a、b的值。解：f(0)＝2得b＝2，f′(x)＝3x^2－2ax＋b，由f′(1)＝0得3－2a＋2＝0，解得a＝5/2。3.已知函数f(x)＝sinx－cosx，求f(x)在[0,2π]上的最大值和最小值。解：f′(x)＝cosx＋sinx，令f′(x)＝0得x＝3π/4或x＝7π/4，f(0)＝1，f(3π/4)＝√2，f(7π/4)＝－√2，f(2π)＝1，故最大值√2，最小值－√2。4.已知曲线y＝x^3－3x^2＋2x，求其拐点坐标。解：y′＝3x^2－6x＋2，y′′＝6x－6，令y′′＝0得x＝1，当x∈(－∞,1)时y′′＜0，当x∈(1,＋∞)时y′′＞0，故(1,0)为拐点。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x，求f(x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值。解：f′(x)＝3x^2－6x＋2＝3(x－1)^2－1，令f′(x)＝0得x＝1±√3/3，f(－1)＝－1，f(1－√3/3)＝4√3/9－2/3，f(1＋√3/3)＝－4√3/9＋2/3，f(3)＝2，故最大值2，最小值－1。2.已知函数f(x)＝sinx－cosx，求f(x)在[0,2π]上的最大值和最小值。解：f′(x)＝cosx＋sinx，令f′(x)＝0得x＝3π/4或x＝7π/4，f(0)＝1，f(3π/4)＝√2，f(7π/4)＝－√2，f(2π)＝1，故最大值√2，最小值－√2。3.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x，求f(x)在区间[0,3]上的积分为多少。解：∫_0^3(x^3－3x^2＋2x)dx＝[x^4/4－x^3＋x^2]_0^3＝81/4－27＋9＝9/4。4.已知曲线y＝x^3－3x^2＋2x，求其拐点坐标。解：y′＝3x^2－6x＋2，y′′＝6x－6，令y′′＝0得x＝1，当x∈(－∞,1)时y′′＜0，当x∈(1,＋∞)时y′′＞0，故(1,0)为拐点。【标准答案及解析】一、单选题1.D2.A3.B4.B5.B6.A7.C8.C9.C10.B解析：2.极值点处导数为0，但a的符号不确定，需结合b的大小判断，若b足够大可抵消a的影响。3.x＝1时f′(x)＝0，切线方程为y＝1。4.f′(x)＝3(x－1)^2，x＝1时f′(x)＝0，但f′(x)在x＝1附近不变号，非极值点。5.参数方程消参得y＝x^3/4－3x/2，dy/dx＝3x^2/4－3/2，令dy/dx＝1得x＝±√2。6.S1＝2∫_0^π/2sinxdx＝2，S2＝∫_0^π/2cosxdx＝1。7.令y＝u(x)e^x，代入原方程得u′＝e^x，积分得u＝Ce^x，故y＝Ce^x＋e^x。8.消参得x^2/4＋y^2/9＝1，由于θ的取值范围，曲线为椭圆上半部分。9.f′(x)＝3x^2－6x＋2＝3(x－1)^2－1，令f′(x)＝2得x＝1±√3/3。10.f′(x)＝3x^2－6x＋2，令f′(x)＝0得x＝1±√3/3，f(－1)＝－1，f(1－√3/3)＝4√3/9－2/3，f(1＋√3/3)＝－4√3/9＋2/3，f(3)＝2，故最大值2，最小值－1。11.联立方程得x^2＋(p－1)x＋q＝0，由根的积为－3得q＝－3，代入得x^2＋(p－1)x－3＝0，判别式Δ＝(p－1)^2＋12＞0恒成立。二、填空题1.412.(1,0)13.2，014.515.√2，－√216.317.无18.－3/219.9/420.4解析：2.f′(x)＝3x^2－6x＋2，由f′(1)＝0得3－6a＋2＝0，解得a＝4。3.y′＝3x^2－6x＋2，y′′＝6x－6，令y′′＝0得x＝1，y＝1－3＋2＝0，故(1,0)为拐点。4.f′(x)＝3x^2－6x＋2，令f′(x)＝0得x＝1±√3/3，f(0)＝0，f(1－√3/3)＝4√3/9－2/3，f(1＋√3/3)＝－4√3/9＋2/3，f(3)＝2，故最大值2，最小值0。5.f′(x)＝3x^2－2ax＋b，由f′(1)＝0得3－2a＋b＝0①，由f′(0)＝2得b＝2②，联立①②解得a＝1/2，b＝2，故a＋b＝5/2。6.f′(x)＝cosx＋sinx，令f′(x)＝0得x＝3π/4或x＝7π/4，f(0)＝1，f(3π/4)＝√2，f(7π/4)＝－√2，f(2π)＝1，故最大值√2，最小值－√2。7.同第9题解析，M＝2，m＝－1，M－m＝3。8.三次函数无渐近线。9.f′(x)＝3x^2－2ax＋b，由f′(1)＝0得3－2a＋b＝0①，f(0)＝2得b＝2②，联立①②解得a＝5/2，故a－b＝5/2－2＝－3/2。10.∫_0^3(x^3－3x^2＋2x)dx＝[x^4/4－x^3＋x^2]_0^3＝81/4－27＋9＝9/4。11.f′(x)＝3x^2－2ax＋b，由f′(1)＝0得3－2a＋b＝0①，F′(x)＝f(x)，F(0)＝1得C＝1，故a＋2b＝4。三、判断题1.√22.×23.×24.×25.×26.√27.×28.√29.√30.×解析：2.极值点的必要条件是导数为0。3.f(3)＝2，最大值2。4.(0,2)处y′′＝0但未变号。5.最小值为－√2。6.a＝3－b。7.f(1)＝0，f(－1)＝－1，最小值0。8.三次函数无渐近线。9.∫_0^3(x^3－3x^2＋2x)dx＝9/4。10.极值点的必要条件是导数