2027年高考数学一轮复习(创新设计)第4节　向量中的最值(范围)问题

第4节向量中的最值(范围)问题题型分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇综合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.题型一与系数有关的最值(范围)例1(2026·银川质检)如图，在△ABC中，BD＝23BC，E为线段AD上的动点，且CE＝xCA＋yCBA.8 B.9C.12 D.16答案D解析由已知得CB＝3CD，∴CE＝xCA＋yCB＝xCA＋3yCD，∵E为线段AD上的动点，∴A，D，E，三点共线，∴x＋3y＝1且x>0，y>0，∴1x＋3y＝1x＋3y(x＋3y)＝10当且仅当x＝y＝14时，等号成立故1x＋感悟提升此类问题的一般解题步骤是第一步:利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系;第二步:运用基本不等式或函数的性质求其最值.训练1在△ABC中，D是AB边上的点，满足AD＝2DB，E在线段CD上(不含端点)，且AE＝xAB＋yAC(x，y∈R)，则x＋2yxy答案4＋23解析∵AE＝xAB＋yAC(x，y∈R)，AD＝2DB，∴AE＝3x2又E在线段CD上(不含端点)，∴3x2＋y＝1，且x>0，y∴x＝4＋3x2y＋2y当且仅当3x即x＝3−33，y＝3−12∴x＋2yxy的最小值为4题型二与数量积有关的最值(范围)例2(2026·石家庄调研)已知圆O的半径为2，弦AB＝2，D为圆O上一动点，则AD·AB的最小值为()A.－1 B.－2C.－4 D.－6答案B解析法一建立如图所示的直角坐标系，则A(2，0)，B(1，3)，D(2cosθ，2sinθ)，所以AD＝(2cosθ－2，2sinθ)，AB＝(－1，3).所以AD·AB＝23sinθ－2cosθ＋2＝4sinθ−π当sinθ−π6＝－1时，AD·AB法二如图，作圆的直径EF∥AB，过E作EC⊥BA的延长线，垂足为C.而AD·AB可以看作AD在AB上的投影与|由圆的性质知，当D与E重合时，AD·AB取得最小值.因为AB＝OA＝2，所以∠BAO＝∠OAE＝∠EAC＝π3，则AC＝12×2所以AD·AB的最小值为AC·AB＝1×2cos180°感悟提升数量积最值(范围)的解法:(1)坐标法，通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理.(2)向量法，运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决.训练2(2026·湖南部分学校联考)已知正方形ABCD的边长为4，点P满足AP＝λAB(λ>0)，则PC·DP的最大值为.

答案－12解析以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.则A(0，0)，B(4，0)，C(4，4)，D(0，4)，P(4λ，0).因为PC＝(4－4λ，4)，DP＝(4λ，－4)(λ>0)，所以PC·DP＝4λ(4－4λ)－16＝－16λ2＋16λ－16＝－16λ−12所以当λ＝12时，PC·DP取得最大值－题型三与模有关的最值(范围)例3(1)(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy中，|OA|＝|OB|＝2，|AB|＝2，设C(3，4)，则|2CA＋A.[6，14] B.[6，12]C.[8，14] D.[8，12](2)(2026·南京模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，若向量c满足|a＋b－2c|＝1，则|c|的取值范围为.

答案(1)D(2)5解析(1)因为|OA|＝|OB|＝2，|AB|＝2，由AB＝OB－OA平方，可得OA·所以<OA，OB>＝2CA＋AB＝2(OA－＝OA＋OB－2OC，|OC|＝32所以|2CA＋AB＝OA2＋OB2＋4OC2－＝2＋2＋4×25－4(OA＋OB)＝104－4(OA＋OB)·又|(OA＋OB)·OC|≤|OA＋＝5×2＋2＝即－10≤(OA＋OB)·OC≤所以|2CA＋AB|2∈[64，即|2CA＋AB|∈[8(2)法一由题意可设a＝(0，1)，b＝(2，0)，c＝(x，y)，则a＋b－2c＝(2－2x，1－2y)，由|a＋b－2c|＝1，可得(2－2x)2＋(1－2y)2＝1，化简可得(x－1)2＋y−该方程表示以1，12为圆心，则|c|表示圆上的点到原点的距离，而圆心到原点的距离d＝12所以|c|＝x2＋y2的取值范围是[d－r，d即5−1法二由|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，得|a＋b|＝5，又||a＋b|－|2c||≤|a＋b－2c|＝1，即5－1≤|2c|≤5＋1，即|c|∈5−1感悟提升求向量模的最值(范围)的方法通常有:(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示.需要构造不等式，利用基本不等式，三角函数，再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直、平行，以及其他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单;结合动点表示的图形求解.训练3在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2，P是腰AD上的动点，则|2PB－PC|的最小值为答案3解析如图，以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立平面直角坐标系，则由题意可得B(2，0)，C32设P(a，3a)，其0≤a≤12则PB＝(2－a，－3a)，PC＝所以2PB－所以|2PB－PC|＝所以当a＝14时，|2PB－PC|题型四与夹角有关的最值(范围)例4(2026·济南调研)平面向量a，b满足|a|＝3|b|，且|a－b|＝4，则a与a－b夹角的正弦值的最大值为()A.14 B.C.12 D.答案B解析如图所示，设a＝OA，b＝OB，则a－b＝BA，设|b|＝m，|a|＝3m，1≤m≤2，cos∠OAB＝|＝9m2m3·23即m＝2时等号成立，故∠OAB∈0，当cos∠OAB最小时，sin∠OAB最大，故a与a－b夹角的正弦值的最大值为1−8感悟提升求夹角的最值(范围)问题要根据夹角余弦值的表达式，采用基本不等式或函数的性质进行.训练4平面直角坐标系中，O为坐标原点.已知点A(－2，0)，点P(cosθ，sinθ)(θ∈R)，则向量AO与AP的夹角的取值范围是.

答案0解析根据题意，设向量AO与AP的夹角为α，点A(－2，0)，点P(cosθ，sinθ则AO＝(2，0)，AP＝(cosθ＋2，sinθ)，则|AO|＝2，|AP|＝4cosθAO·AP＝2(cosθ＋2)＝2cosθ＋4，则cosα＝AO＝2cosθ＋＝14又由4cosθ＋5则4cosθ＋5＋当且仅当cosθ＝－12时等号成立则cosα≥32又由0≤α≤π，故0≤α≤π6即向量AO与极化恒等式极化恒等式的证明过程与几何意义(1)证明过程:如图，设AB＝a，AD＝b，则AC＝a＋b，DB＝a－b.|AC|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，|DB|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2，两式相减得a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]，(2)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的14典例(1)(2026·嘉兴调研)如图，在四边形ABCD中，|AC|＝4，BA·BC＝12，E为AC的中点，BE＝2ED，则DA·DC的值为()A.0 B.12C.2 D.6(2)如图，已知Rt△ABC的斜边AB的长为4，AB的中点为M，设P是C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则PA·PB的取值范围是.

答案(1)A(2)[－3，5]解析(1)∵|AC|＝4，E为AC的中点，∴|AE|＝|CE|＝2.根据极化恒等式可得BA·BC＝|BE|2－|EA|2＝|BE|2－4＝12，∴|BE|＝4，∴|DE|＝12|BE|＝2∴DA·DC＝|DE|2－|EA|2＝4－4＝0.(2)在Rt△ABC上，则PA·PB＝PM设圆C的半径为r，则r＝1，而(PM)max＝CM＋r＝2＋1＝3，则(PA·PB)max＝32－4＝5;(PM)min＝CM－r＝2－1＝1，(PA·PB)min＝12－4＝－3.因此PA·PB的取值范围是[－3，5].训练(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则PA·PB的取值范围是()A.[－5，3] B.[－3，5]C.[－6，4] D.[－4，6]答案D解析法一以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略则A(3，0)，B(0，4).设P(x，y)，则x2＋y2＝1，PA＝(3－x，－y)，PB＝(－x，4－y)，所以PA·PB＝x2－3x＋y2－4y＝x−322＋(y－2)又x−322＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点32，2距离的平方，所以PA·PB∈52即PA·PB∈[－4，6].法二(极化恒等式)设AB的中点为M，CM与CP的夹角为由极化恒等式得PA·PB＝(CM－CP)2＝CM2＋CP2－＝254＋1－5cosθ－254＝1－5cos因为cosθ∈[－1，1]，所以PA·PB∈[－4，6].一、单选题1.已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，且a·b＝1.若|c|＝2，则(a＋b)·c的最大值为()A.25 B.10C.2 D.5答案A解析设a＋b，c的夹角为θ，则(a＋b)·c＝|a＋b|·|c|cosθ≤|a＋b|·|c|＝a|2＋b|2＋2a·b当a＋b，c同向，即θ＝0时取等号.2.在△ABC中，AB＝4，AC＝3，cosA＝13，若D为边BC上的动点，则AB·ADA.[42，12] B.[82，16]C.[4，16] D.[2，4]答案C解析由题意得，设AD＝λAB＋(1－λ)AC，0≤λ≤1，则AB·AD＝AB·[λAB＋(1－λ)＝λAB2＋(1－λ)|AB|·|AC|cos＝16λ＋4－4λ＝12λ＋4∈[4，16].3.(2026·湖北七市(州)联合调研)已知向量m＝(1，0)，向量a满足|a－4m|＝|m|，则|a|的最小值为()A.1 B.2C.3 D.4答案C解析设a＝(x，y)，则a－4m＝(x－4，y)，由|a－4m|＝|m|，得(x−4)2所以(x－4)2＋y2＝1，所以y2＝1－(x－4)2，由y2≥0，解得3≤x≤5，所以|a|＝x＝8x所以当x＝3时，|a|取得最小值，且最小值为3.4.已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()A.[2－1，2＋1] B.[2－1，2]C.[2，2＋1] D.[2－2，2＋答案A解析a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝(x−1)2∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故12＋12－1≤|c|≤∴2－1≤|c|≤2＋1.5.已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D为AC的中点，点M为边BC上一动点，则MD·MC的最小值为()A.－32 B.－C.－94 D.－答案C解析因为AB＝AC＝10，所以△ABC是等腰三角形，以BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，则C(6，0)，A(0，8)，D(3，4)，设M(x，0)，－6≤x≤6，则MD＝(3－x，4)，MC＝(6－x，0)，所以MD·MC＝(3－x，4)·(6－x，0)＝x2－9x＋18，因此，当x＝92时，MD·MC取得最小值－96.(2026·北京西城区模拟)蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的.若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个边长为4的正六边形的某一个顶点，A，B为两个固定顶点，则PA·PB的最大值为()A.44 B.48C.72 D.76答案B解析如图，建立平面直角坐标系，设点P(x，y).正六边形的边长为4，所以A(－8，0)，B(8，0)，所以PA＝(－8－x，－y)，PB＝(8－x，－y)，所以PA·PB＝－(8＋x)(8－x)＋y2＝x2＋y2－64，设点P(x，y)到原点的距离为d，则PA·PB的最大值为dmax由图可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，如图，可取P(8，43)，所以dmax2－64＝|OP|2－64＝64＋48－64＝48，即PA·PB7.(2026·长沙模拟)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π6，向量b满足b2－8e·b＋15＝0，则|a－bA.4 B.3＋1C.2 D.1答案D解析设OA＝a，OB＝b，OE＝e，以O为原点，OE的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则E(1，0).不妨设A在第一象限，∵a与e的夹角为π6∴点A在直线y＝33x位于第一象限内的部分设B(x，y)，由b2－8e·b＋15＝0，得x2＋y2－8x＋15＝0，即(x－4)2＋y2＝1，即点B在圆(x－4)2＋y2＝1上运动.又a－b＝BA，∴|a－b|的最小值即为点B与直线y＝33x(x>0)上的点的距离的最小值即为圆心(4，0)到直线y＝33x(x>0)的距离减去半径所以|a－b|min＝2－1＝1.故选D.8.(2026·江西部分高中联考)在平行四边形ABCD中，DA＝DB，E是平行四边形ABCD内(包括边界)一点，DE·DA|DA|＝DE·DB|DB|.若CEA.[1，2] B.1C.12，32答案B解析如图，取AB的中点M，连接DM.因为DE·所以|DE|·cos∠EDA＝|DE|cos∠EDB，即cos∠EDA＝cos∠EDB，所以点E在∠BDA的平分线上.因为DA＝DB，所以点E在线段DM上，不妨设DE＝λDM，λ∈[0，1]，所以CE＝CD＋λ易知DM＝所以CE＝CD＋λCB−1因为CE＝xCB＋yCD，所以x＋y＝1－λ2＋λ＝1＋λ因为λ∈[0，1]，所以x＋y＝1＋λ2∈1二、多选题9.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝2，∠ABC＝60°，AC与BD交于点M，点N在线段CD上，则()A.AMB.2S△ACD＝3S△BCMC.BM·BN为定值8D.若BN＝λBM＋μBC，则3λ＋答案AC解析由题意可得BC＝4，BD＝AC＝23，∠BDC＝∠CAB＝90°，因为AD∥BC，所以△AMD∽△CMB.因为BC＝2AD，所以CM＝2MA，BM＝2MD，所以AM＝13AC＝13(AB＋BC)＝13(AB＋因为BC＝2AD，所以S△BMC＝4S△DMA，因为AC＝3AM，所以S△ACD＝3S△AMD，所以4S△ADC＝3S△BCM，故B错误;因为∠BDC＝90°，所以BM·BN＝|BM||BN|cos∠DBN＝|BM|·|BD|＝23|BD|2＝23×(23)2＝为定值，故C正确;因为BN＝λBM＋μBC＝23λBD＋μBC，且D，N，所以23λ＋μ＝1，且λ>0，μ>0所以3＝72＋λμ＋3μλ≥当且仅当λμ即λ＝6－33，μ＝23－3时，等号成立，故D错误.10.(2026·南平模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则()A.当a·b＝－1时，a与b的夹角为πB.当|a－b|＝2时，a在b上的投影向量为18C.|a＋b|＋|a－b|的最大值为25D.|a＋b|＋|a－b|的最小值为4答案BCD解析当a·b＝－1时，可得cos<a，b>＝a·b|a|·|b|＝−1又0≤<a，b>≤π，所以<a，b>＝2π3，故A错误由|a－b|＝2，可得a2－2a·b＋b2＝4，又|a|＝1，|b|＝2，所以12－2a·b＋22＝4，所以a·b＝12所以a在b上的投影向量为a·bb|2·b＝1222b＝1设a，b的夹角为θ，所以|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2＝5所以|a＋b|＋|a－b|＝5＋设y＝5＋所以y2＝5＋4cosθ＋225−16cos2θ＋5－4cosθ＝10＋因为0≤θ≤π，所以－1≤cosθ≤1，所以0≤cos2θ≤1，当cos2θ＝0时，ymax2＝10＋10＝所以ymax＝25，故C正确;当cos2θ＝1时，ymin2＝10＋6＝所以ymin＝4，故D正确.11.(2026·台州模拟)已知|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则下列说法正确的是()A.|a＋b＋c|的取值范围是[0，9]B.(a＋b)·(a＋c)的最大值为30C.(a＋b)·(a＋c)的最小值为－21D.(a＋b)·(a＋c)的最小值为－10答案ABC解析对于A，由向量模的三角不等式得|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|＝2＋3＋4＝9，当且仅当a，b，c同向时，取得最大值9;当这三个向量a，b，c首尾顺次连接构成封闭三角形时，a＋b＋c＝0，模为0，由于以长度为2，3，4的三条边满足任意两边之和大于第三边，所以这样的三角形存在，故|a＋b＋c|的取值范围是[0，9]，故A正确;(a＋b)·(a＋c)＝a2＋a·b＋a·c＋b·c＝4＋a·b＋a·c＋b·c.由|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c)＝4＋9＋16＋2(a·b＋a·c＋b·c)＝29＋2(a·b＋a·c＋b·c)得，a·b＋a·c＋b·c＝a＋由A知，0≤|a＋b＋c|≤9，则－292≤a·b＋a·c＋b·c≤26所以(a＋b)·(a＋c)的最小值为4＋−292＝－最大值为4＋26＝30，故B，C正确，D错误.三、填空题12.设向量OA＝(1，x)，OB＝(2，x)，则cos